前言：想要寫出一篇令人眼前一亮的文章嗎？我們特意為您整理了5篇概率論在經濟學中的應用范文，相信會為您的寫作帶來幫助，發現更多的寫作思路和靈感。

概率論在經濟學中的應用范文第1篇

關鍵詞：概率論；商業經濟活動；具體應用

中圖分類號：D922文獻標識碼： A 文章編號：

經濟學是一門研究如何將有限資源進行合理配置的社會科學，研究人類社會在各個發展階段上的各種經濟活動和各種相應的經濟關系及其運行、發展的規律?，F代市場經濟充滿了不確定性和風險，經濟人做出某一項決策后，其后果往往是無法預知的，因此現代經濟學就是研究在充滿不確定性因素的條件下如何公平而有效地配置有限資源。經濟學與我們的日常生活聯系緊密。它幫助我們更好地進行個人決策，幫助我們理解生活于其中的世界是如何運轉的，幫助我們制定政府政策并分析其優劣性等等，我們的生活不可缺少經濟學。概率論近幾年得到了廣泛的應用，無論是在自然科學領域、社會科學領域、工程技術領域、軍事領域、工農業生產還是在社會經濟活動都大規模的被應用著。在經濟領域，概率論得到了大規模的應用，企業的管理者會運用概率論來分析經營和生產中出現的信息，尋找其中的規律，再對生產實踐進行指導。使經濟效益能夠有效地提高。

一、正態分布在自動控制中的應用

通過大量的調查獲得的數據表明，如果一個飲料廠要生產容量為300ml的罐裝飲料，那么每罐飲料都會服從標準差是30ml的正態分布。如果想要把少于300ml的產品數量控制在百分之十以內，那么要怎樣調節均值μ？一個全新的包裝機一般在10萬元左右。然而，每一罐飲料的容量都要服從標準差為7．5ml的正態分布，這樣的情況，要怎么調節均值μ，才能使每罐飲料少于300ml的產品數量不超過10％。

我們把通過原包裝線上生產的一罐飲料的容量設置為X。則X～N（μ，302），如果把均值μ設置在300ml上，那么如果出現50％的產品少于300ml，那么這批產品是不合格的。所以，要把均值μ調整到大于300ml大的位置上，但是要注意μ一定要遵循概率方程P｛X＜300｝＝0．1。根據這個公式得到＝1．28，所以μ＝338．4。這就要求我們，把自動包裝機的均值控制在338．4的位置上，這樣才能使少于300ml的產品數量不大于百分之十。如果投資10萬元新買一臺包裝機，新包裝線上每罐飲料的容量為Y，則Y～N（μ1，7．52），為了使少于300ml的飲料所占的比例不多于10％，其中μ1必須滿足方程P｛Y＜300｝＝0．1。即P｛Y＜300｝＝P｛＜｝＝Φ（）＝0．1，于是Φ（）＝0．9，由此可得＝1．28，從而μ1＝309．6。采用新包裝機平均每罐可節約飲料

338．4－309．6＝28．8ml。

如果按一天可以生產出20000罐飲料來進行計算，那么通過這種方式可以節省20000×28．8＝576000ml飲料，如果100ml飲料的成本是1元，那么一個工廠一天就可以增加5760元的利潤，這樣在18天成本就能賺回，第十九天就可以獲得凈利潤了。所以，飲料廠應該買新的包裝機，這樣更有利于企業的發展。因為自動線包裝的飲料的容量服從正態分布，而其出現的反差會對產品的質量造成影響，還會反應包裝機的精度，對工程的效益也會產生很大的影響。因此，在控制產品質量時，要重視對方差的控制。方差越大，精度就越差，系統的性能就越差。而方差越小精度就越高，性能就越好。

二、大數定律在保險中的應用

大數定律應用在保險學中，就是保險的賠償遵從大數定律。假如某保險公司有10000個同階層的人參加人壽保險，每人每年付120元保險費，在一年內一個人死亡的概率為0．006，死亡時，其家屬可向保險公司領得10000元。試問：平均每戶支付賠償金59元至61元的概率是多少？保險公司虧本的概率有多大？保險公司每年在這項險種中利潤大于40萬元的概率是多少？

設Xi表示保險公司支付給第i戶的賠償金，則。E（Xi）＝60，D（Xi）＝59．64（i＝1，2，…，10000）諸Xi相互獨立。則表示保險公司平均對每戶的賠償金E（）＝60。

