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編者按：本論文主要從完全信息討價還價；不完全信息下的討價還價等進行講述，包括了納什討價還價、有限期輪流出價、無限期輪流出價、低效用買方很多的情況、討價還價是博弈論中動態博弈的一種情況，它包括完全信息討價還價和不完全信息討價還價等，具體資料請見：

［論文關鍵字］博弈論，討價還價，博弈樹

［論文摘要］本文闡述了博弈論在討價還價方面的應用理論。主要在完全信息與不完全信息下，進一步針對不同的情況，綜合地介紹討價還價理論模型以及應用。

現實經濟中充滿了“討價還價”的情形，大到國與國之間的貿易協定，小到個體消費者與零售商的價格商定，還有廠商與工會之間的工資協議、房產商與買者之間關于房價的確定、各種類型的談判等等。這實際上是兩個行為主體之間的博弈問題，也可以把討價還價看作為一個策略選擇問題，即如何分配兩個對弈者之間的相互關聯的收益問題。討價還價作為市場經濟中最常見、普通的事情，也是博弈論中最經典的動態博弈問題。

一、完全信息討價還價

（一）納什討價還價

假設討價還價主體為兩個人：小張和小王，二人共同努力完成了一個項目并獲得收益10000元，現在二人將針對每個人將獲得多少而展開討價還價博弈。為解決此類問題，納什則做出了一系列研究并得出納什討價還價解。當達不成協議時，參與雙方可以有不同的效用水平，而且效用函數可以是分配比例的非線性函數。

（二）有限期輪流出價

1、無貼現

假設條件：回合T為奇數（設T=3），小王先出價。由于回合數為奇數，對于小張來說，接受或拒絕沒有差異，因此所有的均衡都是弱的。這些均衡結果只決定于小張最后決定接受的時間。因為在奇數回合中，小王享有最后一期的出價權利，當他要求得到全部收益時，即使小張拒絕，小張仍然一無所獲，小王則獲得全部收益。若此博弈只有一輪，那么小張根本沒有機會提出反駁意見?，F在假設小王仍然先出價，但是回合數為偶數時，博弈的結果就是小張將得到全部收益。在此例中，很明顯看到一個最終行動者優勢的存在，這就是后動的博弈優勢。

2、有貼現，且貼現對等

有貼現的情況就是討價還價每多進行一個回合，由于談判費用和利息損失等，雙方的利益都要打一個折扣。假設條件雙方折扣率均為σ（0<σ<1），回合數T=3。

對于此種三回合情況可用下面方式加以描述：第一回合：小王的方案是自己得X1，小張得10000-X1。小張若接受，二人收益分別為X1和10000-X1，談判結束。如果小張拒絕，則開始第二回合談判。第二回合：小張的方案是小王得X2，自己得10000-X2。小王若接受，二人收益分別為σX2和σ(10000-X2)，談判結束。如果拒絕，則開始第三回合談判：小王自己得X，小張得10000-X，此時小張必須接受，最后二人的實際收益分別為σ2X和σ2(10000-X)。這三回合中雙方所提出的X1、X2和X都是0到10000之間的任意金額，因此可以認為由于X1、X2和X都有無限多種，所以這個討價還價博弈是一個無限策略的動態博弈。

3、有貼現，但不等

假設小王的折扣率為σ1，小張的折扣率為σ2，0<σ2,σ1<1并且兩人知道對方的折扣率，回合數T=3。

此類博弈和貼現相等情況是很類似，用逆推歸納法來分析這個博弈。第三回合：知道雙方的收益分別為σ12X和σ22(10000-X)。第二回合：小張在第二回合會出能讓小王接受的，也是可能使自己得益最大的X2，應滿足使小王得益σ12X=σ1X2，即X2=σ1X，則小張得益就是σ2(10000-X2)=σ2(10000-σ1X)，由于0<σ2,σ1<1，所以σ2(10000-σ1X)>σ22(10000-X)。第一回合：小王只要令10000-X1=σ2(10000-σ1X)，即X1=10000-σ2(10000-σ1X)即可。這樣第一回合與第二回合小張的得益相同，而小王的得益X1=10000-σ2(10000-σ1X)，比第二、三回合得益更大。

因此這個博弈，小王會在第一回合出價X1=10000-σ2(10000-σ1X)，小張會接受，最終二人得益分別為X1=10000-σ2(10000-σ1X)和σ2(10000-σ1X)，這個就是這種有限奇數次討價還價有貼現情況的均衡解。

（三）無限期輪流出價

無限期討價還價博弈由于時間會持續很久，所以折扣是肯定會存在的，所以直接討論有貼現情況。

1、對等貼現

此情況逆推法無法應用。解決方法如下：

先假設整個博弈有一個逆推歸納解，小王和小張分別得益X和10000-X，即小王在第一回合出價X，小張接受。夏克德和薩頓曾提出無限期討價還價中，從第三回合開始還是從第一回合開始結果都是一樣的，本文直接引用這一結論來解決問題。所以根據這個理論，上述逆推歸納的解也應該是從第三回合開始的博弈的結果。即第三回合也是小王出價X，小張接受，而且這個結果也是最終的結果。

2、不等貼現

假設小王的折扣率為σ1，小張的折扣率為σ2，0<σ1,σ2<1。

小王想分得X1份額，并想使X1最大化，但他得考慮到小張，若X1過多而遭拒絕，則他的愿望就成為泡影。所以小王揣測將出價給小張X2。在第一回合討價還價中，小王要保證給小張的10000-X1不小于他還價后的10000-X2貼現到現在的價值，這時小王可根據小張的X2和觀察可解出X2，故先要價X1。之后第二輪討價還價開始，小張出價為X2，而且也考慮到小王會還價，所以他也要保證小王將再出價貼現為現值不小于小張的還價，又要盡量使自己的收益最大化，這時他可根據推測的X3求出X2，所以出價X2。小王第三回合再出價時，就會重復開始的過程，所以由此可知小張獲得的收益與自己的折扣率呈增函數關系，而與對方的折扣率呈減函數關系。這就是Rubinstein針對此問題曾提出的解。

