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1.教材（五年級上冊）在求最大公因數和最小公倍數時，為什么不出現短除法？

教材在編排求兩個數的公因數與公倍數等內容時，沒有把“用短除法分解質因數”的方法作為求最大公因數或最小公倍數的基本方法，而是用列舉的方法，如下圖。

請你在下表中用“△”圈出4的倍數，用“○”圈出6的倍數。12345678910

11121314151617181920

21222324252627282930

31323334353637383940

41424344454647484950

4的倍數：＿＿。

6的倍數：＿＿。

既標有“△”又標有“○”的數是＿＿，它們是＿＿和＿＿的倍數，也就是它們的公倍數；其中最小的數叫做它們的最小公倍數。

首先，需要明確的是，教材提供的列舉法不僅在解決實際問題中用途廣泛，而且在數學中也是很重要的。同時，它簡單明了，幾乎所有的學生都能夠理解。對于求最大公因數和最小公倍數的問題，使用這個方法是基于學生對最大公因數和最小公倍數的理解的自然方法，既有利于對概念本身的理解，又簡單易學。而短除法的根據是分解質因數，學生理解起來比較困難。如果要求每一個學生掌握，需要花費大量精力，有的學生只好去機械記憶，結果反而不利于對最大公因數和最小公倍數等基本概念的理解。

其次，根據《數學課程標準》的要求，新世紀小學數學教材對“倍數與因數”“分數加減法計算”等內容的要求進行了適當的限制。如，求最小公倍數，只要求在1～100的自然數中，能找出兩個10以內自然數的公倍數和最小公倍數。再如，異分母分數加減法，兩個分數的分母一般都不超過10。也正因為數據比較小，利用列舉的方法找出公因數或公倍數并不麻煩。

對于教材為什么沒教短除法，一線教師也有很多體會，下面是兩位教師的觀點，供大家參考：

教師甲：教材這樣處理是有道理的。以前總是認為列舉法是一種很笨的方法。從來不主張學生用，只教自己認為最簡便、最有效的方法，比方說找最大公園數就用短除法。可是這套教材提倡方法多樣化，而且很重視列舉法，用這套教材實驗后才發現：列舉法用途廣泛、直接、明了、易懂、不易遺忘，特別適合思維能力弱一點的學生，所以我們要消除對列舉法的偏見。教師心目中最好的方法不一定適合每一個學生，說到底，擇優要因人而異……

教師乙：像短除法這一類知識，雖然有用，但它不是核心的、特別重要的數學知識，以后也很少用到，所以教材將其刪去了，目的是為了讓學生有更多的時間和精力來學習更有價值的知識。我們應該領會教材的編寫意圖，慢慢學會選擇。有用的知識這么多，我們總不能通通都教給學生吧，所以選擇就顯得非常重要了。

2.對“圓的認識”（六年級上冊）這一內容，教材安排了5個課時，目的何在？如何引導學生感悟圓的特征？

“圓的認識”是學生研究曲線圖形的開始，是學生認識發展的又一次飛躍。因此，教材希望通過大量的操作活動來幫助學生體驗圓的特征和研究曲線圖形的一些方法。

“圓的認識（一）”中，“觀察與思考一”的目的是使學生通過觀察日常生活中的圓形物體，建立正確的圓的表象，并通過思考圓和以前學過的圖形的不同點，認識到圓是由一條曲線構成的封閉圖形。“觀察與思考二”呈現了“套圈”的游戲情境，引導學生思考哪一種方式更公平，讓學生借助生活經驗初步感受圓上各點到圓心的距離相等的本質特征以及圓與正方形的不同。教材安排的“畫一畫”活動，進一步使學生在動手操作中體會圓的本質特征，并引出圓心、半徑和直徑的概念。“觀察與思考三”再次將學生的視角引向生活，引導學生思考和研究“車輪為什么是圓的”，應用所學的知識解釋生活中的一些現象，進一步在解釋生活現象中體會圓的本質特征。

