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摘要：本文將正交曲線坐標系下的平面二維水沙數學模型和粘性河岸的沖刷模型結合，用于模擬彎道內的水流運動、懸移質泥沙的輸移、河床的縱向及橫向變形.用水槽試驗資料驗證了本文提出的水流模型，結果表明流速分布、水位等計算結果與實測值相當符合.應用建立的水沙數學模型以及河岸沖刷模型，模擬了一概化彎道在持續清水沖刷下的主流線位置、斷面形態、主槽比降的變化過程，模擬結果符合彎道演變規律.

關鍵詞：彎曲河道平面二維水沙數學模型河岸沖刷模型河床縱向及橫向變形

彎曲河道是天然河道中常見的一種河流形態，多年來人們從各個方面對彎曲河道特有的水流運動規律、河床演變規律，進行了廣泛的研究[1，2].如張紅武[2]從模型試驗和理論分析出發，較為深入地研究了彎道內的水面形態、環流運動以及縱向流速的沿程分布規律等.隨著計算機性能的提高，以及數值計算方法的發展，很多研究者開始用數學方法模擬彎道內的水沙運動及河床變形.最早以engelund[3]、odgaard[4]等人提出的恒定水流模型為代表.近年來，部分研究者提出的三維數學模型，既能模擬彎道內的水沙運動，又能考慮床面的沖淤變化，較以前有了更大的進步[5，6].盡管三維數學模型可以模擬彎道內較為復雜的水流運動和河床變形問題，不過在實際工程中用的最廣的還是平面二維模型[7，8].

通常現有這些模型只考慮河床的縱向變形，而很少注意彎道內的橫向變形問題，也即河岸沖刷問題.本文針對當前在彎道水流和河床變形模型的研究狀況，以前人的研究結果為基礎，建立了正交曲線坐標下的平面二維水沙數學模型，用于模擬彎道內的水沙運動及河床縱向變形；在深入分析河岸沖刷機理的基礎上，采用力學模型模擬粘性河岸沖刷、崩塌的過程.最后利用彎道模型的試驗資料，驗證了本模型計算的流場、岸邊水位等與實測值符合較好.同時模擬了90°彎道在持續清水沖刷下的河床變形過程，對主流線、斷面形態、主槽比降等計算結果隨時間變化的分析表明，模擬結果符合彎道變形規律.

1數學模型

本文建立的模型具有如下特點：(1)為適應不規則的岸邊界，建立正交曲線坐標下的平面二維水沙模型，并用madi方法[9]求解水流方程組.(2)改進以往對泥沙恢復飽和系數取為經驗常數的做法，模型中采用了張紅武[10]提出的不平衡輸沙理論，用于研究懸移質泥沙的輸移以及河床變形過程.(3)引入osman[11]提出的河岸沖刷模型，用于模擬粘性河岸的橫向沖刷過程以及在重力作用下的崩塌過程.

1.1平面二維水沙數學模型

1.1.1水流基本方程

式中：εξ、εη分別表示ξ、η方向的泥沙擴散系數；s0k、sk、s*k、ωk分別為第k粒徑組泥沙的側向輸入項、分組含沙量、分組挾沙力及有效沉速；α*、f1、k1分別為平衡含沙量分布系數，非飽和系數以及附加系數.

上述3個參數以及水流挾沙力的計算方法，詳見文獻[10].而分組挾沙力級配以及床沙級配的計算方法，見文獻[12].

1.1.3河床縱向變形方程由懸移質泥沙不平衡輸移引起的河床縱向變形方程為：

式中：ρ′為床沙干密度，n為非均勻泥沙的分組數.

1.2幾個關鍵問題的處理

1.2.1正交曲線網格的生成設(x,y)為物理平面上的笛卡爾坐標系，(ξ,η)為相應計算平面上的變換坐標系，用以下方程可實現兩個坐標系之間的變換，即：

求解上述方程組，即可得到物理平面(x,y)與計算平面(ξ,η)上對應點的關系.當網格正交時，β=0.控制函數的具體表達式，參見文獻[13].

1.2.2初、邊界條件對初始條件，一般給出水位、流速、含沙量等變量的初值.對進口邊界、給定流量、沙量過程線，以及含沙量級配.對出口邊界、給定水位過程線，并認為s/ξ=0.對岸邊界，對水流可采用滑移或無滑移邊界條件；對泥沙，可取s/=0(為岸邊界法線方向).

在本文模擬的彎道中，橫斷面由主槽和灘地組成.假設灘地不過水，則岸邊界是灘岸，同時認為灘岸可以沖刷.實際計算區域包括灘地和主槽，故采用“凍結法”技術[14]處理灘地上那些不過水的節點.一般岸坡坡頂和坡腳間的水平距離較小，可能遠小于網格尺寸，在程序中不能分辨.為了能模擬河岸的沖刷過程，同時又不增加計算量，故本文在計算中用一數組記錄岸邊相鄰兩節點之間的實際地形.

1.3河岸沖刷模型現有的很多泥沙數學模型，很少考慮到河岸沖刷問題.即使那些考慮了河岸沖刷的模型，往往對彎道中河岸沖刷機理、沖刷速率，做了大量的假設和簡化.如ikeda[15]認為彎道凹岸附近的縱向垂線平均流速大于彎道中心處的垂線平均流速時，彎道凹岸沖刷，反之則淤積.hasegawa[16]認為河岸沖刷速率與近岸的剩余流速成正比，根據泥沙連續方程，得出了適用于彎曲河道通用的河岸沖刷系數.不過，這類模型中存在一個共同缺點，即很少考慮到河岸組成物質、土體特性、幾何形態等對河岸沖刷的影響.眾所周知，粘性河岸和非粘性河岸的沖刷機理和沖刷速率是完全不同的.

