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教學(xué)目標(biāo)

(1)把握復(fù)數(shù)乘法與除法的運(yùn)算法則,并能熟練地進(jìn)行乘、除法的運(yùn)算;

(2)能應(yīng)用i和的周期性、共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)、模的性質(zhì)熟練地進(jìn)行解題;

(3)讓學(xué)生領(lǐng)悟到“轉(zhuǎn)化”這一重要數(shù)學(xué)思想方法;

(4)通過(guò)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)乘法與除法的運(yùn)算法則,培養(yǎng)學(xué)生探索問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

教學(xué)建議

一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì).復(fù)數(shù)的代數(shù)形式相乘,與加減法一樣,可以按多項(xiàng)式的乘法進(jìn)行,但必須在所得的結(jié)果中把換成-1,并且把實(shí)部與虛部分合并.很明顯,兩個(gè)復(fù)數(shù)的積仍然是一個(gè)復(fù)數(shù),即在復(fù)數(shù)集內(nèi),乘法是永遠(yuǎn)可以實(shí)施的,同時(shí)它滿足并換律、結(jié)合律及乘法對(duì)加法的分配律.規(guī)定復(fù)數(shù)的除法是乘法的逆運(yùn)算,它同多項(xiàng)式除法類似,當(dāng)兩個(gè)多項(xiàng)式相除,可以寫(xiě)成分式,若分母含有理式時(shí),要進(jìn)行分母有理化,而兩個(gè)復(fù)數(shù)相除時(shí),要使分母實(shí)數(shù)化,即分式的分子和分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù),使分母變成實(shí)數(shù).

三、教學(xué)建議

1.在學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式相乘時(shí),復(fù)數(shù)的乘法法則規(guī)定按照如下法則進(jìn)行.設(shè)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù),那么它們的積:

也就是說(shuō).復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法是類似的,注重有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把換成一1,再把實(shí)部,虛部分別合并,而不必去記公式.

2.復(fù)數(shù)的乘法不僅滿足交換律與結(jié)合律,實(shí)數(shù)集R中整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算律,在復(fù)數(shù)集C中仍然成立,即對(duì)任何,,及,有:

,,;

對(duì)于復(fù)數(shù)只有在整數(shù)指數(shù)冪的范圍內(nèi)才能成立.由于我們尚未對(duì)復(fù)數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行定義,因此假如把上述法則擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪內(nèi)運(yùn)用,就會(huì)得到荒謬的結(jié)果。如,若由,就會(huì)得到的錯(cuò)誤結(jié)論,對(duì)此一定要重視。

3.講解復(fù)數(shù)的除法,可以按照教材規(guī)定它是乘法的逆運(yùn)算,即求一個(gè)復(fù)數(shù),使它滿足(這里,是已知的復(fù)數(shù)).列出上式后,由乘法法則及兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件得:

,

由此

,

于是

得出商以后,還應(yīng)當(dāng)著重向?qū)W生指出:假如根據(jù)除法的定義,每次都按上述做來(lái)法逆運(yùn)算的辦法來(lái)求商,這將是很麻煩的.分析一下商的結(jié)構(gòu),從形式上可以得出兩個(gè)復(fù)數(shù)相除的較為簡(jiǎn)捷的求商方法,就是先把它們的商寫(xiě)成分式的形式,然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù),再把結(jié)果化簡(jiǎn)即可.

