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一、引言

混沌思想最早可以追溯到龐克萊，他在關(guān)于常微分方程定性理論的研究中發(fā)現(xiàn)的同宿軌蘊(yùn)含了混沌的萌芽。經(jīng)過幾十年的蓬勃發(fā)展，到了20世紀(jì)五六十年代，混沌現(xiàn)象在眾多學(xué)科領(lǐng)域被發(fā)現(xiàn)，成為非線性科學(xué)的主要研究內(nèi)容之一。最早在文獻(xiàn)中使用混沌一詞的是李天巖和約克，1975年他們在對線段動力系統(tǒng)研究中證明了一個(gè)眾所周知的結(jié)果周期3蘊(yùn)含混沌，正是這一結(jié)果給離散動力系統(tǒng)提供了一個(gè)混沌定義的藍(lán)本。1989年Devaney以初值敏感依賴為核心建立另一復(fù)雜系統(tǒng)的混沌定義。此外在物理和工程中被廣泛應(yīng)用的Lyapunov指數(shù)，在分形幾何中的Hausdorff維數(shù)和盒維數(shù)等等。二十世紀(jì)八十年代美國學(xué)者Schinkman和LeBaron發(fā)現(xiàn)了股票日收益序列與周收益序列中存在混沌現(xiàn)象之后，在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域上，非線性系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象引起眾多學(xué)者的關(guān)注。例如，1988年，陳平等從美國貨幣指數(shù)中發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)混沌的經(jīng)驗(yàn)證據(jù)，建立描寫復(fù)雜經(jīng)濟(jì)波動的軟邊界振子模型。在1994年進(jìn)一步找到將經(jīng)濟(jì)增長和波動分解，將噪聲和信號分解研究的有效方法，從而在各種代表性的美國宏觀經(jīng)濟(jì)指數(shù)中發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)混沌的普遍證據(jù)。1992年，JoneF.Gibson等通過對離散時(shí)間的差分方程研究建立所謂白混沌模型。

二、股市價(jià)格混沌考慮

如下非線性時(shí)滯系統(tǒng)其中是維歐氏空間上的連續(xù)映射，是的一個(gè)開子集。稱閉子集A為F閉的不變集，如果有；稱F閉的不變集A是系統(tǒng)(1)的吸引集，如果存在A的一個(gè)開領(lǐng)域V使得對所有有。在金融證券的復(fù)雜性研究中，向量是表示市場因素。我們能觀察到的是市場數(shù)量因素的數(shù)值信號戶決定的股價(jià)指數(shù)的一維時(shí)間序列模型：其中是連續(xù)可微的市場觀察函數(shù)。通過這個(gè)時(shí)間系列模型我們獲得一個(gè)股指輸出的時(shí)間序列系統(tǒng)，它是一個(gè)具有確定變量的動力系統(tǒng)。可以通過分析時(shí)間序列的多維延遲信息可以揭示市場的混沌動力學(xué)行為。利用已知的股指時(shí)間序列構(gòu)造如下的一個(gè)維向量：這里是的次迭代式。Takens提出的嵌入定理證明，只要嵌入維數(shù)足夠大，即使延遲坐標(biāo)的維數(shù)，D為吸引子的分?jǐn)?shù)維，在該嵌入維空間里可把原系統(tǒng)中的吸引子再現(xiàn)，即在重構(gòu)的空間中的存在與原動力系統(tǒng)吸引子拓?fù)涔曹椀拈]子系統(tǒng)。混沌吸引子一個(gè)最重要的特征是維數(shù)，它是描述穩(wěn)態(tài)行為所需要的狀態(tài)變量數(shù)目的下界。混沌吸引子的維數(shù)是一個(gè)分?jǐn)?shù)。我們可以利用GP算法估計(jì)重構(gòu)動力系統(tǒng)(3)的吸引子的維數(shù)。

