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線性規劃范文第1篇

【關鍵詞】研究性學習；線性規劃；教學改革

隨著當前基礎教育的改革的深入，研究性學習成為當前基礎教育的一個熱點，引起了教育界和社會的廣泛關注，也成為當前培養學生能力的一個嶄新的課題。我們本著教學過程始于課內，終于課外的原則對線性規劃的實際應用進行研究。主要是把實際問題抽象為數學模型，使其在約束條件下，找到最佳方案。也就是說求線性目標函數在線性約束條件下的最大值和最小值問題。

1 線性規劃問題

在實際社會活動中遇到這樣的問題：一類是當一項任務確定后，如何統籌

安排，盡量做到最少的資源消耗去完成；另一類是在已有的一定數量的資源條件下，如何安排使用它們，才能使得完成的任務最多。

例如1-1：某工廠需要使用濃度為 的硫酸10 ，而市場上只有濃度為 ， 和 的硫酸出售，每千克價格分別為8元，10元，16元，問應購買各種濃度的硫酸各多少？才能滿足生產需求，且所花費用最小？

設取濃度為 ， ， 的硫酸分別為 千克，總費用為 ，則

2 線性規劃問題的模型

2.1概念

對于求取一組變量 使之既滿足線性約束條件，又使具有線

性目標函數取得最值的一類最優問題稱為線性規劃問題。

2.2模型

3線性規劃問題的求解

3.1圖解法

在平面直角坐標系中，直線 可以用二元一次方程 來表示，點 在直線 上的充要條件是 ；若 不在直線上，則 或 ，二者必居其一。

直線 將平面分為兩個半平面 和 ，位于同一個半平面內的點，其坐標必適合同一個不等式，要確定一個二元一次不等式所表示的半平面，可用“特殊點”法，如原點或坐標軸上的點來檢驗。另外有如下結論：

（1）若 ，則 表示直線 右側的半平面， 示直線 左側的半平面。

（2）若 ，則 表示直線 上方的半平面， 示直線 下方的半平面。

例1-1中，設取濃度為 ， ，的硫酸分別為 千克，取 的硫酸為 千克，總費用為 ，則

當直線 ： 向右上方移動，經過可行域上的 點，此時直線距離原點最遠， 取得最大值。由 得 點的坐標為 ，代入 得， .

從圖解法來看，它只適用線性約束條件中決策變量為二元一次線性規劃問題的求解.對于含有三個或三個以上的求解，用圖解法無法下手.如何求多元線性規劃問題的解呢？下面我們以例1-2為例，介紹單純形法的求解方法.

3.2單純形法

顯然，第一行中 的值最小，故選 進基，將第一行乘以0加到第二行，再將第一行乘以 加到第三行，然后再將第一行乘以 加到第四行，得到下表：

4 線性規劃的簡單應用

4.1物資調運問題（產銷平衡）

運輸問題一般是某種物資有 個產地 ，產量分別為 個單位；有 個銷地 ，銷量分別為 個單位， 與 之間的單位運價為 ，問應如何安排運輸的方案，才能使總運費最低？

[例] 甲、乙兩地生產某種產品，它們可調出的數量分別為300t，750t，A、B、C三地的需要該產品得數量分別為200t，450t，400t，甲地運往A、B、C三地的費運分別為6元/t， 3元/t，5元/t，乙地運往A、B、C三地費運分別為5元/t，9元/t，6元/t，問怎樣調運，才能使總運費最低？

如果甲生產的產品運往B之后有剩余，而且也滿足B地的需求量，我們應將B所在的列的元素全部劃掉，然后在剩余的元素中再找最小元素，依次類推。

4.2合理下料問題

下料問題是加工業中常見的一種問題，其一般的提法是把一種尺寸規格已知的原料切割成給定尺寸的幾種毛坯，問題是在零件毛坯數量給定的條件下，如何割才能使廢料最少？

[例] 某工廠有一批長為2.5m的條形鋼材，要截成60cm和42cm的兩種規格的零件毛坯，找出最佳的下料方案，并計算材料的利用率。

解法一：設每根鋼材可截成60cm長的毛坯

x根，42cm長的毛坯y根，按題意得不等式

，畫出直線 ： 的圖象，如圖（4）。

因為要截得的兩種毛坯數的和必須為正整數。

所以 ，的解為坐標的點一定是第一象限內可行域的網格的交點。

如果直線 上有網格交點，那么按直線上網格交點的坐標 的值為下料方案，這時材料全部被利用，此方案就是最佳方案。從圖上看直線 不能過網格交點。在這種情況下，為了制定最佳方案應該找靠近直線 的網格交點。當然不能在直線 的右上方的半平面內找網格交點，右上方的半平面任何網格交點坐標都使 。這時兩種零件毛坯長度和超過原鋼材的長度，這是不合理的，所以問題的最優解不能在這個區域找。