D（）＝59．64×10－4，由中心極限定理，～N（60，0．07722），P｛5961｝＝＝2Φ（12．95）－1≈1。雖然每一家的賠償金差別很大，但保險公司平均對每戶的支付幾乎恒等于60元，在59元至61元內的概率接近于1。保險公司虧本，也就是賠償金額大于10000×120＝120（萬元），即死亡人數大于120人的概率。死亡人數Y～B（10000，0．006），E（Y）＝60，D（Y）＝59．64。由中心極限定理，Y近似服從正態分布N（60，59．64），則P｛Y＞120｝＝1－Φ（7．77）≈0。這說明，保險公司虧本的概率幾乎等于0。

如果保險公司每年的利潤大于40萬元，即賠償人數小于80人。則P｛Y＜80｝＝Φ（2．59）＝0．9952?？梢姡ｋU公司每年利潤大于40萬元的概率接近100％。在激烈的競爭中，保險公司要想得到相同的收益可以采取兩種辦法，一個是提高保險的賠償金額，這樣可以吸引更多的客戶。第二個是降低保費，但是這種方式沒有第一個吸引的人數多。

三、數字特征在組合證券投資決策中的應用

投資者在選擇投資策略時，降低投資風險的有效途徑是組合證券投資方式。假定投資者選定n種證券，Xi為證券投資期內第i種證券的收益率，它受證券市場波動的影響，其預期收益率和風險分別為Xi的數學期望E（Xi）＝μi及方差D（Xi）＝σi2（i＝1，2，…，n）。n種風險證券收益率向量為X＝（X1，X2，…，Xn）T，若X的期望向量μ＝［E（X1），E（X2），…，E（Xn）］T＝（μ1，μ2，…，μn）T，協方差矩陣，其中σij＝Cov（Xi，Xj），σij＝σji，σij＝σi2（i＝1，2，…，n）。且假定∑為正定矩陣。

組合證券投資的收益率為R＝wiXi，wi為投資期內在第i種證券投資占總投資額的比例，滿足wi＝1，wi≥0。則R是隨機變量，其數學期望為E（R）＝wiμi，方差為σ2＝D（R）＝wiwjσij。記W＝（w1，w2，…，wn）T，FnT＝（1，1，…，1）。則組合證券投資的期望收益率和風險可以分別表示為E（R）＝WTμ和σ2＝WT∑W。由此可以看出，在選定n種投資證券的前提下，n種證券的預期收益率向量μ及協方差矩陣∑就是已知的（可以根據統計數據給出估計），組合證券投資的收益率及風險都是由投資比例向量W所確定的，投資者可以根據自己的偏好選擇投資比例向量。

如果一個投資者既想要獲得高收益，又不想承擔高風險這是不可能的，投資者只有建立一個組合證券投資的方式才能夠在達到預期收益時承擔最小的風險。接下來我們來建立一個組合證券投資決策模型：其中μ0是給定的預期收益率。該模型的意義是：在達到預期收益率不低于μ0的情況下使組合證券投資的風險最小。這就是著名的馬克維茲均值—方差模型?，F在，人們越來越接受經濟學和概率論之間的共同發展和相互作用。通過本文的案例我們可以知道，經濟活動和概率論是密切相關的，不能分離。概率論能夠為經濟的發展提供一個科學嚴謹的分析辦法，這樣就可以發現經濟發展中的規律，從而能夠更好地促進經濟的發展。

【參考文獻】

［1］茆詩松．概率論與數理統計［M］．中國統計出版社，2000

概率論在經濟學中的應用范文第2篇

【關鍵詞】保險產品定價 保險精算學 保險經濟學

精算一般是指運用數學、統計學、金融學、保險學以及人口學等學科知識和原理，定量解決工作，尤其保險經營管理中的實際問題，進而為決策提供科學依據。精算和保險的結合形成保險精算，保險精算是精算學的重要組成部分。保險經濟學是經濟學的一個分支，運用經濟學原理來分析、研究關于保險領域問題的一門學科。從微觀層面來看，保險經濟學研究個人、保險人、保險中間人、保險監管者在市場中的行為決策，如何在有限資源下達到效用最優。從宏觀層面來看，保險經濟學研究保險在整個國民經濟中的作用及影響。在這兩個既有聯系又有區別的學科中，保險產品定價是它們共同的重要內容，究竟這兩門學科中保險產品定價有何異同，這正是本文所要嘗試探討的問題。

一、保險定價的數理基礎

（一）保險精算學中保險定價的數理基礎

大數定律在保險定價中所起的作用主要有以下幾個方面：一是利用貝努里大數定律和泊松大數定律來估計風險損失發生的概率；二是利用大數定律來分散和降低風險；三是大數定律是衡量保險公司財務穩定性的數理基礎；四是大數定律也是再保險的數理基礎。

