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勾股定理證明方法范文第1篇

關鍵詞：高三化學實驗；高效復習

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）04-206-01

何謂勾股定理？勾股定理又叫畢氏定理，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。據考證，人類對這條定理的認識已經超過了4000年。據史料記載，世上有300多個對此定理的證明。勾股定理是幾何學中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若鶩。1940年出版過一本名為《畢達哥拉斯命題》的勾股定理的證明專輯，其中收集了367種不同的證明方法。實際上還不止于此，有資料表明，關于勾股定理的證明方法已有500余種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了20多種精彩的證法。這是數學中任何定理都無法比擬的。

本文中僅介紹勾股定理的證明方法中最為精彩的兩種證明方法，據說分別來源于中國和希臘。

1、中國方法：畫兩個邊長為 的正方形，如圖，其中 為直角邊， 為斜邊。這兩個正方形全等，故面積相等。 左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形，分別以 為邊，右圖剩下以 為邊的正方形。 于是得 。

這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡單，任何人都看得懂。

2、希臘方法：直接在直角三角形三邊上畫正方形。 如圖，在 中， ， ， ， 。容易得到， ，作 ，

故 ，所以 ，

即正方形 的面積與矩形 的面積相等。

同理可證得，正方形 的面積與矩形 的面積相等。

所以 ，即 。至于三角形面積是同底等高的矩形面積之半，則可用割補法得到。這里只用到簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。這就是希臘古代數學家歐幾里得在其《幾何原本》中的證法。

以上兩個證明方法之所以精彩，是它們所用到的定理少，都只用到面積的兩個基本觀念： ⑴ 全等形的面積相等；⑵ 一個圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。

勾股定理證明方法范文第2篇

1本章內容概述

直角三角形是一種極常見而特殊的三角形，它有許多性質，如兩個銳角互余，30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性質，有極其廣泛的應用.平角的一半就是直角，空間中一條水平方向的直線和另一條鉛垂方向的相交直線也相交成一個直角，直角是生產和生活中最常見的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三邊之間的數量關系，這就搭建起了幾何圖形和數量關系之間的一座橋梁，從而發揮了重要的作用.勾股定理不僅在平面幾何中是重要的定理，而且在三角學、解析幾何學、微積分學中都是理論的基礎，定理對現代數學的發展也產生了重要而深遠的影響.沒有勾股定理，就難以建立起整個數學的大廈.所以，勾股定理不僅被認為是平面幾何中最重要的定理之一，也被認為是數學中最重要的定理之一.

本章分為兩節，第一節介紹勾股定理及其應用，第二節介紹勾股定理的逆定理及其應用.

在第一節中，教科書安排了對勾股定理的觀察、計算、猜想、證明及簡單應用的過程.教科書首先簡略講述了畢達哥拉斯從觀察地面圖案的面積關系發現勾股定理的傳說故事，并讓學生也去觀察同樣的圖案，以發現等腰直角三角形這種特殊直角三角形下的特殊面積關系.在進一步的“探究”中又讓學生對某些直角三角形進行計算，計算以直角三角形兩直角邊為邊長的小正方形的面積和以斜邊為邊長的正方形的面積，發現以兩直角邊為邊長的小正方形的面積的和等于以斜邊為邊長的正方形的面積.然后對更一般的結論提出了猜想.

歷史上對勾股定理證明的研究很多，得到了很多證明方法.教科書正文中介紹了公元3世紀三國時期中國數學家趙爽的證明方法.這是一種面積證法，依據是圖形在經過適當切割后再另拼接成一個新圖形，切割拼接前后圖形的各部分的面積之和不變，即利用面積不變的關系和對圖形面積的不同算法推出圖形的性質.在教科書中，圖17.1-6（1）中的圖形經過切割拼接后得到圖17.1-6（3）中的圖形，證明了勾股定理.

