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［摘要］以概率統(tǒng)計(jì)課程中貝葉斯公式部分的教學(xué)為例，結(jié)合課程的特點(diǎn)，按照“設(shè)置問(wèn)題”“解決問(wèn)題”“發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題”“反思與評(píng)價(jià)”四個(gè)步驟，以問(wèn)題為基本出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)創(chuàng)設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生探究、化解難點(diǎn)，突出重點(diǎn)，抓住問(wèn)題本質(zhì)，強(qiáng)化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。實(shí)踐證明，基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法將學(xué)生知識(shí)的掌握和創(chuàng)新能力的促進(jìn)相統(tǒng)一，不僅增強(qiáng)了學(xué)生自學(xué)意識(shí)，同時(shí)提高了學(xué)生自學(xué)能力，通過(guò)問(wèn)題的引入和思考，讓學(xué)生了解相關(guān)知識(shí)概念與定理的整個(gè)產(chǎn)生過(guò)程，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方法來(lái)探討研究數(shù)學(xué)問(wèn)題。

［關(guān)鍵詞］問(wèn)題驅(qū)動(dòng);概率統(tǒng)計(jì);數(shù)學(xué)教學(xué)

隨著社會(huì)的進(jìn)步，經(jīng)濟(jì)金融、保險(xiǎn)管理、人工智能等各個(gè)方面都跟數(shù)據(jù)分析聯(lián)系得越來(lái)越緊密，概率統(tǒng)計(jì)方面的能力也越來(lái)越受到重視。數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)將“數(shù)據(jù)分析”作為核心素養(yǎng)提出，同時(shí)從近幾年的高考真題也可以看到，涉及概率統(tǒng)計(jì)的題目在逐漸增加。概率統(tǒng)計(jì)以研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性為出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)用性較強(qiáng)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中容易產(chǎn)生畏難情緒。因此，如何采用有效的課堂教學(xué)方法激發(fā)和增強(qiáng)學(xué)生的探索欲與求知欲，將概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)與實(shí)際背景相融合，引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地融入課堂，在學(xué)習(xí)中自主將理論與實(shí)踐相結(jié)合，并將知識(shí)融會(huì)貫通真正體會(huì)所學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)與思想，成為一個(gè)值得研究和探討的課題。教學(xué)思想與教學(xué)方法是課堂的靈魂，特別是數(shù)學(xué)類課程。一味進(jìn)行知識(shí)的灌輸，會(huì)使得原本抽象的數(shù)學(xué)類課程更加晦澀難懂，從而降低學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更談不上在學(xué)習(xí)中提高自身的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)。合適的問(wèn)題是承載數(shù)學(xué)思想與方法的良好載體，以問(wèn)題為基本出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行情境創(chuàng)設(shè)，循序漸進(jìn)地啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題，進(jìn)一步引導(dǎo)其分析與解決問(wèn)題，在分析問(wèn)題過(guò)程中課堂教學(xué)才能散發(fā)出它獨(dú)特的思想光芒。

一、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式教學(xué)對(duì)概率統(tǒng)計(jì)課程的作用

概率統(tǒng)計(jì)作為數(shù)學(xué)的特殊分支，蘊(yùn)含著隨機(jī)思維，相對(duì)于熟悉的代數(shù)、幾何這類確定性的數(shù)學(xué)內(nèi)容，學(xué)生對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件等概率統(tǒng)計(jì)中的新概念比較陌生，想要清楚認(rèn)識(shí)并理解這些概念，必定需要隨機(jī)思想這把打開(kāi)概率統(tǒng)計(jì)大門的鑰匙，了解隱藏在隨機(jī)現(xiàn)象之后的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。通過(guò)不斷地大量觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律然后歸納總結(jié)得到結(jié)論，這種不同于以往確定性數(shù)學(xué)思維的方法使得學(xué)生接受起來(lái)相對(duì)困難。我國(guó)統(tǒng)計(jì)界泰斗陳希孺先生說(shuō)過(guò):“統(tǒng)計(jì)規(guī)律的教育意義是看問(wèn)題不可絕對(duì)化，習(xí)慣于從統(tǒng)計(jì)規(guī)律看問(wèn)題的人在思想上不會(huì)偏執(zhí)一端。”［1］突破原有的確定性思維，學(xué)會(huì)從不確定的角度觀察世界，就需要不斷地提出問(wèn)題進(jìn)行本質(zhì)思考，就需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，與生活體驗(yàn)相結(jié)合，了解知識(shí)本身，了解知識(shí)背后所蘊(yùn)含的思想意識(shí)，抓住思想與精髓。問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)模式融入概率統(tǒng)計(jì)課堂，對(duì)學(xué)生隨機(jī)思維的形成與培養(yǎng)起到?jīng)Q定性作用。