保險精算一般分為壽險精算和非壽險精算，它們具有不同的數理基礎。壽險保費的計算涉及的數理基礎主要有概率論與數理統計、人口數學、利息理論和生存模型等。非壽險保費的計算比壽險保費計算更為復雜，因為非壽險中損失次數和損失額都是隨機變量，其涉及的數理基礎主要有概率論與數理統計、信度理論等。

（二）保險經濟學中保險定價的數理基礎

保險經濟學的建立與發展有賴于不確定情況下的經濟分析工具的發展。金融定價模型，如投資組合選擇模型、資本資產定價模型、最佳證券投資理論、跨時期資本資產定價模型、套利定價理論、期權定價理論、折扣的現金流模型等，在保險定價中起著重要的作用，也是保險經濟學中保險產品定價的重要的數理理論基礎。將資本資產定價模型應用到保險業后可以發現，均衡保險價格反映了保險經營中的不變風險。如果保險風險和金融市場風險沒有統計相關，那么均衡保險價格是以預期索賠成本的現值厘定的。如果它們是統計相關的，那么均衡中會出現正的或負的保險附加費。資本資產定價模型的一個主要局限在于其沒有考慮諸如有限責任及不對稱稅收計劃等要素引起的非線性影響。

（三）保險定價數理基礎的差異

從上面的分析可以看出，保險精算學中定價的數理基礎是純數學的、概率統計的，而保險經濟學中定價更多的是基于金融數學、隨機過程。盡管二者都采用了數學分析手段，但各自的側重點不相同。

二、保險定價的基本原理

（一）保險精算學中保險定價的基本原理

保險精算學中保險定價的核心內容是厘定純保費，用E表示。純保費厘定的基本原理是收支平衡原理，厘定結果為精算公平純保費，即純保費與保險人未來預期保險責任賠款損失相等。用L表示保險人在簽單生效時的損益，表示保險人未來預期保險責任賠款損失現值，X表示投保人或被保險人繳納的純保費的現值，則保險精算學中保險定價的收支平衡原理可以表示為E（L）=0，即E（Z）=E（X）。盡管壽險精算和非壽險精算所處理的風險性質不相同，但是純保費厘定所適用的原理都是一樣的，只是在具體的厘定純保費模型上有差異。給定了預定死亡率（非壽險為預定損失率）、預定利息率（非壽險是短期險，一般不考慮）、預定費用率以及安全加成或利潤因素等，采用收支平衡原理厘定毛保費。在保險精算中，這些預定的定價因素是從保險公司（或再保險公司）以往經營中得到的經驗結果，具有很強的主觀性，不同的保險公司之間可能會存在個體差異性。

（二）保險經濟學中保險定價基本原理

保險經濟學中保險定價和保險精算學中保險定價的不同之處在于，保險經濟學定價在保險價格的決定過程中充分考慮了市場的作用，應用了經濟學中的均衡價格決定原理。因此，保單價格應該是風險和收益的一種均衡。相對而言，保險精算中的精算保費模型是從供給方面著手，它假定價格由保險人單方面決定。在保險經濟學中，由精算學者和金融經濟學者共同發展的保險金融定價模型成為了保險定價的主流趨勢。在保險經濟學中，在不同的保險市場和經濟條件下應用經濟學理論來考察保險定價。在完全市場模型下，認為由競爭決定的長期均衡保險費即公平保費與索賠、銷售費用、所得稅和其他成本，包括稅收以及資本成本等的預期現金流的風險貼現值相等（Myers and Cohn，1986）。保險經濟學者也在資本沖擊、價格管制等經濟條件下來考察對保險定價的影響。

三、保險產品定研――保險精算學與保險經濟學研究比較

通過上面的分析，對于保險精算學和保險經濟學中關于保險定價的一些聯系與差異，我們可以得到一些探索性的結論：

（1）從數理基礎上看，保險精算學偏重于純數學的、概率統計的的數學工具，而保險經濟學側重于應用的、隨機過程的、和金融市場結合緊密的數學工具。

（2）從定價的基本原理上看，保險精算學立足于計算公平保費，使用的是收支平衡原理。保險經濟學立足于計算市場均衡保費、最優保險保費等，充分利用了經濟學原理，如供求均衡原理、效用最大化原理、市場結構理論等。而且，在保險經濟學中，保險被看成是一種金融產品，在其價格確定時，也充分利用了金融產品價格確定的金融數學模型。