根據勾股定理，已知兩條直角邊的長a，b，就可以求出斜邊c的長.根據勾股定理還可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜邊和一條直角邊的長，就可以求出另一條直角邊的長.也就是說，在直角三角形中，已知兩條邊的長，就可以求出第三條邊的長.教科書相應安排了兩個例題和一個“探究”欄目，讓學生學習運用勾股定理解決問題，并運用定理證明了斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

在第二節中，教科書首先讓學生畫出一些兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形，可以發現畫出的三角形都是直角三角形，從而作出猜想：如果三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.教科書借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）證明了這個猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一個三角形是直角三角形的一種重要依據.教科書安排了兩個例題，讓學生學會運用這個定理.本節結合勾股定理的逆定理的內容的展開，穿插介紹了逆命題、逆定理的概念，并舉例說明原命題成立其逆命題不一定成立.為鞏固這些內容，相應配備了一些練習和習題.

2編寫時考慮的幾個問題

2.1讓學生經歷勾股定理及其逆定理的探索過程

勾股定理及其逆定理都是初等數學中的重要定理，同時，這兩個定理也都是多數初中學生在教師的精心引導下通過探索能夠發現并證明的定理，教學中要重視這兩個定理的教學，在教學過程中要注意引導學生通過探索去發現圖形的性質，提出一般的猜想，并獲得兩個定理的證明.

教科書對勾股定理的教學，設計了一個從特殊到一般的探索、發現和證明的過程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的結論證明的趙爽證法的引入.這是一個典型的探索和證明的過程.類似地，對勾股定理的逆定理，教科書也設計了從特殊結論到一般結論的探索和證明的完整過程.

這樣安排教學，有利于學生認識結論研究的必要性，培養學生對結論的探索興趣和熱情，培養學生發現、提出、分析和解決問題的能力和嚴密審慎的思考習慣.

2.2通過介紹我國古代研究勾股定理的成就培養民族自豪感

我國古代對數學有許多杰出的研究成果，許多成就為世界所矚目和高度評價，在數學教學中應結合教學內容，適當介紹我國古代數學成就，培養學生愛國熱情和民族自豪感.

我國古代對勾股定理的研究就是一個突出的例子.根據成書年代不晚于公元前2世紀西漢時期的《周髀算經》進行推算，有可能在公元前21世紀大禹治水時人們就會應用“勾三股四弦五”的特殊結論，公元前6、7世紀時人們還知道了勾股定理的一般結論并能靈活運用結論解決許多實際測量問題.約公元3世紀三國時期趙爽為《周髀算經》作注寫《勾股圓方圖注》，用“弦圖”對勾股定理給出了一般的證明，這是我國對勾股定理一般結論的最早的證明.我國古代不僅較早獨立地發現了勾股定理有關“勾三股四弦五”的一些特殊結論，而且也比較早使用了巧妙的方法獨立證明了勾股定理一般結論，在勾股定理的應用方面也有許多深入的研究并達到熟練的程度.從《周髀算經》對勾股定理的多方面的論述，此書所記錄的在公元前6、7世紀時在我國人們已經能夠熟練且自信地把勾股定理應用到任意邊長的直角三角形的事實，可以推測在比《周髀算經》成書早得多的時候，我國對勾股定理不僅知其然而且知其所以然，只是缺少文獻明確記載對定理的論證.這些，都說明我國古代勞動人民的卓越聰明才智，也是我國對世界數學的重要貢獻，是值得我們自豪的.

本章教科書結合教學內容介紹了我國古代對勾股定理的有關研究成果.在引言中介紹了現存的我國古代的數學著作中最早的著作《周髀算經》的記載“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的證法很多，教科書為了弘揚我國古代數學成就，介紹了趙爽的證法.首先介紹趙爽“弦圖”，然后介紹趙爽利用弦圖證明命題1的基本思路.這些內容表現了我國古代勞動人民對數學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數學的驕傲.正因為此，趙爽“弦圖”被選為2002年在北京召開的世界數學家大會的會徽.教科書還在習題中安排了我國古代數學著作《九章算術》中的問題，展現我國古代在勾股定理應用研究方面的成果.