二、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)的探究與應(yīng)用

(一)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式的理論背景與實(shí)施步驟

概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)離不開(kāi)問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)，教師要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)背后蘊(yùn)含的背景問(wèn)題，將問(wèn)題進(jìn)行提煉加工后展現(xiàn)給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層次的思考與探索，進(jìn)而達(dá)成問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下啟發(fā)引導(dǎo)式教學(xué)的目的。問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的教學(xué)方法一般以四步進(jìn)行。第一，設(shè)置問(wèn)題。首先讓學(xué)生自由組隊(duì)，形成若干小組，小組內(nèi)部進(jìn)行分工協(xié)作。教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)背景或積累的相關(guān)案例進(jìn)行提煉分析，呈現(xiàn)給學(xué)生可供探討的問(wèn)題。第二，解決問(wèn)題。為了解決這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生需要學(xué)習(xí)相關(guān)的專業(yè)知識(shí)，開(kāi)始搜索相關(guān)資料，并不斷地通過(guò)小組內(nèi)部的相互溝通與討論，豐富并逐步完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，在討論的過(guò)程中促進(jìn)問(wèn)題的解決，形成解決方案。第三，發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題。在探討時(shí)，不同的學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生不同觀點(diǎn)，同一個(gè)小組或不同小組間會(huì)產(chǎn)生不同的解決方案，小組將發(fā)現(xiàn)出新的問(wèn)題，新問(wèn)題的出現(xiàn)又需要重復(fù)第二步工作。第四，反思與評(píng)價(jià)。在前幾個(gè)步驟學(xué)習(xí)后，學(xué)生將進(jìn)行自我反省，對(duì)問(wèn)題的解決方案進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，總結(jié)新知識(shí)，在整個(gè)思考探討研究的過(guò)程中獲得數(shù)學(xué)思維能力。這種教學(xué)模式事實(shí)上是以建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論為根據(jù)。建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)教學(xué)絕非知識(shí)的簡(jiǎn)單傳遞，而是知識(shí)的加工、轉(zhuǎn)換與升華。［2］教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)把學(xué)生原有的知識(shí)信息結(jié)構(gòu)作為新內(nèi)容的基石，將學(xué)生自己對(duì)各種問(wèn)題與現(xiàn)象的理解放在重要位置，聆聽(tīng)學(xué)生的認(rèn)知思想，思索他們這些認(rèn)知的由來(lái)，成為學(xué)生的輔導(dǎo)者與促進(jìn)者，帶引學(xué)生從原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中萌生出新認(rèn)知，進(jìn)行知識(shí)再創(chuàng)造。

(二)教學(xué)案例設(shè)計(jì)應(yīng)用

在問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式概率統(tǒng)計(jì)的實(shí)踐教學(xué)中，還應(yīng)注重教學(xué)方式方法的靈活運(yùn)用。接下來(lái)將以真實(shí)課堂為載體，以貝葉斯公式部分的教學(xué)為例，根據(jù)具體教學(xué)知識(shí)點(diǎn)與內(nèi)容來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究，驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)。

