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導數分類討論的思路范文第1篇

ABCD分值: 5分 查看題目解析 >88．某校高三（1）班32名學生參加跳遠和擲實心球兩項測試。跳遠和擲實心球兩項測試成績合格的人數分別為26人和23人，這兩項成績均不合格的有3人，則這兩項成績均合格的人數是( )ABCD分值: 5分 查看題目解析 >填空題 本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填寫在題中橫線上。99．已知等差數列前n項和為.若，，則=_______， .分值: 5分 查看題目解析 >1010．圓C：的圓心到直線的距離是 ．分值: 5分 查看題目解析 >1111．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果為_______.

分值: 5分 查看題目解析 >1212．在中，已知，則 .分值: 5分 查看題目解析 >1313．設D為不等式組表示的平面區域，對于區域D內除原點外的任一點，則的值是_______，的取值范圍是___.分值: 5分 查看題目解析 >1414. 甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎。有人走訪了四位歌手，甲說：“乙或丙獲獎”；乙說：“甲、丙都未獲獎”；丙說： “丁獲獎”；丁說：“丙說的不對”。若四位歌手中只有一個人說的是真話，則獲獎的歌手是 .分值: 5分 查看題目解析 >簡答題（綜合題） 本大題共80分。簡答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15已知函數.15.求的最小正周期；16.求在區間上的值和最小值.分值: 13分 查看題目解析 >16已知等比數列的各項均為正數，且，．17.求數列的通項公式；18.若數列滿足，，且是等差數列，求數列的前項和.分值: 13分 查看題目解析 >17甲、乙兩位學生參加數學文化知識競賽培訓。在培訓期間，他們參加的5次測試成績記錄如下：甲： 82 82 79 95 87乙： 95 75 80 90 8519.用莖葉圖表示這兩組數據；20.從甲、乙兩人的這5次成績中各隨機抽取一個，求甲的成績比乙的成績高的概率；21.現要從甲、乙兩位同學中選派一人參加正式比賽，從統計學的角度考慮，你認為選派哪位同學參加合適？并說明理由．分值: 13分 查看題目解析 >18如圖，四邊形是邊長為的正方形，平面平面，, ．

22.求證：平面；23.求證：平面；24.求三棱錐的體積．分值: 14分 查看題目解析 >19在平面直角坐標系中，動點與兩定點,連線的斜率乘積為，記點的軌跡為曲線.25.求曲線的方程；26.若曲線上的兩點滿足,，求證：的面積為定值.分值: 13分 查看題目解析 >20設函數.27.當時，求曲線在點處的切線方程；28.若函數有兩個零點，試求的取值范圍;29.設函數當時，證明.20 第(1)小題正確答案及相關解析正確答案

解析

解：當時，函數，因為，所以.又則所求的切線方程為.化簡得：.考查方向

本題考查導數的計算，考查導數的幾何意義，考查切線方程的求法，本題是一道簡單題.解題思路

先對函數求導，然后求出且切線的斜率以及切點的坐標，再利用點斜式求出切線方程即可.易錯點

本題易錯在求導數時計算錯誤.20 第(2)小題正確答案及相關解析正確答案

解析

因為①當時，函數只有一個零點；②當，函數當時，；函數當時，.所以在上單調遞減，在上單調遞增.又，，因為，所以，所以，所以取，顯然且所以，.由零點存在性定理及函數的單調性知，函數有兩個零點.③當時，由，得，或.若，則.故當時，，所以函數在在單調遞增，所以函數在至多有一個零點.又當時，，所以函數在上沒有零點.所以函數不存在兩個零點.若，則.當時，，所以函數在上單調遞增，所以函數在至多有一個零點.當時，；當時，；所以函數在上單增，上單調遞減，所以函數在上的值為，所以函數在上沒有零點.所以不存在兩個零點.綜上，的取值范圍是 ……………………………………………………9分考查方向

本題考查利用導數判斷函數的單調性以及判斷函數的零點的應用，考查函數與方程的應用，考查分類討論的數學思想，本題是一道難題，是高考的熱點.解題思路

先求出函數的導數，通過討論的范圍，判斷函數的單調性結合函數的零點個數求出的范圍即可易錯點

本題易錯在不能夠準確對的取值進行分類討論.20 第(3)小題正確答案及相關解析正確答案

證明略.解析

證明:當時，.設，其定義域為，則證明即可.因為，所以，.又因為，所以函數在上單調遞增.所以有的實根，且.當時，；當時，.所以函數的最小值為.所以.所以. …………………………………………………………14分考查方向

本題考查構造法求函數的最值，考查利用導數的應用，本題是一道難題.解題思路

導數分類討論的思路范文第2篇

1試題的特點

1.1穩中有變，變中求新

穩定主要體現在試題的類型、每種類型的題目數量，試題的知識點分布，尤其是解答題體現高中數學的主體知識，各種題型的分數分布等都與往年保持相對的穩定.變的形式主要體現在最后一題的分數由山東自主命題開始到2011年都是14分，今年是13分，（21） ，（22）均為13分的目的是為了讓考生消除對壓軸題的恐懼心理，同時也告訴考生， 變化是永恒的,高考試卷不可能成為八股卷.變的另一個方面體現在試題的難度上和分布上.山東省的2011年及以前的自主命題的難題主要是21題和22題.今年的試題，據不完全統計學生感覺難題分布在多處，尤其是數列的題目（20題的第二問），學生感覺難度大，以前的山東數列題目的難度不大.填空題的最后一題和選擇題的最后一題學生感覺難度都比較大.另外變化還體現在考查細微處，如第17題，把平面向量的數量積，三角函數的變形、平移、三角函數的局部值域等融為一題，設計看似平淡，實質是考查學生對三角函數的本質的理解和對函數圖象的深刻把握.