概率論在經濟學中的應用范文第3篇

【關鍵詞】概率論；數理統計；數學建模；實際案例

概率論與數理統計是研究和處理隨機現象的一門重要的數學分支，在工程、人文、經濟、社會等領域應用廣泛。特別是近30年來，隨著科學技術的迅速發展和計算機的普及，這門課也得到了長足地發展，在統計學、經濟學、生物學、控制論等方面發揮著越來越重要的作用。因此，它已經逐步成為各高等院校理工類、經管類等各專業大學生學習的最重要的數學基礎課程之一。該課程應用性比較強，但也有自己的理論框架，有自己的定義、性質、定理等，雖然計算技巧要求不高，但對學生的分析問題的能力， 以及如何快速正確的找到問題的切入點，這方面的要求相對較高。鑒于該課程的以上特點， 如何讓學生更深刻、靈活的掌握基本概念和性質，并能把所學知識高效地應用到實際問題中提高教學效果是每一位從事該課程教學的老師， 都在思考解決的問題。結合幾年來對這門課程的實際教學經驗，簡單提出幾點看法和建議：

一、改變傳統的教學模式，在教學過程中引入數學建模的思想

在傳統的教學方式中，一般我們只從理論上注重概念公式的講解，很少注重學生實際學習能力的提高。這種“填鴨式”教學絲毫提不起學生的學習興趣，教學效果可想而知。鑒于概率論與數理統計這門課的實用性，在上課的過程中我們可以把數學建模的思想課程中融入到這門課程中，既可以提高學生的學習興趣，又能提高學生解決實際問題的能力。比如在概率統計中講解古典概率時可以引入生日相同例子，如：在集體宿舍中（6個人），研究是否有兩個以上的人生日相同。（假設每人的生日在一年365天中的任意一天是等可能的）進一步問，那么隨機找n個人，（不超過365人），求這n個人生日各不相同的概率有多大？從而求這n個人中至少有兩個人生日相同這一隨機事件發生的的概率是多少？這是一個很實際的例子，大部分學生都比較感興趣，從而愿意配合老師積極的去思考、計算，在計算過程中也掌握了求古典概率的方法。在其他教學內容上也有很多模型可以列舉，如：各種概率分布的應用背景問題、合理配置問題、排隊論、報童的收益問題、隨機貯存問題、航空公司的預定票策略、組織貨源使收益最大化、平均成績的估計、機器工作是否正常、生產的產品是否合格問題、某射手是否是一級射手等等這些模型。我們可以看到上面列出來的數學建模的例子很多也很有趣，由于篇幅的原因具體模型沒有一一列舉出來。

二、在教學過程中引入實際案例，調動學生的學習主動性

在概率論與數理統計中的教學中，結合概率論與數理統計應用性較強的特點， 在課堂教學中， 平時注意收集生活中的實際案例， 并根據各章節的內容選擇適當的案例融人教學， 將理論教學與實際案例有機地結合起來組織討論課，一方面使得課堂講解生動清晰， 收到良好的教學效果；另一方面也加深了學生對教學內容的理解和掌握。例如， 保險機構是較早使用概率統計的部門之一， 保險公司為了恰當估計企業的收支和風險， 需要計算各種各樣的概率下面是賠償金的確定問題：據統計， 某年齡段的健康人在3 年內死亡的概率為0.0 3 ， 保險公司準備開辦該年齡的3 年人壽保險業務， 預計有5000 人參加保險， 條件是參加者需交保險金10 元，若3 年之內死亡，公司將支付賠償金b元（待定），便有以下幾個問題：

（1） 確定b， 使保險公司期望盈利及保險公司盈利的可能性超過95 % ？

（2）確定b ， 使保險公司的期望盈利超過1 萬元及使保險盈利超過1 萬元的可能性大于9 5呢？

（3） 若b=3000 元， 保險公司盈利的期望值和盈利都超過2 萬元的可能性為多少？

（4）若b=3000 元， 欲使公司盈利20 萬元時， 每位參保者至少需要交保險金為多少元？ .這一系列問題的解決需要綜合運用概率論知識. 通過這樣的案例分析題將有利于增強學習氛圍， 活躍課堂， 激緒， 開發思維， 有利于個人素質和協作能力的培養，教學效果當然會大幅度提高。