1．課前任務(wù)，進(jìn)行問(wèn)題鋪墊

首先，為調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性，為接下來(lái)要學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)做鋪墊，讓學(xué)生在課前通過(guò)網(wǎng)絡(luò)觀看1981年美國(guó)總統(tǒng)里根遇刺實(shí)錄視頻及相關(guān)報(bào)告，在觀看視頻后借助教師發(fā)放的PPT課件預(yù)習(xí)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)與例題，討論教師設(shè)置相關(guān)問(wèn)題，分小組完成任務(wù)單(表1)，并提交小組分工安排及討論情況，任務(wù)驅(qū)動(dòng)激勵(lì)學(xué)生自主探究與合作學(xué)習(xí)。在這個(gè)過(guò)程中，通過(guò)知識(shí)的提前滲透，形成了基本的知識(shí)框架和知識(shí)的初步轉(zhuǎn)移，為后面的學(xué)習(xí)做了良好的鋪墊。將貼近生活的引例或從實(shí)踐中產(chǎn)生的問(wèn)題作為引入，不僅引起了學(xué)生的關(guān)注，增強(qiáng)學(xué)生的情感共鳴或體驗(yàn)，引發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步探究的興趣，同時(shí)也大大激發(fā)了學(xué)生的求知欲與積極性。

2．分析探討，完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

課中各組分別派代表匯報(bào)任務(wù)單中涉及的問(wèn)題，小組內(nèi)部其他成員可進(jìn)行適當(dāng)補(bǔ)充，小組之間進(jìn)行互評(píng)。一方面檢測(cè)了學(xué)生課前預(yù)習(xí)效果，另一方面查看了小組協(xié)作能力，通過(guò)這個(gè)環(huán)節(jié)發(fā)現(xiàn)學(xué)生共有的疑難問(wèn)題，為后面課堂的繼續(xù)探討開(kāi)啟話題。接下來(lái)，教師結(jié)合各小組的匯報(bào)情況，帶領(lǐng)學(xué)生一起分析題目。貝葉斯公式這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在概率領(lǐng)域有著舉足輕重的地位，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。教師可先結(jié)合前面學(xué)過(guò)的條件概率和全概率公式，幫助學(xué)生理清背景資料中涉及的事件及其概率，抓住關(guān)鍵，再?gòu)囊恍?shí)際案例出發(fā)穿插引入先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率的概念，使學(xué)生形成對(duì)新公式的直觀理解，建立模型，讓學(xué)生理解貝葉斯公式的思想與應(yīng)用。人們對(duì)某個(gè)事物的歷史認(rèn)識(shí)或主觀判斷，像我們?cè)谡n堂上學(xué)的很多知識(shí)，跟父輩、老師或網(wǎng)絡(luò)等學(xué)得各種各樣的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)等，這些使得我們對(duì)所生活的周邊世界和我們的認(rèn)知世界都有了先定的直觀理解，從而對(duì)許多事都有自己的判覺(jué)與思考，這就叫先驗(yàn)信息。［4］以常見(jiàn)的拋硬幣為例，正面朝上的概率為0．5，而且無(wú)數(shù)次重復(fù)實(shí)驗(yàn)也表明是這個(gè)概率，這幾乎形成了我們的一個(gè)常識(shí)，是在拋硬幣前、事情還沒(méi)發(fā)生前，就已經(jīng)可以進(jìn)行的概率判斷。先驗(yàn)概率是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)事情發(fā)生的可能性大小的判斷。而后驗(yàn)概率是事情已發(fā)生，判斷事情發(fā)生的原因是由眾多因素中的哪個(gè)因素引起的可能性大小。例如，上課鈴響了，老師發(fā)現(xiàn)A同學(xué)還沒(méi)來(lái)學(xué)校，假設(shè)A同學(xué)遲到的可能因素有兩個(gè):生病了和自行車在路途中壞了。A同學(xué)遲到的概率就是先驗(yàn)概率，這個(gè)可以根據(jù)以往出勤的情況綜合得出來(lái)。而現(xiàn)在A同學(xué)遲到這件事情已經(jīng)發(fā)生，產(chǎn)生的原因有兩個(gè)，后驗(yàn)概率是在事情發(fā)生后判斷由哪一個(gè)原因引起的概率，這里的事情是A同學(xué)上學(xué)遲到，原因有生病了和自行車壞了，因?yàn)樯×藳](méi)來(lái)學(xué)校的概率和自行車壞了沒(méi)來(lái)學(xué)校的概率就是后驗(yàn)概率。清楚了這兩個(gè)概念后，才能更好地進(jìn)行后面的分析。對(duì)背景資料，我們分析所需，引導(dǎo)學(xué)生理清資料中涉及的事件，于是可以記:A={Hinckley是精神病患者}，B={CAT掃描顯示為腦萎縮}則由背景資料可知，P(A)=0．02，P(B|A)=0．3，P(B|A)=0．02而Hinckley的掃描結(jié)果顯示腦萎縮，要判斷Hinckley是否患有精神病，問(wèn)題便轉(zhuǎn)化為求已知掃描顯示為腦萎縮而患有精神病的概率，即求P(A|B)。于是由貝葉斯公式計(jì)算，P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=0．3×0．020．3×0．02+0．02×0．98≈23．44%由該結(jié)果可知，辯護(hù)律師以Hinckley的掃描結(jié)果為證據(jù)判定其患有精神病是不可信的。這樣，通過(guò)課中的進(jìn)一步深入討論與交流，讓每一個(gè)學(xué)生都能夠親歷學(xué)習(xí)的過(guò)程，讓每一個(gè)學(xué)生都真正參與到課堂中來(lái)，對(duì)他們邏輯思維的訓(xùn)練、概括表達(dá)能力的提升以及團(tuán)結(jié)協(xié)作、發(fā)現(xiàn)并接受學(xué)習(xí)的異同等很多方面都起到了一定的促進(jìn)效果。