1.2題目入手易，做完整難

題目層層設問，步步深入，體現選拔的功能.今年試題的區分度是近幾年最高的，第21題，第22題都是三問，每一問都是層層增加難度，需要相當好的解題速度和運算能力；其余的解答題都是兩問，第20題的第二問的難度明顯高于前三題的第二問.試卷充分體現了人文關懷以及文理考生的差異，文科17題考生第一問不會，但也可利用第一問的結論很順利地完成第二問．

1.3由最后兩道題目把關變成多題把關

每種題型都有試題把關，這一改變體現對學生處理試題的抗挫折能力和運籌時間的能力的考查.選擇題的第12題，填空題的第16題，解答題的第20題的第二問，第21題的第三問，第22題的第三問都是有一定難度的試題，都能有效起到把關的作用.

分散難點不僅為了提高區分度，更重要的是對考生的抗挫折能力的考查以及對考生如何優化整個試卷的解答流程都提出了較高的要求.不可否認應試能力也是素質教育的一部份.我們既沒見過素質很高但考分很低的考生，更沒見過考分很高但素質低下的學生．

1.4計算量和思維量設置恰當

和往年的高考試卷相比，今年的數學試卷更加強調用數學的思維方法去思考問題解答問題，重點考查考生的數學素養和數學洞察力.如理科第7題考查了排除法，理科第12題考查了分類討論思想.文理科第16題、第21題對考生轉化與化歸的思想也提出了較高的要求.另外，今年的試卷巧妙地把計算量和思維量做到了和諧統一.如文理科第12題，如果很好地利用函數圖象的對稱性，就可以巧妙避免利用導數進行相對復雜的計算；文科第21題，如果考慮到橢圓的對稱性，可以減少一種情形的計算；文理科第21題，在計算中間如果及時換元，則可以極大地減少計算量；文理科第22題，在計算過程中如果及時考慮函數的圖象和性質，把第三問轉化為兩個函數間最大值和最小值的比較，就能有效地避免重復運算，做到又好又快地答題.本題把函數的單調性、圖象和性質、不等式的證明以及導數的應用有機地結合在一起， 具有較高的區分度，使得不同水平的考生在此各顯身手，獲得與自己的真實能力和水平相應的成績.題目避免了常規題目的俗套設計和多參數化的繁瑣討論，入口寬，梯度大，降低了運算量，提高了思維量，提高了試卷的整體質量.

1.5試題彰顯創新思維品質

主要體現在選擇題理科的第8、9、12題上，這三道題需要學生有很好的轉化能力，既是對數學思想的考查，又是對學生思維品質全方位的考查；填空題主要體現在第16題上，學生處理變與不變的能力；解答題的創新之處主要體現在第20、21、22題，第20題的第二問通過計數問題，把學生的思維品質的考查提升到一個很高的水平.理科第21題解析幾何題目，圓與拋物線有機結合，最值、存在性都是常見設問，通性通法均可處理，但本題于平淡處見精神，靠已有的基礎知識、基本方法、基本思想和數學學習經驗，經過研究分析才能解答，是真正的好題.對只依賴死記題型、死套模式，思維僵化的考生，產生了較大的挑戰.也是學生感覺計算量最大的一道題目.第22題，在常見的背景中考查了學生處理函數的能力，雖然是常見題型，但是需要靈活的變通能力.

總之，2012年的山東省的高考數學試題的思維量明顯是近幾年最大的，體現創新的地方也是最多的.略顯不足的是立體幾何、解析幾何都采用一小一大的命題模式，分值較低，略顯單薄，況且文理的解析幾何題都是用代數的方法處理的最值問題.再有就是計算量偏大，如第21題的第三問，還有個別地方的計算顯得重復.

2對今后教學的幾點建議

中學教師分析高考試題的一個比較大的功利思想是怎樣有效指導下屆高三的復習備考，以及對基礎年級的教學的導向或引領在什么地方.試題每年都一樣又不一樣，一樣的地方是數學知識和數學思想方法的考查，尤其是數學素養和數學思維品質的考查；不一樣的地方是對這些數學知識的考查的方式不一樣，考查的知識點略有差異，考查數學思維品質的深度略有差異，計算量略有差異，試題的難易不同.綜合這些方面，提出以下幾點建議，供各位同行參考.

2.1基礎的落實是成功之本

每年的試題都有一定的知識覆蓋面，不可能全部的知識點都考到，幾年未出現的知識不能視為不重要的知識，更不能舍去.如弧度的問題，雖然每年都出現，作為概念的考查今年山東高考試題是唯一的一次.

2.2通性通法是成功之法

每年高考后都有這么一條建議，這一條又確實是取得高考滿意成績的法寶.例如，許多學生考后反映第21題的第三問難，我們分析到底難在哪里？難在我們的學生懼怕這么大的計算量，一遇到大的計算量，就懷疑是不是做錯了，就想當然地認為有簡單的方法，有捷徑，導致部分同學懷疑自己的思路，在尋找捷徑上浪費了時間，也影響了最后一題的解答.