課本習題是一種重要的教學資源。在總復習教學中，通過探索課本典型習題的知識生長點、能力發展點、思想方法蘊涵點，挖掘課本典型習題的潛在教學價值，有利于激發學習興趣，提高復習教學效率；通過反思、拓展、應用，完成習題教學的第二次飛躍。培養學生探究質疑精神，提高創新意識和實踐能力。下面就一課本習題教學進行的再認識和再設計問題予以探究.

題目現行華師大版9年級《數學》上第24章《圖形的相似》復習題C組第20題：

（1）已知，如圖1，MN是ABCD外的一條直線，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′為垂足，求證：AA′+CC′=BB′+DD′.

（2）若直線MN向上移動，使點C在直線一側，A、B、D三點在直線另一側（如圖2），則垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間存在什么關系？先對結論進行猜想，然后加以證明.

圖1圖21質疑證法

華師大版配套教師用書提示：記O為ABCD兩條對角線的交點，過O作OO′MN，垂足為O′。

（1）由梯形中位線定理，易證所需結論.

（2）由梯形中位線定理，可得BB′+DD′=2OO′；易可證AA′-CC′=2OO′，因而AA′=BB′+CC′+DD′.

根據提示，運用梯形中位線定理是關鍵，證明如下：

圖3（1）證一：連結AC、BD交于O，過O作OO′MN，垂足為O′.

因為BO=OD，BB′∥OO′∥DD′，所以B′O′=O′D′。所以BB′+DD′=2OO′。同理AA′+CC′=2OO′。所以AA′+CC′=BB′+DD′.

證二：如圖3，分別連結AC、BD交于P，過P作PHMN于H，連結C′P，并延長交A′A的延長線于W。因為BP=PD，BB′∥PH∥DD′，則B′H=D′H，所以PH是梯形BB′D′D的中位線。所以BB′+DD′=2PH.

又PCC′≌PAW，所以PC′=PW，CC′=AW，PH是WA′C′的中位線，所以WA′=2PH，所以AA′+CC′=2PH，所以AA′+CC′=BB′+DD′.

（2）猜想：AA′-CC′=BB′+DD′。證明（轉化法）：如圖2，在ABCD外，另作M1N1∥MN，分別延長AA′、BB′、CC′、DD′交M1N1于A1、B1、C1、D1。由（1）證得：AA1+CC1=BB1+DD1。所以AA′+A′A1+C′C1-CC′=BB′+B′B1+DD′+D′D1，由于A′A1=C′C1=B′B1=D′D1，所以AA′-CC′=BB′+DD′.

問題分析對（1）的兩種證明，關鍵性依據是“過梯形一腰的中點且平行于兩底的直線必平分另一腰”，然后利用中位線性質獲證，證明看似順暢簡潔，但現行華師大版數學教材中始終沒有這樣的學習內容，造成推理無依據，難消學生心中的疑慮。證法二中用到的結論“過三角形一邊的中點且平行于另一邊的直線必平分第三邊”可以在教材P67開頭部分找到依據.

這些結論如果補證，會增加學生負擔；如果直接告訴這個結論，會增加學生理解難度。其實，還有適合學生的其他證法.

圖4改進證法（1）如圖4，分別過C、D作CHBB′于H，DPAA′于P。因為BB′∥AA′，AD∥BC，所以∠HBC+∠ABC+∠BAP=∠ABC+∠BAP+∠PAD=180°，所以∠HBC=∠PAD。又AD=BC，∠BHC=∠APD=90°，所以BHC≌APD。所以BH=AP。即BB′-HB′=AA′-PA′，由HB′=CC′，PA′=DD′，可得AA′+CC′=BB′+DD′.

（2）可仿（1）證明.