三、采用啟發式教學引導學生的自主學習

教學是一種教師和學生之間的互動關系。在此過程中，學生的主觀能動性則起了非常大的作用，可以說，是師生在共同控制信息的傳遞。如果只是教師在講臺上一味的講，不停地推導公式，加上數學本身的晦澀難懂和枯燥，學生必然會覺得索然無味，很快失去學習熱情和學習興趣，更談不上學習效果怎么樣了。然而如果教師采用引導、啟發式教學，不是直接講授給學生，而是時不時地環環相扣地把問題拋給學生， 讓學生去主動思考， 調動學生的自發的積極性與主觀能動性，則會大大提高教學質量，改善教學效果，學生自身掌握的知識也會更加扎實。

四、開設上機實驗課，培養學生應用數學軟件來解決問題的能力

許多學生完成概率論與數理統計的學習后，在專業課程中，面對大量數據，需要運用統計思想方法分析時往往出現無從下手的現象，造成這種現象的原因有兩方面： （ 1） 缺乏靈活運用所學知識解決實際問題的能力； （ 2） 數據量大，計算過于繁瑣，手工難以實現。對于第一種情況我們通過案例將教學內容與學生所學的專業相結合來提高學生的運用能力。針對于第二種情況開設上機實驗課，讓學生掌握相關的計算機統計分析軟件，訓練學生應用數學軟件來解決問題。這不僅提高了學生的學習興趣，也加強了學生運用概率論與數理統計原理解決實際問題的能力。

以上是我在實際教學中的一些心得體會， 旨在讓學生對這門課能有更深刻、直觀、全面的認識， 更好地培養學生的學習興趣， 激發學生的學習熱情，從而提高這門課得教學效果。

參考文獻：

[1]閆慶倫，范曉娜.注重數學建模思想的概率統計教學探討，中國科教創新導刊，2012（8 ）：50.

概率論在經濟學中的應用范文第4篇

該校“卓越工程師教育培養計劃”試點工作已經在2010年9月實施。該計劃人才培養的目標為：主要面向企業生產一線，培養能綜合應用現代科學理論和技術手段，掌握一定的管理與工程經濟學知識和技能，具有較強工程實踐能力、創新能力和較高綜合素質的本科工程型（制造、施工、運行、營銷、維修）人才，畢業后能夠基本勝任其中一種或多種角色。學校試點專業的《概率論與數理統計》課程教學計劃從2011―2014學年度春季學期開始執行，截止目前第三輪已經結束。文章介紹了《概率論與數理統計》課程教學中的一些經驗。

1 適時引進案例式教學法

傳統的“灌輸式”教學方法顯然已經不能適應目前的課堂教學。營造活躍的課堂氛圍，提高學生學習的興趣是教育工作者的責任。積極引導學生學好《概率論與數理統計》的關鍵是選擇生動的案例。下面試舉兩個例子加以說明。

（1）引入案例之一。在《概率論與數理統計》課程的第二章講授到隨機變量服從正態分布時，不是僅僅講解正態分布概率密度函數表達式的特點、標準正態分布概率密度函數及分布函數等基本的知識，而是引入了公司招聘的例子?！澳彻菊衅?55人，共有526人報名，于是通過考試，按成績由高到低依次錄取，設考試成績為隨機變量的分布為，問：某人成績為78分，能否被錄??？”在這個例子中，只有計算出招聘錄用的分數線，將某人的成績同錄用的分數線比較，如果分數線不高于78分，則某人就能被錄用。但是計算分數線，就需要用到一般正態分布標準化的問題、標準正態分布函數表的使用問題等關于正態分布的知識。這樣通過該案例的教學，學生既鞏固了關于正態分布的知識，又應用該知識解決了實際的問題，一舉兩得。

（2）引入案例之二。在《概率論與數理統計》課程的第三章講授到二維隨機變量函數的分布時，引入了這樣找莊家公平嗎的例子?！靶瞧谔?，老張、老王、老李和老趙湊在一起打麻將。開始打麻將，要先兆頭，即找莊家。他們的作法是，隨便哪一位擲兩個質體均勻的骰子，觀察出現的點數之和。若點數之和為5或9點，則擲骰子者本人為莊家；若點數之和為3或7或11點，則擲骰子者對面為莊家；若點數之和為2或6或10點，則擲骰子者的下一家為莊家；若點數之和為4或8或12點，則擲骰子者的上一家為莊家。這種方法已經成為一種習慣，可誰也沒有注意到這樣找莊家是否公平呢。也就是說，這4個人坐莊的機會是否相等呢。”解決這個問題，可以先假設第一、二顆骰子出現的點數為兩個相互獨立的隨機變量，進而得到二維隨機變量的聯合分布律，然后再分別計算四種情況下兩個隨機變量和的概率，結果表明四種情況下的概率并不完全相等，即說明了這樣擲骰子的方法找莊家是不公平的。通過該案例的教學，學生既鞏固了關于離散型二維隨機變量分布的相關知識，又應用該知識解決了實際的問題，使得學生對學習《概率論與數理統計》的興趣更加濃厚。在講授這個例子時，可以進一步引導學生思考“如何對剛才的例子中的規則加以改進使其變的公平呢？”。當提出上面的問題后，課堂氣氛馬上變的更加的活躍了，經過學生們熱烈討論和激烈的爭論后，給出好幾種的修改規則進而公平找莊家的方法。這充分說明案例式教學的優勢所在。當然，本例也說明，案例式教學方法是課堂教學中的一種比較好的方法，將“案例式教學”與“啟發式教學”等其他教學法相結合對提高課堂教學質量會更加明顯。