導數分類討論的思路范文第3篇

關鍵詞：邊際分析 彈性分析 課堂設計

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）02（b）-0193-02

18世紀全世界數學史取得最大突破的時期，從傳統常量數學轉移到變量數學，誕生了微積分這一數學史上最輝煌的學術。并且很快被應用在各個學科領域，比如：經濟學家把微積分學術去思考困擾他們多的的經濟學的難題，并取得了輝煌成就。在19世紀中后期相關經濟學專家把微積分的基礎概念和效用概念結合到一起，從而誕生了邊際效用，后期經濟學家把此次經濟學改革命名為“邊際革命”。致使微積分的思想和概念，逐漸滲透到經濟學的方方面面。

在邊際分析和彈性分析的教學課堂中，教師要注重啟發學生對邊際分析和彈性分析概念的理解和認識，讓學生從本質上理解和掌握邊際分析和彈性分析，避免死記硬背。該文通過查詢大量文獻，并結合理論實踐，深入分析和探討了邊際分析和是彈性分析的思想、步驟，從而提高課堂設計的合理性和有效性。

1 教學設計

1.1 邊際分析法產生的歷史背景――課程引入

在教學設計中，要首先介紹邊際分析法的歷史由來，在邊際革命推行的后期，分析邊際方法的發展方向；其次，由于邊際分析是在微積分的基礎概念上引進而來，所以在具體教學過程中，要把微積分思想落實到每位的學生身上；最后，分析邊際分析法在經濟學領域中的具體應用。

除此之外，要通過探究式教學讓學生掌握數學的發展史，同時把科學家研究邊際分析和彈性分析艱苦過程的進行介紹，提高學生不怕困難勇于探索的學習精神。

1.2 提出引例，引導學生建立數學模型――重點的引入

提出是否增加航班問題的引例。要求學生思考，假如你是一個航空公司經理，長假來臨，你想Q定是否增加新的航班，如果純粹是從財務角度出發，你該如何決策。換句話說，如果該航班能給公司掙錢，則應該增加。因此，你需要考慮有關的成本和收入，關鍵是增加航班的附加成本是大于還是小于該航班所產生的附加收入，這種附加成本和收入稱為邊際成本和邊際收益。

聯系數學建模，引導學生建立模型，并要求學生展開分組討論，并由小組代表描述建立數學模型的過程。

最后由教師總結歸納，詳細并逐步講解、得出相應模型：

我們所面對的學生，在數學課程的學習中，其形象思維、小組合作以的實踐能力毫不遜色于本科程度的學生。以上通過“提出問題、分組討論、小組代表回答、教師總結歸納”這一師生互動過程來引入該次課程的內容：邊際分析。此做法源于著名的教育心理學家桑代克的“變化引起注意”一法，通過不斷變換教學手段，讓學生充分參與、親自體驗理論的歸納過程。

1.3 邊際經濟函數（邊際成本函數、邊際利潤函數）的定義――重點的介紹

介紹邊際成本函數、邊際收益函數、邊際利潤函數的定義。

并通過舉例講解，引導學生學會利用所學知識解決實際經濟問題。

例題1：設某產品的需求函數為：p= 20-q/5，其中p 為價格，q 為銷售量，求邊際收益函數，以及q= 20、50、70時的邊際收益，并說明其經濟意義。并由該例題引導學生思考在經濟活動中，如何根據經濟函數求最大的利潤點？

1.4 最大利潤原則的介紹

設總收益函數R（q）、總成本函數C（q）和總利潤函數L（q）均為可導函數。提問學生取得最大利潤的充分條件、必要條件。并歸納總結：取得最大利潤的必要條件是：邊際收益等于邊際成本。取得最大利潤的充分條件是：邊際收益的變化率小于邊際成本的變化率。

課堂練習，并要求學生板演：

練習1：某工廠生產的某種產品，固定成本為400萬元，多生產一個單位產品成本增加10萬元，設該產品產銷平衡，且需求函數為q=1000-50p（q為產量，p為價格），問該廠生產多少單位產品時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？并驗證是否符合最大利潤原則。

1.5 彈性分析的介紹――重、難點的突出

引導學生思考：在邊際分析中，我們討論的函數變化率與函數改變量均屬于絕對數范圍內的問題，是否僅僅使用絕對數的概念就能深入分析所有的問題呢？例如：甲商品的單價是10元，乙商品的單價是100元。若甲、乙商品都漲價1元，兩種商品單價的絕對改變量都是1元，但是漲幅不同，甲商品的漲幅為10%，乙商品的漲幅為1%，顯然甲商品的漲幅比乙商品的漲幅大，這就說明，我們僅有絕對變化率的概念還很不夠，因此，有必要研究函數的相對改變量和相對變化率，而這就是彈性分析的內容。