2質疑猜想

問題（2），在不給學生任何提示的前提下，學生的思考幾乎呈散放、無序的狀態，又測量因誤差，容易導致誤猜，實踐證明學生很難獲得有效的猜想。中科院院士張景中認為，一個題目，光想不動手，往往不得其門而入，動手做，常會有啟發，代數問題，把字母代成數試一試，幾何問題，多畫幾個圖看一看，這比你冥思苦想效果好得多，學生通過數學實驗，動手算一算、畫一畫、量一量，手腦并用，獲得直接的感性認識，能最大程度地發揮其主觀能動性，有利于右腦的開發，并能由此引發奇思妙想，產生大膽的猜想和創新。正所謂“直覺的產生要以邏輯分析為‘前奏曲’”。由此可見，猜想不是憑空亂想。教學中要教給學生猜想的方法和猜想的途徑。猜想的方法主要有：歸納、類比、合情推理。猜想的途徑主要是：觀察、實驗、探索。教學改進設計如下：

（1）實踐操作，感知確認。試一試，測量這些線段，通過計算，它們有什么的關系呢？有人測得BB′=0。2cm，AA′=1。1cm，CC′=0。5cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′+DD′=2（BB′+CC′）。還有BB′=0。25cm，AA′=1。1cm，CC′=0。55cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′=BB′+CC′+DD′。誰的猜想更合理呢？再畫一個圖形試一試，發現：AA′=BB′+CC′+DD′更合理.

（2）通過引入輔助元素，轉化為熟悉的問題或已經解決了的問題，通過推理獲得猜想.

3變式探究

變式1：如果再作如下移動又如何呢？若直線MN向上移動，使點C、D在直線一側，A、B點在直線另一側（如圖5），則垂線段AA′、BB′、CC′、DD′之間存在什么關系？先對結論進行猜想，然后加以證明.

勾股定理證明方法范文第3篇

關鍵詞：勾股定理 應用 證明 代數

勾股定理指出：直角三角形兩直角邊（即“勾”“股”短的為勾，長的為股）邊長平方和等于斜邊（即“弦”）邊長的平方。也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那么a的平方+b的平方=c的平方a2＋b2＝c2

1、數學史上的勾股定理

1．1勾股定理的來源

勾股定理又叫畢氏定理：在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。

1．2最早的勾股定理應用

中國最早的一部數學著作――《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話：周公問：“我聽說您對數學非常精通，我想請教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關于天地得到數據呢？”商高回答說：“數的產生來源于對方和圓這些形體餓認識。其中有一條原理：當直角三角形‘矩’得到的一條直角邊“勾”等于3，另一條直角邊“股”等于4的時候，那么它的斜邊“弦”就必定是5。這個原理是大禹在治水的時候就總結出來的呵。”從上面所引的這段對話中，我們可以清楚地看到，我國古代的人民早在幾千年以前就已經發現并應用勾股定理這一重要懂得數學原理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方和。

1．3在代數研究上取得的成就

例如從勾股定理出發逐漸發展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率。據說4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差。公元1世紀，我國數學著作《九章算術》中記載了一種求整勾股數組的法則，用代數方法很容易證明這一結論。由此可見，你是否想到過，我們的祖先發現勾股定理，不是一蹴而就，而是經歷了漫長的歲月，走過了一個由特殊到一般的過程。

2、勾股定理的一些運用

2．1在數學中的運用

勾股定理是極為重要的定理，其應用十分廣泛.同學們在運用這個定理解題時，常出現這樣或那樣的錯誤。為幫助同學們掌握好勾股定理，現將平時容易出現的錯誤加以歸類剖析，供參考。

2．1．1錯在思維定勢

例1一個直角三角形的兩條邊長分別是5和12，求第三條邊的長。

錯解：設第三條邊的長為a，則由勾股定理，得a=52+122，即a=13，亦即第三條邊的長是13。

剖析：由于受勾股定理數組5、12、13的影響，看到題設數據，一些同學便斷定第三條邊是斜邊.實際上，題目并沒有說明第三邊是斜邊還是直角邊，故需分類求解。

正解：設第三條邊的長為，（1）若第三邊是斜邊，同上可求得=13；（2）若第三邊是直角邊，則12必為斜邊，由勾股定理，故第三條邊的長是13或12.