3、無貼現、有成本

現假設小王或小張每個回合出價時貼現變為了成本，設為C1和C2，且C1=C2=C。

（1）C1這種情況下回合期限越長，小張的損失就會越大，但是除了會降低二人總體收益之外，并不會改變二者的博弈地位。此時，博弈可以看作是靜態的。因為不論經過多少回合，在二人看來，博弈與初期相同。仍然用逆推歸納法，在第T回合若是小張出價分給小王X，則在第T-1回合，小王就會出價分給小張10000-X-C2，而自己保留X+C2；在T-2回合，小張則會分給小王X+C2-C1，自己保留10000–X-C2+C1。依次類推，不斷前推結果是：小王可以得到比小張高任意γ(C2-C1)倍收益。因此博弈一開始，小張就會放棄討價還價接受0分配。

（3）C1>C2

小王作為先行動者，他的份額受限于成本C2，因為他明確知道小張會在第二回合出價為自己保留10000，所以他會在第一期提出自己分配C2，小張得益為10000-C2，這樣小張就會接受，而不會進入到第二個回合了。

二、不完全信息下的討價還價

Fudenberg和Tirole二人則對這類問題作了研究?，F假設有一個買方和一個賣方，買方類型有兩種：B100和B150，其中買方為B100的概率為γ，為B150的概率為(1-γ)。博弈的過程是，賣方先出價P1，買方接受則博弈結束，買方拒絕則賣方再出價P2，買方再決定是否接受。

（一）低效用買方很多的情況

先假設γ=0.5，即買方是低效用者的可能性很高；σ=0.9。第一回合，B100類的買者在P1≤P(B100)1=100時，就接受這個價格；B150類的買者在P1≤P(B150)1=105時接受。第二回合，B100類的買者在P2≤P(B100)2=100時，就接受這個價格；B150類的買者在P2≤P(B150)2=150時接受。

賣方在非均衡路徑的信念是：如果買方拒絕P1，則他是B100類買者的可能性為γ。均衡的結果是，買方出價P1，并且買方接受。這個均衡就是完美貝葉斯均衡。賣方知道，即使105，他仍然可以將貨物賣給B150類型買者。但是如果他這么做，就有可能在第一回合賣不出去，他將延期得到收入。

因為100>105(1-γ)+100σγ=97.5，即賣方更愿意拿到穩定的現期收入100，而不愿意在現期收入105和將來的100之間碰運氣。

（二）低效用買方很少的情況

1、均衡（混合策略下的分離均衡）

假設γ=0.05，即買方是低效用者的可能性不高；σ=0.9。博弈結論是分離均衡將出現，對應的均衡策略為混合策略。

第一回合P1=150，B100類型的買者會在P1<100時接受之；B150類型的買者以概率m(P1)接受P1，在第二期，如果賣方認為買方類型為B100的概率小于1/3，則P2=150；否則P1=100。B100買方當P2<100時接受之，B150買方當P2<150時接受之。均衡結果為：P1=150，有時會被B150買方接受，P2=150，被B150買方接受，B100買方則不接受任何一種出價。

第二期的策略十分簡單，買方當價格低于效用時則接受，賣方在穩定的100收益，以及在0和150的賭博間權衡。當100=0*Prob(B100)+150*(1-Prob(B100))……⑤時兩者等價。由此得出Prob(B100)=1/3。如果無人接受第一期的出價，第二期的信念將是Prob(B100)=γ，這里假設為0.05，因此第二期的價格將會是150。第一期的策略十分復雜。B150在第一期沒有采用接受P1=150的純策略。因為如果他一味接受，賣方看到有人拒絕P1=150就能斷定其類型為B100，因而在第二期降低價格。預期到價格會下降，B150就會在第一期拒絕P1=150，同前面提到的降價理由產生矛盾。

2、非均衡路徑上的行為

以上論述只涉及了分離均衡的一部分。完整的描述必須針對博弈數每個節點，在給定前面的情況下，明確每個參與者的行為方式。其中包括一開始就偏離均衡的非均衡路徑的情況，例如P1=140。若賣方出價P1=140，可供選擇的非均衡性為范圍是很廣的。

先考慮賣方在第一期出價P1=140的情況。與P1=150理由相同。均衡不可能采取純策略。非均衡子博弈上的均衡策略是，B150在接受和拒絕之間建立混合策略；賣方在P2=100和P2=150之間建立混合策略。與均衡路徑不同，賣方必須建立混合策略。否則，買方將強烈偏好于接受140，而不去等150。而賣方愿意混合的前提是，他相信買方屬于B100的概率恰好是1/3。從而在賣方的策略中，m(150)=0.89。設在賣方混合策略中，P2=100的概率為μ。它必須滿足條件，使得買方在接受與拒絕之間的效用無差異，即150-P1=0.9μ(150-100)+(1-μ)*0……⑦，解得μ=10/3-P1/45，或者當P1=140時，μ=0.22。

四、總結

本文主要討論了討價還價博弈的幾種情況解。討價還價是博弈論中動態博弈的一種情況，它包括完全信息討價還價和不完全信息討價還價。本文簡要、系統的介紹了討價還價的相關模型。作為博弈論的一個重要分支，討價還價理論在現實生活中有著廣泛的應用領域，并且理論的實際應用也會進一步促進理論的發展。