2 課堂教學中突出實踐特色

基于“卓越工程師計劃”的《概率論與數理統計》的教學，要求教師在課堂教學中必須要突出實踐特色。如何在《概率論與數理統計》課程教學中突出這一特色，下面通過一個例子加以說明。

在《概率論與數理統計》課程的第七章講授到參數估計的點估計法實踐教學時，引入了“捕魚問題”的案例。“設湖中有魚N條，現捕出r條，做上記號后放回湖中（設記號不消失），一段時間后湖中的魚（做上記號的和沒做記號的）就混合均勻了，再從湖中捕出s條（不小于r），其中有t條標有標記。試根據這些信息，估計湖中魚數N的值?！睂@個題可以先介紹如何根據二項分布與極大似然估計法得到湖中魚數N的估計值，然后再詳細說明如何利用計算機編程實現對N的計算問題。使用數學軟件MATLAB編程前要將題目中的字母表示的數值具體化，如，以s=1000，r=108，t=38為例來給學生具體演示。演示時給學生提供了兩種不同的方法，一種是直接在MATLAB命令窗口中輸入命令，提醒學生注意組合數命令nchoose（s，t）的使用格式，并提醒學生注意正確使用解含有微分計算的方程的命令：N=solve（diff（log（pt），N），N），其中pt是根據二項分布計算的s條魚中有t條有標記的概率。另一種演示的方法是采用通用的M文件形式。在程序中采用M文件確定了一個可以在MATLAB命令窗口中執行的函數，根據具體的實際情況選擇合適的r、s、t的值，進行不同的模擬運算得到相應的N的估計值。這樣做的目的是讓學生不僅復習了理論的知識，又能將實際問題通過計算機數學軟件得到快速實現。理論與實際充分的結合，進一步體現了“卓越工程師計劃”的精神。

概率論在經濟學中的應用范文第5篇

關鍵詞：分層次教學；概率論與數理統計；獨立學院

概率論與數理統計是本科院校面向理工科和經管等專業開設的一門重要的數學基礎課程，是學生在本科階段接觸到的為數不多的研究隨機現象和統計規律的一門課程．隨著科學的發展，在云計算以及大數據理論的推動下，概率論與數理統計的思想方法已經越來越多地滲入到自然科學和社會科學的各個領域中[1]．如何結合獨立學院學生的特點，將概率統計較強的應用性和實踐性充分體現出來，是獨立學院概率統計教學改革中值得探討和研究的課題．

1獨立學院的學生特點

獨立學院是我國經濟社會發展和高等教育改革中出現的新生力量，為我國高等教育的大眾化起到了很大的推動作用[2]．獨立學院學生大多數的進校分數介于二本院校和?？圃盒Ｖg．從多年的教學實踐來看，獨立學院學生數學基礎相對薄弱，學生自控力較差，學習缺乏主動性且比較隨意．與社會整體認知有所差異的是獨立學院中也會有15%左右的學生有一定數學基礎，學習認真；此外還有5%左右的學生由于偏科或考試發揮失常導致高考失利來到獨立學院．這些學生往往是獨立學院參加各學科競賽的主力，他們不僅有較強的數學基礎，而且學習積極主動，經過一定的訓練在某些知識的應用方面甚至會超過一本、二本的學生．因此需要因材施教，針對不同專業、不同類型的學生開設不同層次的數學基礎課程教學，在保證基礎理論教學的同時，適當增加一些實驗實踐課程．這樣可以提高學生的學習興趣，充分鍛煉學生的動手能力和應用能力[3-4]．