2．2勾股定理在生活中的用

工程技術人員用的比較多，比如農村房屋的屋頂構造，就可以用勾股定理來計算，設計工程圖紙也要用到勾股定理，在求與圓、三角形有關的數據時，多數可以用勾股定理物理上也有廣泛應用，例如求幾個力，或者物體的合速度，運動方向…古代也是大多應用于工程，例如修建房屋、修井、造車等等

農村蓋房，木匠在方地基時就利用了勾股定理。木匠先是量出一個對邊相等的四邊形，這樣就保證這個四邊形是平行四邊形，為了再使它是矩形，木匠就在臨邊上分別量出30公分、40公分的兩段線段，然后再調整的另外兩個斷點間的距離使他們的距離成50公分即可。在這個過程中，木匠實際上即用到了平行四邊形的判定、矩形的判定，又用到了勾股定理。

2．3宇宙探索

幾十年前，有些科學家從天文望遠鏡中看到火星上有些地區的顏色有些季節性的變化，又看到火星上有運河模樣的線條，于是就猜想火星上有高度智慧的生物存在。當時還沒有宇宙飛船，怎樣和這些智慧生物取得聯系呢？有人就想到，中國、希臘、埃及處在地球的不同地區，但是他們都很早并且獨立的發現了勾股定理。科學家們由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的話，他們也許最早知道勾股定理。火星是否有高度智慧生物？現在已被基本否定，可是人類并沒有打消與地球以外生物取得聯系的努力，怎樣跟他們聯系呢？用文字和語言他們都不一定能懂。因此，我國已故著名數學家華羅庚曾建議：讓宇宙飛船帶著幾個數學圖形飛到宇宙空間，其中一個就是邊長為3：4：5的直角三角形。兩千年前發現的勾股定理，現在在探索宇宙奧秘的過程中仍然可以發揮作用。

看來，勾股定理不僅僅是數學問題，不僅僅是反映直角三角形三邊關系，她已成為人類文明的象征，她已成為人類智慧的標志！她是人們文化素養中不可或缺的一部分，不懂勾股定理你就不是現代文明人！

3、對勾股定理的一些建議

3．1掌握勾股定理，利用拼圖法驗證勾股定理；

經歷用拼圖的方法驗證勾股定理，培養學生的創新能力和解決實際問題的能力。拼圖的過導學生自主探索，合作交流。這種教學理念反映了時代精神，有利于提高學生的思維能力，有效地激發學生的思維積極性。鼓勵學生大膽聯想，培養學生數形結合的意識。

3．2發展合情推理的能力，體會數形結合的思想；

了解勾股定理的文化背景．思考在勾股定理的探索過程中，發展合情推理能力，體會數形結合的思想．教師在進行數學教學活動時，如果只以教材的內容為素材對學生的合情推理能力進行培養，毫無疑問，這樣的教學活動能促進學生的合情推理能力的發展，但是，除院校的教育教學活動（以教材內容為素材)以外，還有很多活動也能有效地發展學生的合情推理能力，例如，人們日常生活中經常需要作出判斷和推理，許多游戲很多中也隱含著推理的要求，所以，要進一步拓寬發展學生合情推理能力的渠道，使學生感受到生活、活動中有“數學”，有“合情推理”，養成善于觀察、猜測、分析、歸納推理的好習慣。

