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南開大學(xué)自主招生范文第1篇

浙江省數(shù)學(xué)特級(jí)教師，嘉興市數(shù)學(xué)會(huì)副會(huì)長(zhǎng).

在現(xiàn)實(shí)世界中，相等是相對(duì)的，不等是絕對(duì)的．不等關(guān)系是現(xiàn)實(shí)生活中最普遍的數(shù)量關(guān)系，不等式是刻畫不等關(guān)系的一種重要數(shù)學(xué)模型．不等式與數(shù)、式、方程、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)都有著天然緊密的聯(lián)系，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)．在自主招生考試中，不等式問題主要分為三類：利用不等式求最值、解不等式、證明不等式．在本期內(nèi)容中，我們討論用均值不等式和柯西不等式解決這三類問題．

一、均值不等式和柯西不等式

均值不等式：ai>0（i＝1，2，…，n） ，記a1到an這n個(gè)正實(shí)數(shù)的平均數(shù)如下：調(diào)和平均數(shù)Hn＝■＝■，幾何平均數(shù)Gn=■=■，算術(shù)平均數(shù)An=■=■，平方平均數(shù)Qn=■=■，且有Hn≤Gn≤An≤Qn，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，Hn=Gn=An=Qn．其中，An≥Gn，即■≥■的使用頻率比較高．

柯西不等式： ai，bi（i＝1，2，…，n）為實(shí)數(shù)，則■■■■≥■aibi2． 若ai≠0，當(dāng)且僅當(dāng)■=■=…=■時(shí)，等號(hào)成立；若ai=0，默認(rèn)bi=0，等號(hào)也成立.柯西不等式的二維形式為（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc 時(shí)，等號(hào)成立．

二、利用均值不等式和柯西不等式求最值

利用均值不等式求最值時(shí)，要對(duì)所求的函數(shù)或代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹皽惻洹保皽惻洹敝饕浴昂蜑槎ㄖ担e最大”“積為定值，和最小”為依據(jù)，在函數(shù)或代數(shù)式的轉(zhuǎn)化過程中找到定值．

利用柯西不等式求最值時(shí)，也要對(duì)系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)摹皽惻洹保皽惻洹钡闹饕康氖前涯繕?biāo)函數(shù)向柯西不等式的形式轉(zhuǎn)化．

利用均值不等式和柯西不等式求最值時(shí)，都要注意等號(hào)成立的條件．

例1 （2008年南開大學(xué)自主招生考試試題） 已知正數(shù)a，b，c滿足：a2+ab+ac+bc＝6+2■，則3a+b+2c的最小值為 ．

解析：由題意可知（a+b）（a+c）＝6+2■，即a+b與a+c的乘積為“定值”． 3a+b+2c＝（a+b）+2（a+c）≥2■＝2■+2■，當(dāng)且僅當(dāng)a+b＝2（a+c）時(shí)，等號(hào)成立. 3a+b+2c的最小值為2■+2■.

例2 （2007年復(fù)旦大學(xué)自主招生考試第81題） 給定正整數(shù)n和正常數(shù)a，若a1，a2，a3，…成等差數(shù)列｛an｝且｛an｝滿足不等式■+■≤a，則和式■ai的最大值為

（A） ■（n+1） （B） ■n

（C） ■（n+1） （D） ■n

解析：根據(jù)題意，設(shè)｛an｝的通項(xiàng)公式為an＝a1+（n-1）d，則由題意得■ai＝■＝■＝■． 如何把■與■+■聯(lián)系起來呢？將■視作（-a1）2，在■+■前面乘以系數(shù)（32+12），根據(jù)柯西不等式的二維形式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，可得（3an+1-a1）2≤（32+12）?［■+（-a1）2］≤10a，即3an+1-a1≤■. 當(dāng)an+1＝-3a1，■+■＝a時(shí)等號(hào)成立． ■ai的最大值為■（n+1）． 選A．