2分層次教學實踐

與其他課程不同，概率統計研究的對象為不確定現象．因為不確定性，概率論與數理統計的大量概念很難理解．同時，作為概率論與數理統計的基礎課，微積分和線性代數在概率論與數理統計的教學中有很深入的體現，尤其微積分，基礎是否扎實直接影響著概率論與數理統計的學習．因此，對不同數學基礎、不同專業的學生進行分層次教學是十分必要的．分層次的概率論與數理統計教學并非簡單地將學生按成績分成不同等級，而是讓學生在對自身數學基礎有全面認識的前提下，結合自己的興趣，在教師的指導下進行自主選班．分層次教學主要包括3個層次，即基礎層、提高層和探索層．前2個層次為課內教學，分別在普通班和提高班進行．普通班與提高班人數按4∶1進行分配．第3層次結合網絡平臺及課外學習小組面向對概率論與數理統計有更多興趣，且希望進一步學習實際應用的學生展開．

2.1分層次的教學大綱和教學內容

普通班和提高班學生在數學基礎和學習主動性上存在一定的差距，而概率論與數理統計又是很多專業及后續課程的基礎，根據這種情況，分別對普通班和提高班編寫不同的教學大綱和教學計劃．從教學學時來看，普通班學時是50學時，提高班是64學時（54+10），其中10學時的實驗．從教學大綱內容來看，普通班重點突出對知識背景和統計思想的掌握，重視體驗數學和實驗數學的過程，從而提高學生的學習積極性和主動性．因此，刪除了大數定理與中心極限定理的理論部分，取而代之的是要求在講授概率與頻率、二項分布和正態分布時分別回歸到實際背景，利用多媒體課件及計算軟件（Excell，Matlab等）進行隨機模擬實驗演示，讓學生觀察并參與到實驗中，直觀地得出相關結論．考慮到普通班學生數學基礎較為薄弱，對于高維隨機變量的相關復雜計算也降低了要求．而把重點放在了一維和二維隨機變量的簡單計算上，要求學生進一步加強基本積分求和計算的基礎訓練，保證學生掌握基本的數學內容和計算方法，為學習后續相關課程提供必備的數學素養．此外，在統計部分，統計量、參數估計和假設檢驗等都存在大量的公式，由于手工計算的局限性，大樣本數據的處理過程無法貫穿整個課堂，往往使得學生對于結果感到很茫然．在實際應用中，絕大部分統計公式是可以實際查表計算，甚至可以通過一些應用軟件直接得出統計結果[5-7]．因此，在普通班的大綱中降低了對公式的記憶要求，而把重點放在了應用案例的分析和統計思想的理解上，讓學生明確概率論與數理統計課程的用途及如何應用．相比于普通班，提高班的教學大綱在理論教學部分與普通本科要求一致．同時增加了10學時的實驗課程．在有限的時間內既要熟悉軟件操作，又要將概率論與數理統計知識實驗化，對于數學基礎較弱的普通班學生來說可能會力不從心．因此，只面向提高班開設．實驗課程主要是將普通班沒有進行理論授課而改為課堂教師實驗展示的部分，改為了學生自己動手操作實踐．這樣既可以幫助學生進一步鞏固課堂知識，加深對相關現象、概念和公式的理解，也提高了學生的數值計算能力，增強了學生的學習興趣．

2.2利用網絡實現第3層次的教學

互聯網+課堂已成為現在教學的一個發展趨勢，增加學生的課外自主學習，使概率論與數理統計的教學跳出課本，貼近生活是建立第3層次——探索層的主要目的．樹立以學生為主體，教師參與指導的教學理念．結合課堂學習內容，利用網絡平臺，組織課外學習小組，讓學生參與到一些實際課題中，對概率論與數理統計相關應用案例[8]做進一步探索．如讓學生對某次考試成績進行統計分析，利用假設檢驗了解成績的分布情況，同時可以利用2個正態總體的假設檢驗對2個不同班級相同課程的成績進行比較，最后深入到班級同學中進行抽樣調查，并分析差異原因．讓不同專業的學生參與到與自身專業相關的統計案例分析中，如經濟金融專業的學生可以考慮人壽保險費額確定的案例，這樣既練習了概率中的期望、方差和中心極限定理的運用，同時也學習保險數學的相關知識；工程管理專業的學生可以參與到建筑工程公司投標的決策分析案例中，不僅對期望、條件概率和貝葉斯公式等會有進一步深入的理解，同時可以學習投資項目的風險決策問題；工業和經管等專業的學生可以學習質量控制圖，通過計算機對所獲得的工業產品的質量數據進行測定，復習并深入體會數理統計中的參數估計和假設檢驗等有關知識及相關的應用．通過這些課題的參與，學生自己動手采集數據，建立模型，進行統計計算以及提交分析報告，不僅體會到了概率論與數理統計的實際應用，嘗試了發現和創造的過程，還開闊了視野，增添了自信和成就感．從而提高了學習積極性，同時對所學課本知識也有了新的認識和理解．