在探究活動中，學會與人合作并能與他人交流思維的過程和探究體會數形結合思想，激發探索熱情?；仡?、反思、交流．布置課后作業，鞏固、發展提高。

3．3能運用勾股定理及其逆定理解決實際問題，提高數學應用能力；

勾股定理及其逆定理是中學數學中幾個重要的定理之一，在一個三角形中，兩條邊的平方和等于另一條邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形，這就是勾股定理的逆定理。所謂逆定理，就是通過定理的結論來推出條件，也就是如果三角形的三邊滿足a2+b2=c2那么它一定是直角三角形.這個定理很重要，常常用來判斷三角形的形狀.它體現了由“形”到“數”和由“數”到“形”的數形結合思想.勾股定理在解決三角形的計算、證明和解決實際問題中得到廣泛應用，勾股定理的逆定理常與三角形的內角和、三角形的面積等知識綜合在一起進行考查.對于初學勾股定理及其逆定理的學生來說，由于知識、方法不熟練，常常出現一些不必要的錯誤，失分率較高.下面針對具體失誤的原因，配合相關習題進行分析、說明其易錯點，希望幫助同學們避免錯誤，走出誤區。

4、小結

總體來說，勾股定理的應用非常廣泛，了解勾股定理，掌握勾股定理的內容，初步學會用它進行有關的計算、作圖和證明。應用主要包括：

1、勾股定理在幾何計算和證明的應用：（1）已知直角三角形任兩邊求第三邊。（2）利用勾股定理作圖。（3）利用勾股定理證明。（4）供選用例題。

2、在代數中的應用：勾股定理出發逐漸發展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率和宇宙探索。

3、勾股定理在生活中的應用：工程技術人員用的比較多，比如農村房屋的屋頂構造，就可以用勾股定理來計算，設計工程圖紙也要用到勾股定理，在求與圓、三角形有關的數據時，多數可以用勾股定理 物理上也有廣泛應用，例如求幾個力，或者物體的合速度，運動方向…古代也是大多應用于工程，例如修建房屋、修井、造車、農村蓋房，木匠在方地基時就利用了勾股定理。勾股定理的作用：它能把三角形的形的特征（一角為90°）轉化為數量關系，即三邊滿足a2+b2=c2.。利用勾股定理進行有關計算和證明時，要注意利用方程的思想求直角三角形有關線段長；利用添加輔助線的方法構造直角三角形使用勾股定理。

參考文獻：

[1]郁祖權．中國古算解題[M]．北京.科學出版社，2004．

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[5]朱哲．基于數學史的數學教育現代化研究[D]．浙江師范大學，2004年．

勾股定理證明方法范文第4篇

【關鍵詞】初中數學；高效課堂

對于勾股定理新授課教學，我做過多角度探討．緊扣課本，設計最佳環節是我的目標．上好這一課不一定要拓展面積計算的專門理論知識，也不需要高難度構圖設計技巧．如果做好課前預備，課堂上的難點突破，重點把握，都可以放手讓學生完成．也就是說，在勾股定理新授課堂上，學生并不是也發現了畢達哥拉斯的奇妙圖案，就被載上一輛馬車奔馳著去藏寶地發掘到一個奇思妙想，最后，趙爽告訴他，想法很好也很對，并送了一個小風箏玩具，往回走時又看了伽菲爾德一個小魔術．我認為，好課堂不一定要做得像是帶領學生逛一次迪斯尼樂園一樣熱鬧！

勾股定理是數學的幾個重要定理之一．它揭示了一個直角三角形三條邊之間的數量關系．它可以解決許多直角三角形中的計算問題，是解直角三角形的主要依據，在生產生活實際中應用很大．由于勾股定理反映了一個直角三角形三邊之間的關系，它也是直角三角形的一條重要性質．同時由勾股定理及其逆定理，能夠把形的特征轉化成數量關系，它把形與數密切的聯系起來，因此在理論上也有重要的地位．