三、利用均值不等式和柯西不等式求解代數(shù)式

利用均值不等式和柯西不等式解題時(shí)，若等號(hào)成立，不等式便可轉(zhuǎn)化為等式．據(jù)此，我們可以求出一些代數(shù)式的值．

例3 （2002年上海交通大學(xué)自主招生考試第10題） 若a，b滿足關(guān)系：a■+b■=1，則a2+b2= ．

解析：直接對(duì)a■+b■=1進(jìn)行兩邊平方化簡(jiǎn)，很難求出a2+b2的值． 如果我們聯(lián)想到a2+（■）2＝1，b2+（■）2=1，則由柯西不等式可得（a■+b■）2≤（a2+1-a2）（1-b2+b2）＝1.又由條件a■+b■＝1可知不等式a■+b■≤1能取到等號(hào)， ■＝■，化簡(jiǎn)得a2+b2=1．

四、利用均值不等式和柯西不等式證明不等式

利用均值不等式和柯西不等式可以拓寬不等式證明的思路：借助均值不等式可以實(shí)現(xiàn)“和”與“積”的轉(zhuǎn)換，借助柯西不等式則能起到“降次、升冪、去分母”的作用．

例4 （2011年“華約”自主招生考試第13題） 已知函數(shù)f（x）=■，f（1）=1，f■=■，令數(shù)列｛xn｝滿足xn+1＝f（xn），x1＝■．（1） 求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)；（2） 求證：x1?x2?…?xn>■．

解析： （1）由f（1）=1，f■=■解得a=1，b=1， f（x）=■．由x1＝■，xn+1＝f（xn）解得x2＝■，x3＝■，x4＝■，故猜想xn＝■．用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n=1時(shí)，x1＝■=■成立；假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，即xk＝■． xk+1=f（xk）=■=■=■， 當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立. ｛xn｝的通項(xiàng)公式為xn＝■ ．

（2） 要證x1?x2?…?xn >■，只需證■

到這里，解此題必用的結(jié)論■1+■n=e登場(chǎng)了，作為課外補(bǔ)充，該結(jié)論需要同學(xué)們牢記.

■1+■n=e， 1+■1+■?…?1+■■．

例5 （2008年南開大學(xué)自主招生考試試題） 設(shè)a，b，c為正數(shù)且a+b+c＝1．求證：a+■2+b+■2+c+■2≥■．

解析：首先來分析待證不等式的結(jié)構(gòu)特征．由于不等式左邊是二次代數(shù)式的和，右邊是常數(shù)，而已知條件是一次代數(shù)式的和，所以我們要設(shè)法把不等式左邊的二次式降為一次式，再把一次式降為常數(shù)，這樣柯西不等式才會(huì)有用武之地．

a+■2+b+■2+c+■2=■（12+12+12）a+■2+b+■2+c+■2≥■1?a+■+1?b+■+1?c+■2=■1+■+■+■2=■?1+（a+b+c）■+■+■2≥■1+■?■+■?■+■?■22＝■（1+9）2＝■．

解題過程中兩次使用了柯西不等式，第一次等號(hào)成立的條件是a+■＝b+■＝c+■，結(jié)合a，b，c為正數(shù)和a+b+c＝1，解得a＝b＝c＝■．第二次等號(hào)成立的條件是a＝b＝c＝■．兩次等號(hào)成立的條件相同，故所證不等式成立．

例6 （2010年浙江大學(xué)自主招生考試第5題） 有小于1的正數(shù)x1，x2，…，xn且x1+x2+…+xn=1，求證：■+■+…+■>4 ．

解析：待證不等式右邊為常數(shù)4，左邊是一些分式的和，形式復(fù)雜，難以通分求和. 我們考慮從不等式左邊的分母著手，使之與已知條件相關(guān)聯(lián)：將不等式左邊的分母x1-■，x2-■，…，xn-■相加，和式中就出現(xiàn)了x1+x2+…+xn的形式.