這樣，下料的范圍只能在 表示的可行域內，在直線 的左下方半平面內找最靠近直線的網格交點，得點 ， 就是所求的最優解。材料利用率為 。

解法二（列舉法）：

4.3生產安排問題

生產安排問題是企業生產中常遇到的問題，用若干種原料生產某幾種產品，原料供應有一定的限制，要求制定一個產品生產計劃，使其在給定的資源限制條件下能得到最大收益。如前面的例1-2就是生產安排問題，我們不再舉例。

本文著重研究線性規劃的一些簡單的應用及其求解方法。圖解法是我們解決一些二維線性問題的最基本的方法，應該必須掌握，對于三維或三維以上的可利用單純形法求解，單純形法可以用來求一些比較復雜的線性規劃的問題，有興趣的同學可參閱《運籌學》。通過本文的介紹，要學會解決簡單的應用問題，拓展解題思路，培養解決實際問題的能力。

參考文獻：

[1]袁小明.數學思想史導論[M].廣西教育出版社，1991.

線性規劃范文第2篇

關鍵詞：采購 耗用 庫存 LINGO 約束條件

針對問題三：當價格保持線性上升時，根據每種油第一個月價格，確定出2個月價格。價格就由常量變關于x的函數，其中x上限20。使用LINGO計算，用EXCEL制作曲線圖。無論x在取值范圍如何變，都能提出最佳采購與耗用方案并確定最大利潤。

一、問題的提出

二、問題分析

問題1、2目的是尋求更好的采購和耗用及庫存方案，使總利潤最大。總利潤包含采購原油費用、儲存原油費用、銷售成品油所得的金額，目標函數由此構成。每個月對原油的精練、存儲油量的限制，成品油的硬度也限制在3至6之間，故約束條件可得。

三、基本假設

1.假設原料油能夠滿足加工需要；

2.不考慮原料油的采購費用和所需的時間；

3.假設原料油的采購和加工是均勻連續的，存儲中沒有質量損失。

四、符號說明

六、模型的檢驗

主要運用LINGO檢測，第一個月最大利潤43750.元，對問題二：逐月最大利潤為55227.27元，采購和耗用原料油都滿足限制條件。

七、模型評價

1.模型的優點

1.1本模型解決了原料油的采購和耗用及庫存方案，給出解決線性規劃問題的一般算法，得出較滿意結果。

1.2本模型對原料油市場價格變化規律下的不同 ，利用LINGO計算總利潤，可觀察出市場的變化規律。

2.模型的不足

2.1假設較多，導致模型不全面反映實際中原料油的采購、耗用和價格的變化對利潤的影響。

2.2實際中，為獲最大利潤，在原料油價格較低時采購，在價格上漲時，僅保證需要即可。

八、模型的推廣

本模型的建立為解決變量較多的線性規劃問題提供了一個合理的方案，可以應用于其他類似的線性規劃問題。可推廣到庫存材料利用問題、產銷不平衡運輸問題、材料訂購與運輸問題和最低成本問題等規劃問題上。

參考文獻

[1]姜啟源、謝金星、葉俊，《數學模型》北京市西城區德外大街4號：高等教育出版社，2007年8月第三版.

[2]袁新生等，用LINGO6.0求解大型數學規劃，工程數學，第17卷第5期：73～77，2001.

[3]運籌學教材編寫組，運籌學，北京：清華大學出版社，1990.

線性規劃范文第3篇

【關鍵詞】線性規劃；易錯點；歸納整理

線性規劃問題是實際生活中常遇到的一類問題，因此常見于各省市高考試卷中.筆者將線性規劃教學中學生常見的易錯點整理歸納如下，僅供參考.