勾股定理這節內容，在教材設計中，它貫穿著發現規律、拓展思路、猜想命題、證明定理四個環節．

（1）故事化導入很是耐人尋味，畢達哥拉斯朋友家的地面磚鋪圖案非常漂亮．無論是幾何形狀還是色塊搭配，它們都已經傳承了幾千年，可謂厚重的文化底蘊．地板基本上可以看出由兩種等腰直角三角形和正方形鋪設而成，而且大小多樣．所謂：看似平淡無奇的現象有時卻隱藏著深刻的道理．可以猜想，畢達哥拉斯正好站在中間的那個重要的等腰直角三角形上看四周的色塊與圖案．再換個位置站著看一下，與它有著同樣展示效果的圖案原來很多！如果引導教學設計得當，學生也會對踏在腳底下那平常不起眼的地磚圖案感興趣！

（2）接著學生看到網格邊看格點正方形，要求計算其中那些斜放著的正方形面積并借此探究那個類似的結論．它所呈現出的新穎大方定會讓學生眼前一亮，進而躍躍欲試、興趣盎然．在知識層面上它與七年級教學內容中的鑲嵌的探索與應用是接軌的．除了圖形結構認識上的難度略大一點．只要專注于部分與整體的思想就能解決問題（不需要求證斜放的是正方形，更不必刻意要求找出類同趙爽弦圖的面積算法，只要能感知它們得正確性和實用就行）．

（3）接著就是猜想命題．它要求學生能用簡明扼要的文字概括描述課堂上得到的結論，能分析命題的題設與結論，再畫圖、寫出已知、求證．它在幾何的理論學習中是重點，在幾何初步知識中是教學難點．

（4）趙爽這位老人，它帶來的不只是用來證明定理的弦圖．他那獨特的構圖方法能吸引學生、教師，還有所有喜歡它的人深思．他不僅指導我們做了一個漂亮的紙風箏，而且他所采用的原材料，那套矩形組合模板中的各部件，連同他老人家精湛的手藝深深地引著我們．

若把這些比作一幕舞臺劇，則它就是融合古今中外東西方文明的一次大合奏！

在課堂教學實際過程中，本節課教學任務的實施環節部分教學中存在4大難點：

第一，讓學生發現直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．

第二，讓學生發現圖形結構并計算以斜邊為邊長的正方形面積的方法．

第三，得到猜想命題，賞析趙爽的動態構圖和他對于定理的證法思想．

第四，拓廣美國總統伽菲爾德以及幾何原本中對于此定理的證明方法．

對此，課本的編排意圖是：

先讓學生發現以直角三兩直角邊為邊長的正方形面積與以斜邊為邊長的正方形之間的面積關系，走實踐出真知的路線并能夠作為技術性的緩沖．然后迅速抓住他所帶來的存在與特殊直角三角形中的結論──三邊關系．

在計算網格中以斜邊為邊長的正方形面積時把它作為格點正方形，探究它與周邊材料構圖的方法．以此突破算法技巧并迅速掌握它所帶來的存在于邊長為任意的直角三角形中的圖形結構與數據結構．再以其簡潔明快型動態效果圖證明勾股定理，借以激發學生的興趣．

可見，這些難點的突破關系到課堂教學的實質性效果．不僅要使學生自主探索發現事物、認識事物的方法還要培養學生的觀察能力和局部與整體的認知能力．

教材編排給讀者留下了廣闊的思考空間．每個環節獨立成段，整個過程又渾然一體．學生在定理的產生、發展、成型的過程中又有了些許的困惑．究其原因在教師用書相關章節中已經提及：勾股定理證明方法很多，這里介紹的是一種面積法，學生以前沒見過這種方法，會感到陌生，尤其是覺得不像證明．這主要是因為教科書沒有專門將面積的理論，推理的根據造成的．

不難發現：勾股定理的新授課本著從發現到發展并形成猜想命題及證明的嚴謹治學思想，貫穿著從特殊到一般的捕捉信息、認識事物、從現象到本質的常規治學方法．筆者認為這堂課有必要追根溯源，緊扣直角三角形自身存在的問題：面積算法與斜邊長的關系，再從圖形結構和數據結構入手，進而歸納猜想，并完成對命題的證明．