由柯西不等式可得［（x1-■）+（x2-■）+…+（xn-■）］■+■+…+■≥n2． x1+x2+…+xn=1， （x1-■）+（x2-■）+…+（xn-■）＝1-（■+■+…+■）． 0

通過以上講解，我們發(fā)現(xiàn)，在求解不等式問題的過程中，均值不等式和柯西不等式起著“神來之筆”的作用．另外，排序不等式、琴生不等式的用處也很大，如果你掌握了它們，在自主招生考試中，或許會(huì)有意想不到的收獲．

排序不等式：

設(shè)a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，則有a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1（反序乘積和）≤a1br1+a2br2+a3br3+…+anbrn（亂序乘積和）≤a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn（同序乘積和）． 當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn時(shí)，等號(hào)成立．

琴生不等式：

南開大學(xué)自主招生范文第2篇

關(guān)鍵詞：試點(diǎn)學(xué)院；教育教學(xué)改革；借鑒

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）36-0101-02

《國(guó)家中長(zhǎng)期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010―2020年）》的標(biāo)明高等教育將進(jìn)入全方位注重教育質(zhì)量的新階段。人才培養(yǎng)作為高等教育的基本職能，是高等教育的核心任務(wù)，人才培養(yǎng)的質(zhì)量問題是高等教育的核心問題[1]。提高人才培養(yǎng)質(zhì)量是高等教育內(nèi)涵式發(fā)展的必然要求，它要求大學(xué)不應(yīng)再一味地追求規(guī)模、強(qiáng)調(diào)硬件，而必須潛心地追求教學(xué)質(zhì)量[2]。然而，隨著高校的擴(kuò)招，人才培養(yǎng)的質(zhì)量問題不斷凸顯，主要存在規(guī)模結(jié)構(gòu)不合理、辦學(xué)特色不突出、條件保障不健全等問題，大大阻礙了高等教育事業(yè)的發(fā)展。而破解高等教育發(fā)展深層次矛盾，關(guān)鍵在于深化體制機(jī)制改革。為此教育部于2011年啟動(dòng)了試點(diǎn)學(xué)院改革項(xiàng)目，以創(chuàng)新人才培養(yǎng)體制為核心、以學(xué)院為基本實(shí)施單位，在所選取的17所高校試點(diǎn)學(xué)院推行綜合改革，并于2012年11月出臺(tái)《關(guān)于推進(jìn)試點(diǎn)學(xué)院改革的指導(dǎo)意見》，提出24項(xiàng)支持性政策措施，進(jìn)一步明確了改革的目標(biāo)和要求。這項(xiàng)改革將是推進(jìn)高等教育體制機(jī)制創(chuàng)新的重要突破口，對(duì)高等教育全面內(nèi)涵式發(fā)展具有巨大的推動(dòng)作用。本文將結(jié)合教育部試點(diǎn)學(xué)院的先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)，探索高等教育改革的有效途徑。

一、試點(diǎn)學(xué)院概述

試點(diǎn)學(xué)院是教育部設(shè)立的“高等教育教學(xué)改革特別試驗(yàn)區(qū)”，也是高等學(xué)校里的“改革特區(qū)”。教育部共設(shè)立了17個(gè)試點(diǎn)學(xué)院，分別是：清華大學(xué)理學(xué)院、北京大學(xué)物理學(xué)院、上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院、中山大學(xué)管理學(xué)院、華中科技大學(xué)光電子科學(xué)與工程學(xué)院、北京師范大學(xué)教育學(xué)部、天津大學(xué)精密儀器與光電子工程學(xué)院、同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院、南開大學(xué)泰達(dá)學(xué)院、上海大學(xué)錢偉長(zhǎng)學(xué)院、中國(guó)科技大學(xué)物理學(xué)院、浙江大學(xué)基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院、四川大學(xué)生命科學(xué)學(xué)院、北京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院、北京交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院、蘇州大學(xué)納米科學(xué)技術(shù)學(xué)院和黑龍江大學(xué)中俄學(xué)院。