案例1在平面直角坐標系xOy中，已知平面區域A=（x，y）|x+y≤1x≥0y≥0，求：

（1）若z=x-y，則z的最大值是；

（2）若平面區域B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}，則平面區域B的面積為（）.

A.2

B.1

C.12

D.14

錯解（1）作出x-y=0的平行線，如圖1，發現當過點B時z取最大值-1.

評析因為z=x-y在y軸上的截距是-z，故點A（1，0）才是使z取得最大值的最優解，所以zmax=1.事實上，對于目標函數z=ax+by，b

錯解（2）令a=x+y，b=x-y則0≤a≤1，-1≤b≤1表示的平面區域如圖2所示，則面積應等于2.

評析本題中忽略x與y本身的范圍，應注意到a+b=2x≥0，a-b=2y≥0，所以約束條件為a+b≥0，a-b≥0，0≤a≤1，-1≤b≤1， 表示的平面區域如圖3，所以陰影面積為1，即B的面積為1.

案例2設實數x，y滿足x-y-2≤0，x+y-4≥0，2y-3≤0， 求z=y+1x-3的取值范圍.

錯解因為可行域的頂點分別為A52，32，B72，32和C（3，1），所以-5≤y+1x-3≤5.

評析線性規劃問題是數形結合的典范，通過可行域如圖4，可以觀察得y+1x-3≤-5或y+1x-3≥5.

案例3不等式組y-x≥0，x+y-10≥0，y-3x+6≤0， 表示的平面區域為D，若指數函數y=ax的圖像上存在區域D上的點，求a的取值范圍.

錯解因為區域D的頂點分別為C（3，3），A（5，5），B（4，6），所以a>1，515≤a≤614， 所以515≤a≤614.

評析畫出可行域D如圖5，發現可行域并非是封閉的三角形區域，點A（5，5）使a取最小值515，所以a的取值范為515≤a.

案例4若實數x，y滿足條件y-x≥0，x+y-10≤0，y-3x+6≤0， z=x+yi（i為虛數單位），求|z+1-6i|的最大值和最小值.

錯解因為|z+1-6i|可以看作可行域中的點到點（-1，6）的距離，所以畫出可行域如圖6，分別帶入點A（5，5），B（4，6），C（3，3）得出5≤|z+1-6i|≤37，所以最大值37，最小值5.

評析本題錯解在于忽視了當由點（-1，6）向直線y-3x+6=0作垂線時，垂足可能在可行域中，事實上垂足72，92恰好在線段BC上，故最小值應為22.5，最大值37.

案例5若實數x，y滿足不等式35x+24y≥106，x∈N，y∈N， 求z=140x+120y的最小值.

錯解做出可行域如圖7所示，因為點A10635，0且由于直線l：z=140x+120y的斜率k=-76>kAB=-3524，可知當直線l向上平移過點（3，1）時z=540，過點（4，0）時z=560，故z的最小值是540.

評析本題的難點在于x∈N，y∈N，對于整點問題可利用“平行移動、代入檢驗”的方法解決，所以本題中還要考慮x=2，因為35x+24y≥106，故y≥32，所以考察點（2，2）得出z=520；再考察點（1，3）得出z=500；進而考察點（0，5）得出z=600.故本題最優解應為（1，3）時zmin=500.

總評

線性規劃范文第4篇

摘要：通過對實際生活中有關優化問題的探討，運用線性規劃知識，使問題情景數學化，特別是應用圖解法有關可行解的理論，對有關優化問題的數學模型的建立和求解給出了具體方法。

關鍵詞：線性規劃；約束條件；目標函數；圖解法

利用線性規劃知識建立有關優化問題的數學模型，需要尋求決策變量x，在優化問題中，通常有多個決策變量，常用一組不等式來描述即約束條件。在解決最優解問題時，若用數量形式描述即目標函數。對不同的問題，其目標和條件的表現形式可以是各式各樣，但在數學看來，都可以概括為：求某一函數在一定約束條件下的最大（最小）值的問題。

