前言：本站為你精心整理了學校數學教學思想范文，希望能為你的創作提供參考價值，我們的客服老師可以幫助你提供個性化的參考范文，歡迎咨詢。

高等數學教學中融入數學建模思想初探(免費論文)

【摘要】在高科技發展的今天,數學直接發揮著第一生產力的作用,高等數學是工科學生的必修課。數學是在實際應用的需求中產生的,要解決實際問題就必需建立數學模型。在高等數學教學中融入數學建模思想是搞好高等數學教學,充分發揮數學重要作用的有效手段和途徑。

【關鍵詞】高等數學;融入;數學建模

數學是研究現實世界中數量關系和空間形式的科學。數學以抽象的形式,追求高度精確、可靠的知識。抽象并非數學獨有的特性,但數學的抽象卻是最為典型的,數學的抽象舍棄了事物的其他方面而僅僅保留某種關系或結構,同時,數學的概念和方法也是抽象的。數學是在對宇宙世界和人類社會的探索中追求最大限度的一般性模式,特別是一般性算法的傾向。這種追求使數學具有廣泛的適用性。同一組偏微分程,在流體力學中用來描寫流體動態,在彈性科學實驗中用來描寫振動方程,在聲學中用來描寫聲音傳播等等。數學作為一種創造性活動,具有藝術的特征,具有優美性。英國數學家和哲學家羅素對數學的優美性曾有過一段精辟的話“:數學不僅擁有真理,而且擁有至高無尚的美,是一種冷峻嚴肅的美,就像是一種雕塑。這種美沒有繪畫或音樂那樣華麗的裝飾,它可以純潔到崇高的程度,能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的完美境界。”最近幾十年來,由于計算機技術的高速發展,數學的地位更是發生了巨大的變化。科學的本質是數學,現代科學的一個重要特征就是數學化,高技術在本質上就是數學技術,現代數學已不再僅僅是其他科學的基礎,而是直接發揮著第一生產力的作用。

一、當前工科數學教學的現狀

作為一門基礎課,高等數學是理工科學生的必修課。高等數學教學,就其內容而言是比較完備與定型的。高等數學是以討論函數微積分為主要內容的一門學科,主要內容是函數、極限、連續、導數、微分、積分、向量代數與空間解析幾何、微分方程等。這些內容不僅是工科各專業課的理論基礎及數學表達語言和工具也是學生從基礎教育思想向高等教育思想的過渡。高等數學教學不僅僅是一門知識的傳授和學習現代自然科學的工具,更主要的是以此作為提高學生的素質素養以及培養學生分析問題、邏輯思維和創新能力的一種手段和途徑,這已是大多數教育工作者的共識。它是從有限的、形象的思維形式向無限的思維形式過渡的一門承上啟下的基礎理論課程。但是,過分強調這一點,導致在數學計劃中加入越來越多和越來越細的內容。通常是,老的內容不減,新的內容又必須插入,學生的負擔越來越重。不少學生帶著數學到底有什么用的困惑,在沉重的學習負擔下感到數學難懂又枯燥,學習興趣日下。一部分學生上課不聽,作業照抄,考試臨時抱佛腳。考試抑或沒通過,即使僥幸通過,也是學得快忘得更快。雖然有的學生嚴格按照老師的要求好好學習了,考試也許得了滿分,但一旦碰到以數學為工具解決各種實際問題時,也會束手無策,不知從哪兒下手怎樣搞好高等數學教學,充分發揮數學在各科和實際生活中解決實際問題的重要作用,這是值得我們探討的問題。

二、數學建模在高等數學教學中的重要作用

數學是在實際應用的需求中產生的,要解決實際問題就必需建立數學模型,即數學建模。數學建模是指對現實世界的一些特定對象,為了某特定目的,做出一些重要的簡化和假設,運用適當的數學工具得到一個數學結構,用它來解釋特定現象的現實性態,預測對象的未來狀況,提供處理對象的優化決策和控制,設計滿足某種需要的產品等。一般來說數學建模過程可用

從此意義上講數學建模和數學一樣有古老歷史。例如,歐幾里德幾何就是一個古老的數學模型,牛頓萬有引力定律也是數學建模的一個光輝典范。今天,數學以空前的廣度和深度向其它科學技術領域滲透,過去很少應用數學的領域現在迅速走向定量化,數量化,需建立大量的數學模型。特別是新技術、新工藝蓬勃興起,計算機的普及和廣泛應用,數學在許多高新技術上起著十分關鍵的作用。因此數學建模被時代賦予了更為重要的意義。