17個(gè)試點(diǎn)學(xué)院來自“985”高校、“211”高校、其他高校的比例分別是13∶3∶1，涵蓋工、理、經(jīng)管、教育、醫(yī)學(xué)等5個(gè)學(xué)科門類（另1個(gè)綜合實(shí)體學(xué)院――南開大學(xué)泰達(dá)學(xué)院、1個(gè)培優(yōu)類學(xué)院――上海大學(xué)錢偉長(zhǎng)學(xué)院、1個(gè)國(guó)際學(xué)院――黑龍江大學(xué)中俄學(xué)院），比例為6∶4∶2∶1∶1，主要分布在華北、華東地區(qū)，占比分別是41%和35%。

二、試點(diǎn)學(xué)院改革舉措

圍繞教育部《關(guān)于推進(jìn)試點(diǎn)學(xué)院改革的指導(dǎo)意見》，試點(diǎn)學(xué)院改革主要針對(duì)直接影響人才培養(yǎng)質(zhì)量的生源、師資、培養(yǎng)模式以及體制機(jī)制保障等四個(gè)方面展開，立足各學(xué)院自身特點(diǎn)，實(shí)施了一系列改革措施。

1.招錄與選拔機(jī)制改革。在本科生生源招錄選拔方面，主要以創(chuàng)新基于國(guó)家統(tǒng)一高考的自主招錄方式為主，北京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院強(qiáng)調(diào)從學(xué)校、學(xué)科、企業(yè)三個(gè)角度全面觀察選拔學(xué)生，設(shè)立了“三三制”自主招生委員會(huì)[3]；北京師范大學(xué)教育學(xué)部實(shí)行按一級(jí)學(xué)科大類招生[4]；天津大學(xué)精密儀器與光電子工程學(xué)院以實(shí)施工程科學(xué)“夏令營(yíng)”和“冬令營(yíng)”為抓手，選拔具有潛力的學(xué)生[5]。在研究生生源招錄選拔方面，主要以多元化評(píng)價(jià)方式為主，北京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院優(yōu)先鼓勵(lì)招收具有創(chuàng)新實(shí)踐活動(dòng)經(jīng)歷的學(xué)生，破格錄取具有特殊能力的學(xué)生[3]；北京師范大學(xué)教育學(xué)部采取碩士自主命題招生，博士試行“推薦―審核”招生，并單列招生計(jì)劃[4]。

2.人才培養(yǎng)模式改革。試點(diǎn)學(xué)院對(duì)人才培養(yǎng)模式的改革主要集中在改革課程體系、實(shí)踐教學(xué)、個(gè)性化培養(yǎng)以及文化素質(zhì)培養(yǎng)等方面。如中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)物理學(xué)院建立了以課程組為主導(dǎo)的教學(xué)與管理模式，即課程由教授“組團(tuán)”來完成授課，每個(gè)教授至少參加兩個(gè)課程組以參與一線教學(xué)活動(dòng)，同時(shí)制定了教授值班制度，以“Open Hour”的形式為學(xué)生提供與教授面對(duì)面交流的平臺(tái)[6]；北京交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院通過組建本、碩、博相互融合的新型學(xué)生學(xué)業(yè)團(tuán)隊(duì)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)劃、科學(xué)研究和社會(huì)實(shí)踐能力[7]；天津大學(xué)精密儀器與光電子工程學(xué)院強(qiáng)調(diào)校企深度協(xié)同合作，建立融合社會(huì)資源的工程實(shí)踐基地，企業(yè)參與學(xué)生培養(yǎng)的同時(shí)學(xué)生可參與真實(shí)的企業(yè)實(shí)踐訓(xùn)練，理論聯(lián)系實(shí)際，提高培養(yǎng)質(zhì)量[5]；北京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院強(qiáng)調(diào)學(xué)生的差異化對(duì)待和個(gè)性化培養(yǎng)，通過不同類型（科學(xué)型、技術(shù)科學(xué)型、工程型）導(dǎo)師的自由選擇，獲得適合自身特點(diǎn)和興趣愛好的“個(gè)性化培養(yǎng)方案”，進(jìn)行差異化培養(yǎng)[3]；浙江大學(xué)基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院建立“知識(shí)、能力、視野、人文”四位一體的人才培養(yǎng)體系，強(qiáng)調(diào)提升培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才能力[8]。