一、線性規劃問題

1、不等式Ax+By+C>0

（1）當B>0時 y>-A/Bx-C/B表示直線Ax+By+C=0的上部分

（2）當B

（3）當B=0時，當A>0時 x>-C/A表示直線x=-C/A的右方部分

當A

2、點在直線同側還是異側的判斷

令A（x1，y1）B（x2，y2）L：Ax+By+C=0

（1）A，B在L的異側（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）

（2）A，B在L的同側（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）>0

3、不等式表示的平面區域

例如：|x|+|y|≤2 所表示的平面區域圖1

|x|+|y|-2≤0

x+y-2≤0

-x-y-2≤0

x-y-2≤0

-x+y-2≤0

圖1

二、建立優化問題的數學模型

下面通過實例看看如何形成約束條件和目標函數。

例：某工廠甲、乙兩種產品，計劃每天各種產品的生產量不少于15t，已知如表1所示。

12問應如何安排生產才能獲得最大利潤？

設甲、乙兩種產品分別為x（t），y（t），總利潤z（萬元）

則有約束條件：

9x+4y≤300

4x+5y≤200

3x+10y≤300

x≥15

y≥15

目標函數為：zmax=7x+12y

概括上述問題的數學模型就是：求一組非負數x、y，使之滿足上述約束條件，且使目標函數取得最大值。

三、用圖解法解線性規劃問題的方法

建立有關優化問題的數學模型后，下一步就需要求解問題。由于目標函數和約束條件都是線性函數，在二維情況下，可行解的區域為直線段圍成的凸多邊形，于是，最優解一定在凸多邊形的某個頂點處取得。

解決上述的實際問題：

約束條件：

9x+4y≤300

4x+5y≤200

3x+10y≤300

x≥15

y≥15

目標函數為：zmax=7x+12y

由上述約束條件的5個不等式來確定可行解的區域。圖2中陰影部分為凸多邊形，其中每個點的坐標都是線性規劃問題的一個可行解。

求目標函數為：zmax=7x+12y取得最大值。

令z等于某一個常數，如z=366.69，411，417.246，428等分別做直線zmax=7x+12y，這些線都是互相平行的直線，即是目標函數的等值線。當z越來越大時，直線離開原點越來越遠，最后，在滿足約束條件的所有解中，使z取得最大值的解將在可行域的邊界點A（20，24）處得到，即當x=20、y=24時zmax=428（萬元）。

線性規劃范文第5篇

［關鍵詞］ 非線性規劃； 模型； 產品組合； 應用

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2012 . 08. 065

［中圖分類號］ F272 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1673 - 0194（2012）08- 0096- 02

1 非線性規劃數學模型

對實際規劃問題作定量分析，必須建立數學模型。建立數學模型首先要選定適當的目標變量和決策變量，并建立起目標變量與決策變量之間的函數關系，稱之為目標函數。然后將各種限制條件加以抽象，得出決策變量應滿足的一些等式或不等式，稱之為約束條件。非線性規劃問題的一般數學模型可表述為求未知量x1，x2，…，xn，使滿足約束條件：

gi（x1，…，xn） ≥ 0 i ＝ 1，…，m

hj（x1，…，xn） ＝ 0 j ＝ 1，…，p

并使目標函數f（x1，…，xn）達到最小值（或最大值）。其中：諸gi和諸hj都是定義在n維向量空間Rn的某子集D（定義域）上的實值函數，且至少有一個是非線性函數。

上述模型可簡記為：

min f（x）

s．t． gi（x） ≥ 0 i ＝ 1，…，m

hj（x） ＝ 0 j ＝ 1，…，p

其中x ＝ （x1，…，xn）屬于定義域D，符號min表示“求最小值”，符號s．t．表示“受約束于”。

定義域D中滿足約束條件的點稱為問題的可行解。全體可行解所成的集合稱為問題的可行集。對于一個可行解x*，如果存在x*的一個鄰域，使目標函數在x*處的值f（x*）優于（指不大于或不小于）該鄰域中任何其他可行解處的函數值，則稱x*為問題的局部最優解（簡稱局部解）。如果f（x*）優于一切可行解處的目標函數值，則稱x*為問題的整體最優解（簡稱整體解）。