大學生數學建模競賽自1985年由美國開始舉辦,競賽以三名學生組成一個隊,賽前有指導教師培訓。賽題來源于實際問題。比賽時要求就選定的賽題每個隊在連續三天的時間里寫出論文,包括:問題的適當闡述;合理的假設;模型的分析、建立、求解、驗證;結果的分析;模型優缺點討論等。

數學建模競賽宗旨是鼓勵大學師生對范圍并不固定的各種實際問題予以闡明、分析并提出解法,通過這樣一種方式鼓勵師生積極參與并強調實現完整的模型構造的過程。以競賽的方式培養學生應用數學進行分析、推理、證明和計算的能力;用數學語言表達實際問題及用普通人能理解的語言表達數學結果的能力;應用計算機及相應數學軟件的能力;獨立查找文獻,自學的能力,組織、協調、管理的能力;創造力、想象力、聯想力和洞察力。他還可以培養學生不怕吃苦、敢于戰勝困難的堅強意志,培養自律、團結的優秀品質,培養正確的數學觀。這項賽事自誕生起就引起了越來越多的關注,逐漸有其他國家的高校參加。我國自1989年起陸續有高校參加美國大學生數學建模競賽。1994年數學建模競賽被正式列為國內大學生四大賽事之一,我校從95年就組隊參加全國大學生數學建模競賽,也取得了較滿意的成績。

通過多年全國大學生數學建模競賽的實踐表明,數學建模對培養學生觀察力、想象力、邏輯思維能力以及分析、解決實際問題的能力起到了很大的作用,但是限于競賽的規模及對參賽水平的要求,參與數學建模競賽的只是少部分學生。盡管許多院校每年也為學生開設數學建模選修課及數學建模培訓班,但課程對學生數學知識要求較高,因此這些課程并不適合大眾化教育。要全面提高大學生的素質,培養有創新精神的復合型應用人才,責任應該落在平時的傳統數學課程,則高等數學就是一個非常理想的載體。

三、在高等數學教學中融入數學建模思想、培養學生解決實際問題的能力

中國科學院院士李大潛指出“:數學的教學不能和其他科學和整個外部世界隔離開來,只是一個勁地在數學內部的概念、方法和理論中打圈子,這不利于了解數學的概念、方法和理論的來龍去脈,不利于啟發學生自覺運用數學工具來解決各種各樣的現實問題,不利于提高學生的數學素養。在開設和改進數學建模課程的基礎上,逐步將數學建模的精神、內涵和方法有機地體現到一些重要的數學課程中去,并在條件成熟時最終取消專門開設的數學建模類課程,或將其變為課外訓練的輔助環節,應該是一個努力的方向。”數學建模的思想和方法對于學生的創造性思維、意識和能力具有特殊的意義和良好的效果。在高數教學中浸透數學建模的思想,我們必須把握兩個原則:一是教學過程必須因材施教,合理安排,以高數教學為主,建模過程為輔,以保證高數課教學任務的完成。二是教學過程以介紹建模的思想、方法為主,提高建模能力為輔,故所選建模例子不宜過于復雜。

高等數學的微積分概念是現代數學的精髓之一事實上,在高等數學的微積分概念的形成中本身就滲透著數學建模思想,因此在數學概念的引入時,融入數學建模過程是完全可行的。為了在概念的引入中展現數學建模,首先必須提出具有實際背景的引例。下面我們就以高等數學中導數這一概念為例加以說明。

(一)、引例

模型I:變速直線運動的瞬時速度

1、提出問題:設有一物體在作變速運動,如何求它在任一時刻的瞬時速度?

2、建立模型:

分析:我們原來只學過求勻速運動在某一時刻的速度公式:S=vt那么,對于變速問題,我們該如何解決呢?師生討論:由于變速運動的速度通常是連續變化的,所以當時間變化很小時,可以近似當勻速運動來對待。假設:設一物體作變速直線運動,以它的運動直線為數軸,則在物體的運動過程中,對于每一時刻t,物體的相應位置可以用數軸上的一個坐標S表示,即S與t之間存在函數關系:s=s(t)。稱其為位移函數。設在to時刻物體的位置為S=s(t0)。當在t0時刻,給時間增加了△t,物體的位置變為S=(t0+△t):此時位移改變了△S=S(t0+△t)-S(t0)。于是,物體在t0到t0+△t這段時間內的平均速度為:v=△