設市場上某商品的需求量q是價格p的函數，即q=q（p）。當價格p在某處取得增量p時，需求量相應地取得增量q，稱p與q為絕對增量，

如果需求函數q=q（p）可導，且當p0時，極限存在，

稱價格為p時，需求量對價格的彈性，簡稱為需求彈性，

根據經濟理論，需求函數是單調減少函數，所以需求彈性一般取負值。

需求彈性的經濟意義是：當價格P在某處改變1%時，需求改變

引導學生平行推廣，對成本函數、收益函數、供給函數分別進行彈性分析，得出成本彈性、收入彈性。

講解例題2：設某商品的需求函數為：求：p = 3，p = 5時的需求彈性，并說明其經濟意義。

課堂練習，并要求學生板演：

練習2：已知某產品的供給函數為F（p）= ―2 + 2 p ，求價格 p = 5時的供給價格彈性，并說明其經濟意義。

1.6 總結――再次圍繞重難點

完成了每節課的教學內容后，在教師的引導下，師生共同歸納總結，目的是讓學生在頭腦中更深刻更清晰地留下思維的痕跡，調動學生的學習積極性和主動參與意識，符合教學論中的繼發性原則。

先讓小組代表進行總結，并由其余組員進行補充。

（1）邊際分析：

①邊際分析的定義。

②常用的邊際函數及其經濟意義。

（2）最大利潤原則：

取得最大利潤的必要條件：邊際收益等于邊際成本。

取得最大利潤的充分條件是：邊際收益的變化率小于邊際成本的變化率。

（3）彈性分析：

①彈性的定義。

②常用的彈性及其經濟意義。

歸根結底，該堂課重點是邊際分析、彈性分析在經濟中的應用，難點是彈性分析的應用。

1.7 作業

作業是課堂教學中不可缺少的環節，配合每次課的教學內容，布置相應的作業，通過作業反饋本節課知識掌握的情況，以便下節課查漏補缺，這符合教學論中的程序原則和反饋原則。

2 結語

該章節內容，通過這樣的教學設計方式，通過創設情境，實例引出問題，以思路為引線，進行基本概念、理論、方法、應用等內容的介紹與闡述，處理抽象的數學概念；調動學生的學習、思考的主動性與積極性，并通過啟發，引導學生進行聯想、類比和推理。對成本函數、收入函數分別進行彈性分析，得出成本彈性、收入彈性。通過小組合作學習，讓學生分工合作共同達成學習目標。該節課在課堂活動中把學生分成6人一小組的學習小組，讓他們圍繞著課堂任務分工合作，發展他們的F隊協作能力；通過小組間比賽，提高學生的合作和競爭能力。促使學生學會體驗實踐、參與合作與交流的學習方式。這種學法將更有利于發展學生的實際運用能力，使數學學習的過程成為學生形成積極的情感態度、主動思維和大膽實踐的過程。使學生掌握邊際分析、彈性分析的基本概念，使學生加深對課堂教學內容的理解，提高分析和解決問題的能力，使學生在學習知識的同時注意與實際生活相結合，學以致用。

參考文獻

導數分類討論的思路范文第4篇

破解簡單題，在讀題審題的過程中，需要列出的問題有：未知數是什么；已知數據是什么；條件是什么；滿足條件是否可能；確定未知數，條件是否充分，或者它是否存在、是否多余、是否矛盾等等。列出這些問題后，很容易建立起條件和所需要結論或求解結果之間的聯系，從而解決問題。歷年高考卷中的前6道填空題基本都屬于這類情況。同學們只要考慮上述問題，做起來會相對輕松。當一道新穎或感覺陌生的題出現在你面前時，如果也能做到這樣游刃有余，那學習數學就很輕松愉悅了。

當然，高考題目的形式在不斷變化，難度也在不斷增加。面對這種情況，很多同學感到無所適從，題目在手，不知考察哪個知識點，學到的方法不知用在何處，更不知如何解決問題。如何提高解題的實踐操作性，就成了目前教學中的一大難題。筆者現將平時數學教學中摸索出的幾種破題方法介紹給大家，以供參考。

一、N即1

利用數學思想里特殊與一般的思想，將題目中較大的數字或參數直接視為1，使復雜問題簡單化，就容易得到求解的方法和思路；或者當題目中出現多個參數時，將其簡化成較少或1個參數的問題來求解。通過對個例的認識與研究，形成對事物由淺入深、由現象到本質、由局部到整體、由實踐到理論、由特殊到一般、再由一般到特殊的反復認識過程。

例1、某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的三級污水處理池，池的深度一定，如果池四周圍墻建造單價為400元/米，中間兩道隔墻建造單價為248元/米，池底建造單價為80元/米2，水池所有墻的厚度忽略不計。

（1）試設計污水處理池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價。

（2）若由于地形限制，該池的長和寬都不能超過16米，試設計污水池的長和寬，使總造價最低，并求出最低總造價。

解題思路：該題我們可以借助圖形，設污水處理池的寬為x米，則長為

米，先建立起函數模型。起初函數式子總造價f(x)=400×（2x+

）+248×2x+80×162相對復雜，數字很大，很繁瑣。此時如果在列式的過程中，將較大的數字視為1，就會很容易發現此函數就是y=x+　的模型，這樣后面的求解思路就很清晰了。則總造價f(x)=400×（2x+

+248×2x+80×162≥1290×2+12960=38880（元），當且僅當x=10時取等號。 第二問中，由限制條件知10≤x≤16。

設g(x)=x+

（10　≤x≤16）。

同樣將較大數字視為1，問題自然簡化成函數有限定范圍、取不到等號的問題，而采用求導判斷其單調性的方法得到，g（x）在[10　，16]上是增函數，所以當x=10時，g(x)有最小值，即f(x)有最小值，總造價最低，為38882元。