3．深入思考，鞏固重難點(diǎn)

在對(duì)任務(wù)1做出結(jié)論后，也可能會(huì)引起部分同學(xué)的疑問(wèn):精神病患者的CAT檢測(cè)結(jié)果中顯示腦萎縮的概率為P(B|A)=0．3，會(huì)不會(huì)偏小，因此才使得最后算出來(lái)的P(A|B)較小?若提高這個(gè)比值，判定結(jié)果還會(huì)是一樣嗎?于是帶著疑惑，進(jìn)入任務(wù)2的探討。在任務(wù)2的假設(shè)之下，有P(A)=0．02，P(B|A)=0．9，P(B|A)=0．02，得到P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=0．9×0．020．9×0．02+0．02×0．98≈47．8%結(jié)論顯示，即使90%的病患者CAT檢測(cè)都顯示腦萎縮P(B|A)=0．9，Hinckley患有精神病的概率P(A|B)也只有47．87%，該數(shù)據(jù)相對(duì)于他沒(méi)患病的概率也更小。由任務(wù)1和任務(wù)2的探討結(jié)果便知道:由P(B|A)＞P(B|A)(精神病患者相對(duì)一般人更易腦萎縮)，就得出P(A|B)＞P(A|B)(如果一旦測(cè)得腦萎縮，那么此人有很大概率患有精神病)的結(jié)論，這種直覺(jué)的判斷是錯(cuò)的。也通過(guò)此處引導(dǎo)提示學(xué)生，回顧前面學(xué)過(guò)的條件概率中符號(hào)P(B|A)與P(A|B)，雖然形式類似，但意義卻完全不同。新問(wèn)題的探討讓學(xué)生從基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)到強(qiáng)化訓(xùn)練，不僅可以幫助學(xué)生進(jìn)一步強(qiáng)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)的鞏固，還能排除已有的知識(shí)印象誤區(qū)，挖掘出潛在性的問(wèn)題，對(duì)問(wèn)題和知識(shí)能夠做到見(jiàn)微知著，逐漸發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)的規(guī)律。