S

△t當

△t很小時,v可作為物體在t0時刻瞬時速度的近似值。且當△t越小,v就越接近物體在t0時刻的瞬時速度v,即vt0=lim

△t→0

△S

△t[

(1)式];

(1)即為己知物體運動的位移函數s=s(t),求物體運動到任一時刻to時的瞬時速度的數學模型。模型II:非恒定電流的電流強度。己知從0到t這段時間流過導體橫截面的電量為Q=Q(t),求在t0時刻通過導體的電流強度?通過對此模型的分析,同學們發現建立模型II的方法步驟與模型I完全相同,從而采用與模型I類似的方法,建立的數

學模型為:It0=lim

△t→0

△Q

△t。

要求解這兩個模型,對于簡單的函數還容易計算,但對于復雜的函數,求極限很難求出。為了求解這兩個模型,我們拋開它們的實際意義單從數學結構上看,卻具有完全相同的形式,可歸結為同一個數學模型,即求函數改變量與自變量改變量比值,當自變量改變量趨近于零時的極限值。在自然科學和經濟活動中也有很多問題也可歸結為這樣的數學模型,為此,我們把這種形式的極限定義為函數的導數。

(二)、導數的概念

定義:設函數y=f(x)在點x0的某一領域內有定義,

當自變量x在x0處有增量△x時,函數有相應的增量

△y=f(x0+△x)-f(x0)。如果當△x→0時△

y

△x的

極限存在,

這個極限值就叫做函數y=f(x)在x0點的導數。即函數

y=f(x)在點x0處可導,記作f′(x0)或f′|x=x0即f′(x0)=lim

△t→0

f(x0+△x)-f(x0)

△x。

有了導數的定義,前面兩個問題可以重述為:(1)變速直線運動在時刻to的瞬時速度,就是位移函數S=S(t)在to處對時間t的導數。即vt0=S′(t0)。(2)非恒定電流在時刻t0的電流強度,是電量函數Q=Q(t)在t0處對時間t的導數。即It0=Q′(t0)。如果函數y=f(x)在區間(a,b)內每一點都可導,稱y=f(x)在區間(a,b)內可導。這時,對于(a,b)中的每一個確定的x值,對應著一個確定的導數值f′(x),這樣就確定了一個新的函數,此函數稱為函數y=f(x)的導函數,記作y′或f′(x),導函數簡稱導數。顯然,y=f(x)在x0處的導數f′(x0),就是導函數f′(x)在點x0處的函數值。由導函數的定義,我們可以推導出一系列的求導公式,求導法則。(略)有了求導公式,求導法則后,我們再反回去求解前面的模型就容易得多。現在我們就反回去接著前面模型I的建模步驟。

3、求解模型:我們就以自由落體運動為例來求解

設它的位移函數為S=1

2g

t2,求它在2秒末的瞬時速

度?由導數定義可知:v(2)=S′(2)=1

2*

2gt|t=2=2g。

4、模型檢驗:上面所求結果與高中物理上所求得的結果一致。從而驗證了前面所建立模型的正確性。

5、模型的推廣:前面兩個模型的實質,就是函數在某點的瞬時變化率(這也是函數導數的實質)。由此可以推廣為:求函數在某一點的變化率問題(如切線的的斜率、邊際成本、細桿的線密度、化學反應速度等)都可以直接用導數來解,而不須象前面那樣重復建立模型。除了在概念教學中可以浸透數學建模的思想和方法外還可以在習題教學中浸透這種思想和方法。在這里就不一一列舉。

綜上所述,在高數教學中浸透數學建模的思想方法,一是可以使學生了解數學建模的基本思想,初步掌握從實際問題中提煉數學內涵的方法,并使用數學技巧加以解決;二是作為對傳統意義上數學教學的補充可以提高學生學習數學的興趣,活躍課堂氣氛,培養學生的創新意識,也能檢驗學生的知識結構和綜合運用能力。三是可以使學生把數學知識同專業知識相結合提高其解決實際問題的能力。充分發揮數學是一切自然學科基礎的重要作用。

【參考文獻】

[1]李大潛.中國大學生數學建模競賽[M].北京:高等教育出版社,2002.

[2]嚴勇,夏齡.數學建模教學與能力培養初探[J].康定師專學報,2003(增刊).

[3]劉來福,曾文藝.數學模型與數學建模[M].北京:北京師范大學出版社.1998.