有時題目中出現了字母（參數），同學們往往會覺得解決起來就比較棘手。其實若將其中的參數具體化，利用一般到特殊的思想，將其視為1，認清題目的基本模型，找到相關的知識點和解決方法，再回到一般情況，回到題目中的具體條件進行分類，就能使問題得到解決。

例2、已知函數g（x）=

+1nx在[1，+∞）上為增函數，且θ∈（0，π），f（x）=mx-

-1nx，m∈R。

（1）求θ的值。（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調函數，求m的取值范圍。（3）設h（x）=　，若在[1，e]上至少存在一個x0，使得f（x0）-g（x0）>h(x0)成立，求m的取值范圍。

解題思路：這道題目中，可將（1）問中的sinθ視為1，函數基本模型還原，就可以得到此題是利用求導解決函數單調性問題。從而由題意得知：g′（x）=

+　≥0在[1，+∞）上恒成立，即

≥0。在解這個不等式時，仍可將sinθ視為1，還原為求解分式不等式，找到基本思路。θ∈（0，π），sinθ>0。故sinθ·x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只需sinθ·1-1≥0，即sinθ≥1，只有sinθ=1。結合θ∈（0，π），得θ=　。

在（2）中，f（x）-g（x）=mx-　-21nx，也可以將m視為1，認清是含有分式函數、對數函數在內的函數單調性求導問題。因為f（x）-g（x）在其定義域內為單調函數，所以（f（x）-g（x））′=

，所以mx2-2x+m≥0或者mx2-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立。mx2-2x+m≥0等價于m（1+x2）≥2x，即m≥

，故m的取值范圍是(-∞，0]∪[1，+∞）。

在（3）中構造出F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F（x）=mx-　-21nx-　。仍可以用這樣的想法來理清解題思路，后分類進行討論，解得m>

。

在平時的檢測中，如果碰到一些字母或參數較多的問題，只要本著“多就是1”的原則，就會成竹在胸，不會有恐懼感，心定氣閑之余，問題也就迎刃而解。

例如（08江蘇高考第11題）：

已知x、y、z∈R+，x-2y+3z=0，則　的最小值______。

說明：本題有著將三元化為二元的思想，由x-2y+3z=0得y=

，代入　，利用二元基本不等式問題輕松解決。

再如：在ABC中，a、b、c成等差數列，且公差d

分析思路：結合已知條件初步分析，不可能將三條邊一一解出來，又因為是求比值，所以在這題中看起來是三條邊，其實就是兩個元素間的關系問題。帶著這個想法，著手分析兩個元素，努力找出相互關系。根據a、b、c成等差數列，不直接用2b=a+c，而用b-d、b、b+d，再根據大邊對大角、大角為A、小角為C的規律，由正弦定理可得

=

，即

=

。運用倍角公式和余弦定理，代入整理有b=-5d，從而得出a∶b∶c=6∶5∶4。

二、數即形

數學研究的對象是數量關系和空間形式，即數與形兩個方面。面對難以下手的代數形式，可以用相應的幾何圖形去思考；不好解決的幾何圖形問題，可以尋找相關的代數形式來解決。通過數與形相互轉化的方式解決數學問題，實現數形結合的有機統一，常常會與以下內容有關:(l)實數與數軸上的點的對應關系；(2)函數與圖像的對應關系；(3)曲線與方程的對應關系；(4)以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如復數、三角函數等；(5)所給的等式或代數式的結構含有明顯的幾何意義等。

第一種情況：可將較為復雜的代數問題利用相應圖像解決。

例1、若直角坐標平面中兩點P、Q滿足條件：①P、Q都在函數f（x）的圖像上，②P、Q關于原點對稱，則稱點對（P，Q）是函數f（x）的一個“友好點對”。

已知f（x）

，則f（x）的“友好點對”有______個。

解題思路：要解決好這個問題，列式分析判斷是很困難的。可通過平移、描點得到函數的圖像后，將y軸一邊的圖像與原點對稱，就可直接觀察交點個數得解。

又如：在平面直角坐標系xoy中，若直線y=kx+1與曲線y=|x+　|-|x-　|有四個公共點，則實數k的取值范圍是______。這道題如果利用兩個式子之間的關系來解答是無從下手的，但若在同一坐標系中先分類討論去絕對值，將函數分段，作出曲線y=|x+　|-|x-　|的圖像，然后將過（0，1）的直線圍繞點旋轉，很快就能得到符合題目要求的條件，相切位置可通過求導也可通過方程聯立求得。

第二種情況：

題目中給出圖形或圖形的簡單描述，求解相關問題。這種題型一般不能通過圖形觀察得到所要的結果，這就需要找到與其配套的代數模型，或放在坐標系中用代數方法來研究，將問題簡化、破解。

例1、若AB=2，AC=　2BC，則SABC的最大值______。

解題思路：本題若知道C點的軌跡是圓，就可以直接通過圖形觀察什么位置的三角形面積最大。還可以通過以AB所在的直線為x軸，其中垂線為y軸，建立直角坐標系，則A（-1，0）、B（1，0）。設C（x，y），由AC=　2BC可得（x-3）2+y2=8，方程出來后就很容易得到C在以（3，0）為圓心、2　2為半徑的圓上運動。SABC=　·AB·|yc|=|yc|≤2　2。這就是我們常說的解析法，換而言之就是用代數思想解決幾何問題。