4．聯(lián)系實(shí)際，強(qiáng)化知識(shí)

在解決了前兩個(gè)任務(wù)后，由任務(wù)3，聯(lián)系實(shí)際生活中的情況，假設(shè)P(A)=0．4，于是P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B|A)P(A)+P(B|A)P(A)=0．3×0．40．3×0．4+0．02×0．6≈90．9%由貝葉斯公式的計(jì)算發(fā)現(xiàn)，P(A|B)＞P(A)，即CAT結(jié)果顯示腦萎縮而患有精神病的概率P(A|B)大于本就是精神病患者的概率P(A)，由此可知，診斷的可靠性隨著先驗(yàn)概率P(A)的增大而明顯升高。對(duì)任務(wù)3的探究表明，對(duì)這類特殊人群，這類檢測(cè)對(duì)診斷是特別有效的。實(shí)際生活中去醫(yī)院看病，一般都進(jìn)行各類檢查、不斷復(fù)查后才進(jìn)一步確診的原因和必要性由此可見(jiàn)。［5］此外還可以讓學(xué)生通過(guò)貝葉斯公式的其他實(shí)際應(yīng)用舉例分析，將知識(shí)結(jié)合實(shí)際，將生活化的例子引入實(shí)際教學(xué)中，通過(guò)案例共同探討，讓學(xué)生除對(duì)所學(xué)知識(shí)深入理解外，切實(shí)感受到學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)不僅僅是會(huì)做題，而是能解決身邊很多實(shí)際問(wèn)題。至此可見(jiàn)，本教學(xué)片段的設(shè)計(jì)案例就是通過(guò)一系列的任務(wù)與問(wèn)題來(lái)啟發(fā)學(xué)生不斷深入地探討思考，化解難點(diǎn)、突出重點(diǎn)，抓住問(wèn)題本質(zhì)、強(qiáng)化知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，達(dá)到最終教學(xué)目的。

三、結(jié)語(yǔ)

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)將學(xué)生知識(shí)的掌握和創(chuàng)新能力的促進(jìn)相統(tǒng)一，不僅增強(qiáng)學(xué)生自學(xué)意識(shí)，還提高其自學(xué)能力，通過(guò)問(wèn)題的引入和思考，讓學(xué)生了解到相關(guān)知識(shí)概念與定理的整個(gè)產(chǎn)生過(guò)程，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維方法來(lái)探討研究數(shù)學(xué)問(wèn)題。不斷引發(fā)式的思考與探索也讓學(xué)生們認(rèn)識(shí)到更新知識(shí)才是最終目的，掌握知識(shí)只是過(guò)程與手段。一個(gè)個(gè)的知識(shí)點(diǎn)不再是課本上的概念公式和定理，而是不斷更新和拓展的認(rèn)知過(guò)程和求知方法。不僅提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還培育了良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)了無(wú)限的潛能，也恰恰與數(shù)學(xué)本身的發(fā)展規(guī)律相吻合。問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)也就是問(wèn)題的提出引入、思考探究和逐漸解決的全過(guò)程［6］，在這樣的教學(xué)過(guò)程中，教師要學(xué)會(huì)利用問(wèn)題來(lái)推動(dòng)教學(xué)，通過(guò)對(duì)知識(shí)進(jìn)行重新整合，不斷完善自己的教學(xué)技能和方式，更好地啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行思考。荷蘭數(shù)學(xué)教育家H．Freudenthal說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造。”［7］只有懂得去引導(dǎo)學(xué)生一起進(jìn)行數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造，通過(guò)問(wèn)題站在更高平臺(tái)上的教師，才能真正看清知識(shí)所承載的思想，觸動(dòng)數(shù)學(xué)靈感到達(dá)本質(zhì)。

作者:何友誼 李霞 單位:湖南文理學(xué)院師范學(xué)院