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（一）教學具準備

投影儀

（二）教學目標

1．應用倍角公式解決本章開頭的一個應用問題．

2．活用倍角公式，推求半角公式．

（三）教學過程

1．設置情境

請同學看教材第3頁上的一段文字，它敘述的是一個生活中的實際問題：

“如圖1，是一塊以點為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上畫出一個內接矩形辟為綠地，使其一邊落在半圓的直徑上，另兩點、落在半圓的圓周上．已知半圓的半徑為，如何選擇關于點對稱的點、的位置，可以使矩形的面積最大？”根據教材提示應用所學的倍角公式，同學們能嘗試解答它嗎？

2．探索研究

分析：要使矩形的面積最大，就必須想辦法把面積表示出來，不妨利用我們所學的三角知識，從角的方面進行考慮，設，則，，所以可以用表示．

解：設則

∵∴

當時，即，

這時，

答：點、分別位于點的左、右方處時取得最大值．

變式：把一段半徑為的圓木鋸成橫截面為矩形的木料，怎樣鋸法才能使橫截面的面積最大？

生：根據上題的結果可知這時圓內接矩形為內接正方形時面積最大．

以上是倍角公式在實際生活中的運用，請同學們觀察以下例題，并分析、思考后能否得出證明．

3．例題分析

【例1】求證：

（1）；（2）；

（3）．

思考，討論．

我們知道公式中是任意的，所以我們可以用來替換，這樣就得到

即

上面三式左邊都是平方形式，當的值已知，角的終邊所在象限已知時，就可以將右邊開方，從而求得：

以上兩式相除又得：

這三個式子稱之為半角公式，“±”號的取舍得由終邊所在象限確定．

【例2】求證：

．

分析：從例1引出例2，，右邊是同一個三角函數，并且還要附上正負號，而所要證明的式子右邊有兩個三角函數，不帶正負號．故我們不能利用上法，得另想辦法．

師：（邊敘述邊板書）

∴

上式不含根號也不必考慮“±”號選取，通常用于化簡或證明三角恒等式，同樣可作半角公式運用．

【例3】已知：，求，，．

解：

說明：①例1中（1）、（2）兩式使用頻率極高，正、逆使用都非常普遍．習慣從左到右，常稱“擴角降冪公式”，從右到左常謂“縮角升冪公式”，

②半角公式是二倍角公式的另一種表達方式，倍半關系是相對的．

練習（投影）

1．已知：（），

求：（1）；（2）．

2．若，求：的值．

3．求：的值．

參考答案：

解：1．∵

兩邊平方得∴

又∵∴

∴∴

2．∵∴

原式

（3）

另解：設……………………①

……………………②

①＋②得…………………………③

①－②得……④

③＋④得∴

4．總結提煉

（1）本節課我們由倍角公式出發解決了實際應用問題，得出結論“在一個圓的所有內接矩形中，以內接正方形的面積為最大”，另外由倍角公式解答了例1、例2，從而推導出半角公式，公式“±”號的選取決定于終邊所在的象限，例2的應用也很廣泛，大家可根據題目的條件選擇使用較為方便的形式．

（2）從半角公式可以看出，半角的正弦、余弦、正切公式都可以用單角的余弦來表示．

（3）若給出的是象限角，則可根據下表決定符號．

的終邊

一

二

三

四

的終邊

一或三

一或三

二或四

二或四

若給出的是區間角，則先求所在區間再確定符號．

若沒有給出確定符號的條件，則應在根號前保留“±”號．

（五）板書設計

二倍角的正弦、余弦、正切

1．復述二倍角公式

2．由，推出半角公式