2 關于Excel規劃求解

“規劃求解”是一組命令的組成部分，這些命令有時也稱作假設分析 （假設分析：該過程通過更改單元格中的值來查看這些更改對工作表中公式結果的影響。例如，更改分期支付表中的利率可以調整支付金額。）工具。借助“規劃求解”，可求得工作表上某個單元格（被稱為目標單元格）中公式 （公式：單元格中的一系列值、單元格引用、名稱或運算符的組合，可生成新的值。公式總是以等號 （＝） 開始。）的最優值。“規劃求解”將對直接或間接與目標單元格中公式相關聯的一組單元格中的數值進行調整，最終在目標單元格公式中求得期望的結果。“規劃求解”通過調整所指定的可更改的單元格（可變單元格）中的值，從目標單元格公式中求得所需的結果。在創建模型過程中，可以對“規劃求解”模型中的可變單元格數值應用約束條件 （約束條件：“規劃求解”中設置的限制條件。可以將約束條件應用于可變單元格、目標單元格或其他與目標單元格直接或間接相關的單元格。），而且約束條件可以引用其他影響目標單元格公式的單元格。

使用“規劃求解”可通過更改其他單元格來確定某個單元格的最大值或最小值。使用規劃求解的操作方法為：

在“工具”菜單上，單擊“規劃求解”。

如果“規劃求解”命令沒有出現在“工具”菜單中，則需要安裝“規劃求解”加載宏 （加載項：為 Microsoft Office 提供自定義命令或自定義功能的補充程序。）程序。操作方法：

在“工具”菜單上，單擊“加載宏”。

如果在“當前加載宏”列表框中沒有所需加載宏 （加載項：為 Microsoft Office 提供自定義命令或自定義功能的補充程序。），請單擊“瀏覽”按鈕，再找到該加載宏。

在“當前加載宏”框中，選中待裝載的加載宏旁邊的復選框，再單擊“確定”。

3 案例資料

某公司生產和銷售甲乙兩種產品，兩種產品各生產一個單位需要工時為4和8，用電量5 kW和6 kW，需要原材料10 kg和5 kg。公司可提供的工時為320，可提供的用電量為260 kW，可提供的原材料為430 kg。兩種產品的單價與銷量之間存在負的線性關系，分別為p1＝3 100 － 55q1， p2 ＝ 3 350－ 85q2 。當原料用量≥320 kg時，供應商提供的原料價格從180元降為160元。假設兩種產品各生產1個單位，總固定成本10 000元，試在Excel中建立產品組合非線性規劃模型，并且按如下要求操作：計算需要的工時、用電量、原材料和利潤；用規劃求解工具求解兩種產品的最優生產量和總利潤最大值。并用控件表示出兩種產品產量不同組合情況下的利潤變化情況。

4 模型建立

（1） 計算各項指標

在SHEET 1工作表中將已知各項指標填入相關單元格中，并進行相關計算。如圖1所示。

B15 ＝ C10 ＋ D10 － C13 － C12 － D12。

（2） 進行規劃求解

單擊“工具”菜單上的“規劃求解”，在彈出的 “規劃求解參數” 對話框中作如圖2的設置。

在“設置目標單元格”框中單擊，然后選擇利潤單元格（單元格 C14），在“可變單元格”框中單擊，指向區域 C6：D6，該區域為兩種產品的產量。

添加約束：單擊“添加”按鈕，在“添加約束”對話框中，在標記為“單元格引用位置”的框中單擊，選擇區域C6：D6，從對話框中部的列表中選擇“＞＝”，在標記為“約束值”的框中輸入0；選擇區域E3：E5，從對話框中的列表中選擇“＜＝”，在標記為“約束值”的框中單擊，選擇單元格區域F3：F5。在“添加約束”對話框中單擊“添加”，以輸入需求約束即可。

在“規劃求解選項”對話框中輸入所有可變單元格都為非負值的約束，通過單擊“規劃求解參數”對話框中的“選項”按鈕可打開該對話框。

選擇“采用線性模型”和“假定非負”選項，然后單擊“確定”。

注意：選擇“假定非負”選項可確保規劃求解只考慮每個可變單元格都采用非負值的可變單元格組合。

選擇“采用線性模型”的原因是產品組合問題是一種稱為線性模型的特殊規劃求解問題。

單擊“規劃求解選項”對話框中的“確定”后，返回到主“規劃求解”對話框，單擊“求解”按鈕即可，這樣，規劃求解會迅速找出最佳解決方案，如圖3所示。需要選擇“保存規劃求解解決方案”以將最佳解決方案值保留在電子表格中。

5 添加控件

根據圖表向導，做一直方圖。打開“窗體”控件，添加兩個滾動條，一個與甲產品鏈接，一個與乙產品鏈接，其控件參數的設置最終結果如圖4所示。