三、實(shí)證分析

1.數(shù)據(jù)樣本選取。上證綜指和深成指數(shù)是我國證券市場的兩個(gè)主要指數(shù)，代表了我國證券市場的整體變動情況，因此我們將以這兩個(gè)指數(shù)為樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行復(fù)雜性分析。選取1998年1月2日到2008年1月4日上證綜指與深成指數(shù)周收盤價(jià)的對數(shù)收益率為樣本，共計(jì)492個(gè)數(shù)據(jù)；以此數(shù)據(jù)作為模型的時(shí)間系列向量。

2.數(shù)據(jù)處理及分析。將周收盤價(jià)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成對數(shù)收益數(shù)據(jù)，計(jì)算公式為：，其中，為對數(shù)收益率，本周收盤價(jià)，為前周收盤價(jià)；通過G-P算法對樣本數(shù)進(jìn)行反復(fù)測試，我們發(fā)現(xiàn)較為合適的時(shí)滯為8個(gè)交易周，取延遲時(shí)間，當(dāng)嵌入維數(shù)k=2，3，…，8時(shí)，計(jì)算得到混吸引子的關(guān)聯(lián)維數(shù)d(k)如下表所示：為上證指數(shù)的吸引子關(guān)聯(lián)維數(shù)，為深圳成指的吸引子關(guān)聯(lián)維數(shù)。由表1可知，當(dāng)嵌入維數(shù)時(shí)，滬深兩市的股指混沌吸引子關(guān)聯(lián)維數(shù)基本飽和，其值分別為和。由于分形維數(shù)代表了決定系統(tǒng)的混沌吸引子的自由度，滬深兩市股指收益率序列的分形維數(shù)在2和3之間，說明我國證券市場的混沌吸引子是存在的，股指波動較復(fù)雜，市場較活躍。李雅普諾夫指數(shù)是刻畫系統(tǒng)復(fù)雜性的另一指標(biāo)，它體現(xiàn)混沌系統(tǒng)對初始條件敏感依賴程度。最大李雅普諾夫指數(shù)的數(shù)值是判斷系統(tǒng)混沌現(xiàn)象存在的直接依據(jù)。在關(guān)聯(lián)維數(shù)計(jì)算的基礎(chǔ)上，通過Wolf算法來求解李雅普諾夫指數(shù)。我們得出上證綜指這一時(shí)間序列的最大李雅普諾夫指數(shù)=0.532，深成指數(shù)的最大李雅普諾夫指數(shù)=0.476。由于滬深兩市最大李雅普諾夫指數(shù)都大于零，這也證實(shí)了我國證券市場的運(yùn)行具有混沌特性。

四、總結(jié)

通過實(shí)證研究，可以看到我國股票市場確實(shí)存在混沌現(xiàn)象。這使我們認(rèn)識到股價(jià)收益率的變化遵循某種確定性規(guī)律，其變動應(yīng)該可以通過某種具有混沌性質(zhì)的離散動力系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測。股票價(jià)格的這種復(fù)雜的非線性動力學(xué)結(jié)構(gòu)表明在人們對市場信息的消化吸收是非均衡的，獲取市場信息的方式與途徑是非對稱的，這些市場信息一般都是以非線性的方式呈現(xiàn)。因此這不一致的非線性因素都將反映在股票價(jià)格上，使其變化呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性動力學(xué)性態(tài)。股市指數(shù)的混沌分析是通過對樣本數(shù)據(jù)的分析，利用相空間重構(gòu)技術(shù)而得出的。類似地我們可以采用對個(gè)股的股價(jià)進(jìn)行混沌模型的構(gòu)造，對股價(jià)進(jìn)行預(yù)測。

總之，股市的混沌行為與自然界的其它混沌現(xiàn)象一樣是具有確定性的動力系統(tǒng)模型，通過該混沌動力系統(tǒng)模型的研究可以對其做有限時(shí)間的股價(jià)預(yù)報(bào)。雖然這種對初始條件極為敏感的系統(tǒng)不可能得到完美的預(yù)測值，然而在它的可預(yù)測能力丟失之前，特別當(dāng)時(shí)間長度較短時(shí)，其預(yù)測性還是可以獲得的，而且比基于一般統(tǒng)計(jì)方法的預(yù)測能力更好。