2.3分層次的考核方式

對學生學習情況的期末考核是整個教學過程中的重要環節，它是對學生學習程度的檢驗，更是對教師教學水平的檢驗．因為存在不同層次的教學大綱，所以對學生的考核也分多個層次進行．對于基礎班學生，卷面考試以基礎題和簡單計算為主，占總評成績的70%，此外是參與第3層次學習情況作為加分項占總評分10%的額外加分．通過加分獎勵機制鼓勵學生積極參與到動手實踐中去．對于提高班學生，卷面考試占總評成績的60%，實驗部分占30%，除了對軟件的基本命令和操作的考核外，還增加了需要通過小組合作解決的綜合應用題，以及實驗報告的寫作．既考核了學生的綜合動手能力，還考察團隊合作精神．此外第3層次的學習情況依舊作為加分項占總成績的10%．

3分層次教學的實施效果和意義

獨立學院的教學目標是面向地方和區域，培養高素質、復合型、應用型的高級人才．由于生源在數學基礎上存在著一定的層次區分，各專業對概率論與數理統計知識要求也各有差異．因此，對不同專業、不同層次的學生在教學中進行不同教學重點的區分，分層次教學，使得教學有的放矢，因材施教．從整個教學的實踐效果來看，課堂氣氛有了明顯的改善，更多的學生積極地加入到課堂演示的過程中，作業的完成率有了很大提高，尤其是實踐作業．普通班的學生不再為復雜的計算感到迷茫，學習主動性顯著增強，相比于以往不愿跟教師交流，現在很多學生課后愿意跟教師一起探討隨機試驗和統計思想．提高班學生學習的內容則比以往更加充分，實驗課程的學習使其對軟件的掌握更加靈活，滿足了他們的求知欲，同時也增強了動手能力．從學生的反饋來看，學生更愿意參與到與自己專業有關的概率論與數理統計課題中，而課題中所要用到的知識促使他們在課堂上更加認真地去學習．此外，通過各專業后繼課程教師的反饋，分層次教學所學內容為學生后繼的專業課和專業基礎課提供了充分的理論保證．在很大程度上改變了以往所學內容無法應用，同時因難度過大，導致學生成績不佳，失去學習信心，影響后繼學習的情況．分層次教學的開展是對獨立學院教學方式的有益嘗試，對獨立學院的數學教學改革有重要的意義．利用多媒體和計算機軟件教學，讓學生參與教學實驗演示過程，利用啟發式教學引導學生提出問題，分析問題和解決問題，使得學生對抽象理論有了直觀感受，鍛煉了學生的數學思維，擴展了學生的數學視野．注重概念與思想的滲入，而降低對計算技巧的要求，既照顧了數學基礎較弱的學生，又加深了學生對概率論與數理統計這門課程的理解，幫助他們更加牢固地掌握概率論與數理統計方法，為后續課程的學習打下較好的數學基礎．此外，利用課余時間，借助網絡平臺引導學生參與課外案例的分析和解決，將概率論與數理統計同學生的專業相結合，架起了數學與專業之間的橋梁．

4結語

概率論與數理統計課程的分層次教學是我院對數學基礎課程教學改革的一部分，從實踐來看取得了較好的教學效果，受到師生廣泛的好評．隨著教學改革的深入，在分層次教學中，新的教學方法和教學案例將會進一步融入到課堂教學和課后實踐中來，為培養有創新能力的“現場工程師”打下良好的基礎．

參考文獻：

[1]魏岳嵩．在概率統計教學中融入數學建模思想[J]．淮北煤炭師范學院學報：自然科學版，2010，31（1）：91-93

[2]楊德廣．獨立學院是中國特色的新型民辦高校[J]．高等教育研究，2009，30（3）：56-60

[3]劉程熙．高等數學分層教學方法的實踐研究[D]．重慶：西南大學，2009

[4]張曉麗，劉國祥．應用型人才培養模式下《概率論與數理統計》課程教學方法的改革與探討[J]．赤峰學院學報：自然科學版，2014（12）：228-229

[5]王寧，孫曉玲．概率論與數理統計實驗教學案例設計及實現[J]．合肥師范學院學報，2014，32（3）：69-72

[6]耿智琳．獨立學院開展數學實驗輔助教學的探索與思考[J]．湖北經濟學院學報：人文社會科學版，2011，8（2）：138-139

[7]胡菊華．計算工具融入概率統計教學的嘗試[J]．科技信息，2011（35）：430-431