我賦予這堂課的主題思想是：“圖案與場景及定理”．顧名思義，教學活動將從等腰直角三角形這個最特殊的圖案出發，不斷探索發現有利于下一步思考或猜想或證實結論的場景進而直逼定理．在這其中又貫穿這兩個目標：找到幾何表達與數字信息相結合緊密達到完備狀態的圖案，實現數形結合無處不在的思想．本節課的終極目標是證明直角三角形的三邊關系．它無論在幾何表達還是在數學描述方面他都要到達一個尖峰．

勾股定理證明方法范文第5篇

【關鍵詞】面積法；證明；幾何定理

Application area method certificate several axioms



Yang Dao-liang

【Abstract】In mathematics teaching material in the high school that everyone be familiar with of hang up an axioms and sine axioms be use an area method certificate of, use an area method certificate several some axioms with try simple clear, this text will use an area method certificate 6 several axioms

【Key words】Area method;Certificate;Several axioms

所謂面積法就是用面積相等的關系式推導得出所需結論的方法。大家熟知的中學數學教材中的勾股定理和正弦定理就是用面積法證明的。用面積法證明某些幾何定理和試題簡單明了，面積法是解決一部分幾何定理和試題的有效途徑和方法。本文將用面積法推理證明6個幾何定理。

（1）等腰三角形的性質定理：等腰三角形的兩個底角相等。

如圖1，已知ABC中，AB＝AC，求證：∠B＝∠C。

證明： 12·AB·BC·Sin∠B

＝12·AC·BC·Sin∠C

Sin∠B＝Sin∠C

∠B＝∠C或者∠B＋∠C＝180°

∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＞0°

∠B＋∠C＝180°不成立，

故∠B＝∠C。

圖1

（2）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

如圖2，已知AB∥CD∥EF，求證：AC/CE＝BD/DF。

證明：連結AD、BC、CF和DE，

作DCAE交AE于G，CHBF

交BF于H，則SACD SCDE＝ 12AC·DG12CE·DG

＝ ACCE， SBCD SCDF＝ 12BD·CH12DF·CH＝BDDF ，

又AB∥CD∥EF

SACD＝SBCD，SCDE＝SCDF，

AC/CE＝BD/DF。

圖2

（3）三角形內角平分線定理：三角形的內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例。

如圖3：已知AD是ABC中∠A的平分線，求證：BD/DC＝AB/AC。

證明：作AEBC于E，

BDDC＝ 12AE·BD12AE·DC＝ SABD SACD

＝12AB·AD·Sin∠BAD12AC·AD·Sin∠DAC＝AB AC，

BD/DC＝AB/AC。

圖3

（4）同理可證明三角形外角平分線定理：如果三角形的外角平分線外分對邊成兩條線段，則這兩條線段和相鄰的兩邊對應成比例（證法略）。

（5）三角形重心定理：三角形重心與頂點的距離等于它與對邊中心點的距離的兩倍。

如圖4，已知G是ABC的重心，求證：AGGD = 21， BGGE = 21， CGGF = 21。

圖4

證明：SADC＝21SABC＝SBCE

SAGE＝SBDG

作CHAD且交AD于H

又SBDG＝SCGD，SAGE＝SCGE

AGGD＝CH ·AG/2CH ·GD/2＝ SAGCSCGD

＝2·SAGESAGE＝21；

同理可證BGGE＝ 21，CGGF＝21 。

（6）四邊形的面積等于二對角線與其夾角正弦的積的一半。

證明：如圖5

圖5

SABCD＝SABE＋SBCE＋SCDE

＋SADE＝12AE·BE·Sin∠1

＋ 12BE·CE·Sin（180°－∠1）

＋ 12 CE·DE ·Sin∠1＋ 12AE·

DE·Sin（180°－∠1）＝

12AE（BE＋DE）Sin∠1＋ 12CE

（BE＋DE）Sin∠1＝ 12AC·BD·