為準確模擬河岸的橫向沖刷過程，必須深入分析河岸沖刷機理.一般來講，河岸沖刷后退是河岸土體和近岸水流相互作用的結果.除了岸邊植被生長情況、河道內水位升降、滲流、管涌等因素影響河岸后退外，但主要是以下2種情況，是導致河岸后退的主要原因：(1)通過水流直接橫向沖刷河岸導致河岸后退.近岸水流直接作用于河岸，沖動河岸邊坡上水面以下的表層土體，并被水流帶走，從而導致河岸后退.(2)通過河岸崩塌導致河岸后退.崩塌是河岸上的一部分土體在重力作用下，沿某一滑動面發生移動的過程.一般床面發生沖刷，導致河岸高度增加，或者水流淘刷河岸坡腳，使河岸坡度變陡，都會降低河岸的穩定性，當河岸的穩定性降低到一定程度后，河岸便會發生崩塌，導致岸邊界后退.

圖1粘性河岸沖刷的計算模式

本文主要考慮粘性河岸的沖刷后退過程，采用osman[11]提出的河岸沖刷模型(圖1).該模型首先計算河岸橫向沖刷距離，然后分析河岸是否會失穩、崩塌.在δt(sec)時間內，粘性河岸被水流橫向沖刷后退的距離為：

式中：γs河岸土體的容重(kn/m3)；δb為δt時間內河岸因水流橫向沖刷而后退的距離(m)；τ為作用在河岸上的水流切應力(n/m2)；τc為河岸土體的起動切應力(n/m2).cl為橫向沖刷系數，取決于河岸土體的物理化學特性.

當由式(7)得河槽沖寬δb，用平面二維水沙模型算出河床沖深δz后，河岸高度增加，坡度變陡，穩定性降低.根據土力學中的邊坡穩定性關系，采用若干假定，可得到河岸發生初次崩塌時的臨界條件.若河岸已發生初次崩塌，則假定以后的河岸崩塌方式為平行后退，即崩塌后的邊坡角度恒為β，仍可用土力學的方法判斷是否會發生二次崩塌.

1.4計算方法和求解過程首先，采用madi法[9]計算流場.這種方法采用非交錯網格，將水位、流速等變量均布置在同一網格點上，對水流連續方程和動量方程均不按方向剖開，由此將基本運動方程離散而形成新的差分代數方程組，并建立一種新的解法.具體求解過程如下：對式(1)進行差分離散，時間導數項采用前差表示，空間導數項采用中心差分表示，將時間步長δt分成兩部分.在前半時間步長內，利用連續方程(1)、ξ方向動量方程(2)，沿ξ方向采用隱式離散，對η方向采用顯式離散，求解得zn+1/2,un+1/2，再利用η方向動量方程(3)，顯式求解得vn+1/2.在后半時間步長內，利用式(1)、(3)，沿η方向采用隱式離散，對ξ方向采用顯式離散，求解得zn+1，vn+1，再利用式(2)，顯式求解得un+1.由于要進行長時間的河床變形計算，計算量特別大，在實際計算中通常用偽恒定方法計算出恒定流場.然后，采用顯隱混合格式計算懸移質含沙量分布.先按不同方向ξ、η對式(4)進行算子分裂，在前半步長內，對ξ方向的分步方程用指數格式顯式離散求得sn+1/2，在后半步長內，對η方向的分步方程用crank-nicholson型格式隱式離散求得sn+1.以時間為迭代參數，計算出恒定的濃度場.

最后，顯式求解式(5)，可得出時段末的床面高程.在已知河床變形的基礎上，采用河岸沖刷模型，模擬彎曲河道河岸沖刷后退的過程，具體計算方法見文獻［12］.此外，本文在計算中還采用以下假定：直接從河岸沖刷下來的和河岸崩塌后產生的泥沙，全部轉化為懸移質泥沙，并作為下一個時段的側向輸沙量.

2模型的驗證

為了準確模擬彎道的河床變形過程，本文首先對水流模型進行驗證.驗證的資料來自羅索夫斯基[1]的180°彎道的水槽試驗資料.該水槽由一6m長的順直進口段、180°的彎道段以及3m長的出口段組成.水槽寬度為0.80m，過水斷面為矩形.彎道外半徑為1.2m，內半徑為0.4m.計算中的水流條件如下：流量為12.3×10-3m3/s，進口斷面選在水槽進口以下2m處；出口斷面選在距水槽出口0.1m處，斷面水深為0.054m.水槽糙率取0.012，計算區域內共劃分網格數為95×11.

圖2彎道凹岸與凸岸岸邊水位的沿程分布

圖3縱向垂線平均流速分布

圖2給出了彎道中凹岸和凸岸水位沿程變化情況.從圖中可以看出，在彎道進口段，凹岸和凸岸的水位基本相同；在彎道段，凹岸水位明顯高于凸岸；在彎道出口段，兩岸水位基本相同.盡管計算值略小于實測值，但兩者的變化趨勢相當符合，當水流由順直河段進入彎道后，由于受到離心力的作用，使彎道凹岸一側的水位恒高于凸岸一側，最大水位差一般出現在彎道頂點附近，而向上下游兩個方向逐漸減少.由于未能考慮彎道內橫向環流對水流動量方程的影響，從而導致水位計算值總體偏小.

圖3給出了縱向垂線平均流速的沿程分布情況.從圖可知，實測值與計算值符合較好，尤其在彎道的進口段附近.從圖中還可以看出，在彎道的進口段，最大縱向平均流速的位置(主流線)緊靠凸岸；在彎道段，主流線仍緊靠凸岸；在彎道出口段附近，主流線逐漸向凹岸轉移.出彎后的水流，在相當長的距離內，最大流速仍靠近外側(凹岸).