例2、（南京09年二模）從等腰直角三角形紙片ABC上，按圖示方式剪下兩個正方形，其中BC=2，∠A=90°，則這兩個正方形的面積之和的最小值為______。

分析：本題設出兩正方形的邊長為變量x、y，根據BC長可得到關系式x+y=1，再根據基本不等式的變形式子x2+y2≥

得解。

例3、將邊長為1m的正三角形薄片，沿一條平行于底邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S=

，則S的最小值是______。

分析思路：通過圖形是不容易得到最值結果的，可從代數角度去思考。設剪成的小正三角形的邊長為x，

再利用導數求函數最小值方法。

S′（x）=0，0

。

三、繁即簡

利用化歸與轉化思想，能將復雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決問題化歸為已解決問題，靈活多變，無統一模式。可利用動態思維，去尋找有利于問題解決的變換途徑與方法。鼓勵學生讀題時要告訴自己：復雜的就是簡單的，考再難的題，知識點和方法都是自己掌握的。有了這樣的心理暗示，一則增加了自信，二則思考問題就會有方向，朝著基本方法和基本知識點、通性通法去思考。

例1、（09年江蘇高考第14題）：設{an}是公比為q的等比數列，|q|>1，令bn=an+（n=1，2，…），若數列{bn}有連續四項在集合{-53，-23，19，37，82}中，則6q=_____-9______。

解題思路：本題牽涉到兩個數列，把握以等比數列為背景這一關鍵，將各數按照絕對值從小到大的順序排列，各數減1，結合等比正負相間的特點，化繁為簡，再通過觀察即可迅速得解。

例2、（江蘇2011高考20題）：設M為部分正整數組成的集合，數列{an}的首項a1=1，前n項和為Sn，已知對任意整數k屬于M，當n>k時，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）=2（Sn+Sk）都成立。（1）設M={1}，a2=2，求a5的值；（2）設M={3，4}，求數列{an}的通項公式。

解題思路：本題為最后一題壓軸題，學生看到這道題的第一感覺是復雜，進而驚慌失措。要做到不慌不忙、快速而準確的解題，就要全面地、細致地弄清問題中的各種信息，理出思路，進行破題。

例如：第（1）問中利用k=1，n>1，Sn+1+Sn-1=2（Sn+S1），Sn+2+Sn=2（Sn+1+S1）。具體到Sn，Sn-1，Sn+1，S1之間的關系，將繁雜進行第一步簡化；接著思考Sn，an的關系，作差后有：an+2+an=2an+1，所以，n>1時，{an}成等差，進而得到第二步簡化；而a2=2，視Sn=a1+a2+…+an回歸到前三項和而進行第三步簡化。從而有S2=3，S3=2（S2+S1）-S1=7a3=4，a5=8。

第（2）問實際是第一問的反復重演。可借助（1）中的解題思路將繁瑣的問題進一步簡化，從而由題意可得：

n>3，Sn+3+Sn-3=2（Sn+S3），（1）；n>4，Sn+4+Sn-4=2（Sn+S4），（2）；n>4，Sn+4+Sn-2=2（Sn+1+S3），（3）；n>5，Sn+5+Sn-3=2（Sn+1+S4），（4）。

當n≥5時，回歸到簡單的（1）、（2）、（3）、（4），化繁為簡，此題即破。由此可知，只要目標明確，條理清楚，就能成功解題。如：

由（1）（2）得：an+4-an-3=2a4，（5）由（3）（4）得：an+5-an-2=2a4，（6）由（5）（6）得：an+5=an-3+ad2=an+4-2a4+2d2，（9），an+4=an-2+2d1=an+5-2a4+2d1，（10），由（9）（10）得：an+5-an+4=d2-d1，2a4=d1+d2，an-2-an-3=d2-d1;{an}（n≥2）成等差，設公差為d。

在（1）（2）中分別取n=4，n=5得：

2a1+6a2+15d=2（2a1+5a2+5d），

即4a2-5d=-2；2a1+8a2+28d=2（2a1+7a2+9d），

導數分類討論的思路范文第5篇

關鍵詞:鎖相跳頻源;環路帶寬;相位裕量;環路濾波器;ADS

中圖分類號:TN742文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2010)05-022-03

Accurate Design and Simulation of Loop Parameters of Four-order

Charge Pump PLL Frequency Hopping Source

YOU Fabao,WANG Dong

(Xi′an Electronic Engineering Research Institute,Xi′an,710100,China)

Abstract:The PLL frequency hopping source has been the main design scheme of modern microwave frequency source,because of its performance advantage.An accurate design method of three order loop filter with simulation procedure is clearly introduced to simplify design process based on loop bandwidth,phase margin and spur attenuation for current charge pump PLL frequency synthesizer chip.Using simulation tool ADS,a simulation of S-band frequency hopping source is used to verify the accuracy of this method.