“圓的認識（二）”主要是使學生認識到圓的對稱性。教材先創設了一個“找圓心”的活動，引導學生通過折紙，找出這個圓的圓心，體會圓的軸對稱性。接著，教材進一步引導學生開展折紙活動，探索圓的軸對稱性以及同一個圓里半徑與直徑的關系，等等。在這部分內容中，教材還安排了操作活動，使學生對圓的旋轉對稱有所感受。

“欣賞與設計”的內容主要是鼓勵學生運用所學的圖形設計圖案。這不僅能培養學生的想象力和創造力，使學生體會到圖形世界的神奇和美麗，同時在分析圖案和創造圖案的過程中，學生還將進一步鞏固對所學圖形特征的認識。另外，“數學萬花筒”中設計了用正方形紙片畫圓的方法，可以幫助學生初步感受由正方形逼近圓的思想。

3.在“圓的面積”的教學中，教材為什么安排讓學生先估計圓的面積？

在“圓的面積”的教學中，教材安排了一個“估一估”的活動，目的是使學生進一步體會面積度量的含義，感受“化曲為直”的思想，發展學生的估計策略，進一步理解圓的面積的含義。

教材采用了方格紙估算圓的面積的方法，呈現了一個10×10的正方形（每個方格代表1平方米），并把半徑5米的圓置于其中。教材呈現了兩種估計方法：第一種是利用正多邊形的面積進行估計。圓的面積比圓外切正方形的面積小，比圓內接正方形的面積大。圓外切正方形的面積是100平方米，圓內接正方形的面積是50平方米，所以圓的面積大于50平方米而小于100平方米。第二種是用數方格的方法進行估計，并滲透通過估計部分來估計整個圓的面積。先用數格子的方法數出圓的的面積約是20平方米，再估計整個圓的面積約是80平方米。

4.如何認識平移、旋轉和軸對稱？它們的基本要素是什么？

平移、旋轉和軸對稱是三個基本的全等變換。如果圖形經過變換后與原來的圖形是重合的，也就是圖形的形狀、大小不發生變化，那么這個圖形進行的變換叫做全等變換。全等變換的本質是原圖形上任意兩點之間的距離不發生變化。

具體什么叫平移、旋轉和反射，我們不給出嚴格的定義，而是直觀地給予解釋，并指出這些變換的基本要素。

如上圖，如果原圖形中任意一個點到新圖形中相對應點的連線方向相同，長度也相等，這樣的全等變換稱為平移變換，簡稱平移。也就是說，平移的基本特征是，圖形平移前后“每一點和與它對應的點之間的連線互相平行且相等”。顯然，確定平移變換需要兩個要素：一是方向，二是距離。對于平移，需要說明：(1)基本圖形，是什么圖形發生了平移；(2)方向，向什么方向發生了平移；(3)距離，平移了多遠。

如上圖，旋轉的基本特征是圖形旋轉前后“對應點到旋轉中心的距離相等，并且各組對應點與旋轉中心連線的夾角都等于旋轉的角度”。顯然，確定旋轉變換需要兩個要素：旋轉中心、旋轉角（有方向）。對于旋轉，需要說明：(1)基本圖形，是什么圖形發生了旋轉；(2)旋轉中心，是繞哪個點旋轉的；(3)方向，向什么方向發生了旋轉，是順時針還是逆時針；(4)角度，旋轉了多大的角度。順便提一句，旋轉中心不一定是基本圖形上的頂點，可以是平面上的任意一點。有的教師認為旋轉中心就是圖形的頂點，這是錯誤的。

如果連接新圖形與原圖形中每一組對應點的線段都和同一條直線垂直且被該直線平分，這樣的全等變換稱為反射變換。垂直平分對應點所連線段的直線叫做對稱軸。也就是說，反射變換的基本特征是“連接任意一組對應點的線段都被對稱軸垂直平分”。顯然，確定反射變換的關鍵在于找到對稱軸。