4.這道例題的目的之一是練習(xí)我們對(duì)于復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算、乘方運(yùn)算及乘法公式的操作,要求我們做到熟練和準(zhǔn)確。從這道例題的運(yùn)算結(jié)果,我們應(yīng)該看出,也是1的一個(gè)立方根。因此,我們應(yīng)該修正過(guò)去關(guān)于“1的立方根是1”的熟悉,想到1至少還有一個(gè)虛數(shù)根。然后再回顧例2的解題過(guò)程,發(fā)現(xiàn)其中所有的“”號(hào)都可以改成“±”。這樣就能找出1的另一個(gè)虛數(shù)根。所以1在復(fù)數(shù)集C內(nèi)至少有三個(gè)根:1,,。以上對(duì)于一道例題或練習(xí)題的反思過(guò)程,看起來(lái)并不難,但對(duì)我們學(xué)習(xí)知識(shí)和提高能力卻十分重要。它可以有效地鍛煉我們的逆向思維,拓寬和加深我們的知識(shí),使我們對(duì)一個(gè)問(wèn)題的熟悉更加全面。

5.教材194頁(yè)第6題這是關(guān)于復(fù)數(shù)模的一個(gè)重要不等式,在研究復(fù)數(shù)模的最值問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用。在應(yīng)用上述絕對(duì)值不等式過(guò)程中,要非凡注重等號(hào)成立的條件。

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

復(fù)數(shù)的乘法

教學(xué)目標(biāo)

1.把握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法運(yùn)算法則,能熟練地進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算;

2.理解復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律;

3.知道復(fù)數(shù)的乘法是同復(fù)數(shù)的積,理解復(fù)數(shù)集C中正整數(shù)冪的運(yùn)算律,把握i的乘法運(yùn)算性質(zhì).

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)

復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì).

難點(diǎn)是復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算律的理解.

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.引入新課

前面學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加減法,其運(yùn)算法則與兩個(gè)多項(xiàng)式相加減的辦法一致.那么兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算是否仍可與兩個(gè)多項(xiàng)式相乘類似的辦法進(jìn)行呢?

教學(xué)中,可讓學(xué)生先按此辦法計(jì)算,然后將同學(xué)們運(yùn)算所得結(jié)果與教科書(shū)的規(guī)定對(duì)照,從而引入新課.

2.提出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算法則:

.

指出這一法則也是一種規(guī)定,由于它與多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則一致,因此,不需要記憶這個(gè)公式.

3.引導(dǎo)學(xué)生證實(shí)復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及分配律.

4.講解例1、例2

例1求.

此例的解答可由學(xué)生自己完成.然后,組織討論,由學(xué)生自己歸納總結(jié)出共軛復(fù)數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì):.

教學(xué)過(guò)程中,也可以引導(dǎo)學(xué)生用以上公式來(lái)證實(shí):

.

例2計(jì)算.

教學(xué)中,可將學(xué)生分成三組分別按不同的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算.比如說(shuō)第一組按進(jìn)行計(jì)算;第二組按進(jìn)行計(jì)算.討論其計(jì)算結(jié)果一致說(shuō)明了什么問(wèn)題?

5.引導(dǎo)學(xué)生得出復(fù)數(shù)集中正整數(shù)冪的運(yùn)算律以及i的乘方性質(zhì)

教學(xué)過(guò)程中,可根據(jù)學(xué)生的情況,考慮是否將這些結(jié)論推廣到自然數(shù)冪或整數(shù)冪.

6.講解例3

例3設(shè),求證:(1);(2)

講此例時(shí),應(yīng)向?qū)W生指出:(1)實(shí)數(shù)集中的乘法公式在復(fù)數(shù)集中仍然成立;(2)復(fù)數(shù)的混合運(yùn)算也是乘方,乘除,最后加減,有括號(hào)應(yīng)先處括號(hào)里面的.

此后引導(dǎo)學(xué)生思考:(1)課本中關(guān)于(2)小題的注解;(2)假如,則與還成立嗎?

7.課堂練習(xí)

課本練習(xí)第1、2、3題.

8.歸納總結(jié)

(1)學(xué)生填空:

;==.

設(shè),則=,=,=,=.

設(shè)(或),則,.

(2)對(duì)復(fù)數(shù)乘法、乘方的有關(guān)運(yùn)算進(jìn)行小結(jié).

9.作業(yè)

課本習(xí)題5.4第1、3題.