Keywords:PLL frequency hopping source;loop bandwidth;phase margin;loop filter;ADS

0 引 言

鎖相(PLL)跳頻源的低雜散特性是直接數字頻率合成器(DDS)所無法比擬的一個優點。PLL跳頻源的主要設計工作就是正確選擇和設計環路濾波器,使跳頻源指標在相位噪聲、雜散抑制、跳頻速度和穩定性等方面合理兼顧,實現綜合性能最佳。目前,國內外已經發表了許多相關文獻,對各種環路濾波器的設計進行了系統的分析與討論。

由于有源環路濾波器與無源環路濾波器相比,不但增加相噪,復雜程度,還增加成本,故除了在特定必需的場合下,一般都用無源環路濾波器。通常大部分鎖相環采用二階低通濾波器,但是對于要求較高的鎖相環跳頻源選擇更高階的濾波器來進一步抑制頻譜雜散是必要的,但是階數的增加會使環路濾波器中元件參數值的確定更為復雜。

針對四階鎖相跳頻源三階環路濾波器的環路參數,進行了系統分析,提出了一種環路濾波器參數近似準確的設計方法,設計思路清晰,出發點明確,并且用ADS仿真了一個S波段的鎖相跳頻源驗證了此方法的準確性。

1 環路濾波器設計的基本原理

在鎖相環的設計中,一般根據輸出頻率范圍選擇合適的鎖相環芯片和壓控振蕩器,根據頻率步進確定分頻比N和鑒相頻率,綜合考慮鎖相環的鎖定速度、主要相位噪聲和雜散來源來確定濾波器的性能指標。

環路帶寬:它是環路參數設計中最關鍵的參數,一般說來,與VCO的相位噪聲、鎖定時間和分辨率成反比;與參考頻率、PFD/CP和LF相位噪聲成正比。環路帶寬越小,參考雜散越小,但跳頻速度越慢;環路帶寬越寬,跳頻速度越快,但參考雜散越大,因此,必須對這種矛盾進行折衷。一個可行的方法是:選擇環路帶寬充分滿足鎖定時間的要求,并保證足夠的相位裕量即可。在鎖定時間要求不嚴的情況下,將晶振噪聲與VCO噪聲交點處的頻率作為環路帶寬。

相位裕量:它與系統的穩定度有關,是環路濾波器設計的重要參數。相位裕量選擇得越低,系統越不穩定;相位裕量選擇得越大,系統越穩定,但系統的阻尼振蕩越小,即以增加鎖定時間為代價。因此,要考慮適合的相位裕量,一般說40°~50°為最佳相位裕量。仿真表明,在48°時鎖定最快,在50°時相位噪聲最佳。

雜散抑制度:主要是指對雜散的衰減,用于二階以上的環路濾波器的設計中,抑制度增大時,環路帶寬減小,因此要合理折衷,當仍然達不到要求時,可以考慮用更高階的環路濾波器。

在確定以上指標后,就可以進行濾波器的設計。

2 三階環路濾波器分析

三階環路濾波器如圖1所示。它是在二階濾波器后連接一個一階RC低通濾波器。由于電流型電荷泵鑒頻鑒相器作為該濾波器的輸入,使PLL成為三階┒型環,其性能要優于電壓型鑒相器采用有源濾波器的理想二階環。其傳遞函數為:

F(s)=1+sT2sA0(1+sT1)(1+sT3)

=1+sT2s(A2s2+A1s+A0)

(1)

其中:

T2=R2C2(2)

A0=C1+C2+C3(3)

A1=A0(T3+T1)=

C2C3R2+C1C2R2+C1C3R3+C2C3R3(4)

A2=A0T3T1=C1C2C3R2R3(5)

相應的鎖相跳頻源的開環傳遞函數為:

H0(s)=KN1+sT2s2A0(1+sT1)(1+sT3)=

KN1+sT2s2(A2s2+A1s+A0)(6)

式中:K為環路總的增益;N為分頻比,在環路參數的設計中可以選擇最大和最小分頻比的幾何平均值。

圖1 三階無源環路濾波器

3 三階環路濾波器參數設計

3.1 T2,A0,A1,A2值的確定

根據開環單位增益帶寬ωp、相位冗余度φp,對鑒相頻率ωr泄漏的抑制度Atten(單位:dB)確定T2,A0,A1,A2的值[4]。

將s=jω代入式(6)得:

H0(jω)=-KN1+jωT2ω2A0(1+jωT1)(1+jωT3)(7)

根據相位裕量φp的定義:

φp=180°+atctan(ωpT2)-

atctan(ωpT1)-atctan(ωpT3)(8)

對式(8)求導,令dφp/dωp=0

0=T2(1+ω2pT21)(1+ω2pT23)-T2(1+ω2pT22)•

(1+ω2pT23)-T3(1+ω2pT22)(1+ω2pT21)(9)

由于ω2pT1T31,略去高次項并引入修正因子γ得:

T2歃忙鬲2p(T1+T3)(10)

γ數值的確定是一個設計、驗證、修正、再設計、再驗證的過程,在初次設計取1即可。

將式(10)代入式(8)得:

T1+T3sec(φp)-tan(φp)ωp(11)

選定濾波器對鑒相頻率ωr泄漏的抑制度為Atten(單位:dB),由式(7)得:

H0(jω)ω=ωr=KN1+(ωrT2)2ω2rA01+(ωrT1)21+(ωrT3)2

KT2Nω3r1A0T1T3=10Atten/20(12)

A2=A0T1T3=KT2Nω3r10Atten/20(13)

下面確定參數A0,它是環路濾波器的總電容。

根據 H0(jωp)=1,由式(7)得:

H0(jω)ω=ωp=KN1+(ωpT2)2ω2pA01+(ωpT1)21+(ωpT3)2

=K1+(ωpT2)2Nω2p•

1A01+ω4p(T1T3)2+ω2p(T1+T3)2-2ω2pT1T3

=1(14)

整理得到關于A0的一元二次方程:

p1A20+p2A0+p3=0(15)

其中:p1=1+ω2p(T1+T3)2;p2=-2A2ω2p;p3=ω4pA22-K1+(ωpT2)2Nω2p2。

求解此一元二次方程取其最大正值為A0。

至此,環路濾波器的參數T2,A0,A1,A2全部確定。

3.2 環路濾波器元件參數值的確定

由T2,A0,A1,A2的值確定環路濾波器元件參數[5]C1,C2,C3,R2,R3的值。

濾波器元件的參數值要由方程(2)~(5)來確定,要由四個方程確定五個未知量,則必須確定一個參量,首先確定哪個未知數有很多種選擇,但選擇有┮桓霆原則,即保證最靠近壓控振蕩器的電容最大,這樣可以減少壓控振蕩器電容對環路的影響,同時使R3比較小,減少電阻熱噪聲。基于上面這個原則,選取C1的值為需要預先確定的未知數,將這四個方程進行變換,得到┦(16),C3是C1的函數:

C3=-T22C21+T2A1C1-A2A0T22C1-A2(16)

當C1取值時,C3的值為最大,因此C3對C1的導數為零,得到C1:

dC3dC1=C21-2A2T22C1+A2A1T32-A2A0T22C1-A2T222=0(17)

進而求出C1:

C1=A2T221+1+T2A2(T2A0-A1)(18)

確定C1后,進而確定其他的濾波器參數:

C3=-T22C21+T2A1C1-A2A0T22C1-A2(19)

C2=A0-C1-C2(20)

R2=T2/C2(21)

R3=A2C1C3T2(22)

這種設計方法保證能夠非常精確地求出濾波器的參數值,同時也能夠保證C3的值最大,R3的值最小。

3.3 環路濾波器設計流程

根據前面兩小節環路濾波器參數設計的理論分析和推導,總結環路參數計算的流程如圖2所示[5]。

圖2 環路參數計算流程圖

鑒于手工計算比較繁瑣,根據前面分析的計算流程,編寫了Matlab程序計算環路參數值。需要說明的是,對鑒相頻率泄漏的抑制不能盲目取大。從Matlab仿真可知,在ωp,φp,ωr確定后,抑制過大,會使濾波器C3的計算值減小,甚至為負值,這是不允許的,因此需要在抑制度和能夠接受的C3的最小值之間折衷,以減小VCO輸入電容對環路的影響。一般原則是在C3的最小值達到要求的前提下使抑制度最大。若優化設計后抑制度仍然達不到設計要求,可以嘗試采用更高階的環路濾波器。

4 S波段鎖相跳頻源設計實例

S波段鎖相跳頻源技術指標如下:頻率范圍為1 930~2 030 MHz;頻率間隔為5 MHz;輸出功率大于-8 dBm;相位噪聲小于-85 dBc@1 kHz。

選擇ADI公司的ADF436O-2芯片為核心芯片。ADF436O-2內部集成了電荷泵鑒相器、R分頻器、N分頻器和壓控振蕩器。芯片內部集成壓控振蕩器能有效減少電路板帶來的相位噪聲和雜散信號,并且設計調試相對簡單。

該實例選取ωp=2π×40×103 rad/s,鑒相頻率泄漏衰減度取Atten=95 dB,相位裕量取50°。通過Matlab仿真計算得到環路濾波器的參數值;通過ADS軟件進行仿真,得到此跳頻源的實際環路帶寬為39.81 kHz,相位裕量為49.5°,在鑒相頻率處的衰減為95.5 dB,和設計目標值基本一致。鎖相環路的開環幅頻、相頻特性曲線如圖3所示。

圖3 鎖相環路開環幅頻、相頻響應曲線

進一步仿真得到:鎖定速度在57 μs,精確到1 kHz;雙邊帶相位噪聲:-94.8 dBc@1 kHz,-94 dBc@10 kHz。如圖4和圖5所示。

圖4 鎖相跳頻源跳頻鎖定時間仿真

圖5 鎖相跳頻源相位噪聲仿真

從理論分析和仿真結果來看,設計的鎖相跳頻源是成功的,能滿足設計指標要求,可以進行實際的電路制作。

5 結 語

介紹了一種四階鎖相跳頻源環路參數中相對準確的設計方法,設計思路清晰,出發點明確,應用Matlab仿真得到

元件參數值后并在ADS中驗證了該方法的準確性,在鎖相跳頻源的工程設計中有著重要的指導意義。

參 考 文 獻

[1]張厥勝,鄭繼禹,萬心平.鎖相技術[M].西安:西安電子科技大學出版社,2002.

[2]張濤,陳亮.電荷泵鎖相環環路濾波器參數分析與設計[J].現代電子技術,2008,31(9):87-90.

[3]Banerjee D.PLL Performance,Simulation,and Design[M].Second Edition.2001.

[4]劉光祜.鎖相跳頻源的極值相位裕量設計法[J].電子科技大學學報,2001(6):551-554.

[5]項順祥.S波段頻率合成器的設計[D].西安:西北工業大學,2007.