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拋物線及其標準方程范文第1篇

關鍵詞：拋物線；翻轉課堂；教學設計

一、研究背景及意義

圓錐曲線是高中課程的重要內容，拋物線是圓錐曲線之一，與之前學習的橢圓與雙曲線相比相對比較復雜。此外，拋物線在初中階段學習一元二次函數的時候接觸過，學習者很可能將拋物線錯誤地定義為“二次函數的圖像”。因此，如何更好地講解《拋物線及其標準方程》顯得尤為重要。

總結前人[1][2][3]所做的研究可以發現對于拋物線的教學設計研究者大都是在傳統課堂的基礎上進行的。《拋物線及其標準方程》這一節內容難度較大，整節內容需要學生充分理解和掌握的知識點比較多。因此，僅利用課堂上45分鐘時間，學生很難真正掌握這部分內容。

翻轉課堂是教學流程變革所帶來的，教學環節包括課前、課中、課后三個主要教學環節以及評價、診斷兩個輔助教學環節[4]。利用“翻轉課堂”進行《拋物線及其標準方程》教學。

通過課前，課中，課后這三階段的教學，學生可以分步驟掌握這部分內容；另外，可以反復觀看視頻加深對內容的理解程度。這樣可以達到分解知識內化的難度，增加知識內化的次數，從而有利于促進學習者更好的獲得知識。因此，在翻轉課堂的教學模式下研究拋物線及其標準方程是具有一定意義的。

二、教學案例

（一）教材分析

《拋物線及其標準方程》是選修2-1的第二章《圓錐曲線與方程》。教材內容的順序是：曲線與方程-橢圓―雙曲線―拋物線。可以減少了學生的認知障礙。

（二）學情分析

學生對拋物線的幾何圖形已經有了直觀的認識。并且對圓錐曲線的研究過程和研究方法有了一定的了解和認識。

（三）教學目標

（1）動手實踐，體驗拋物線的形成過程從中抽象出拋物線的幾何特征；（2）掌握拋物線的定義和標準方程；（3）進一步感受類比，數形結合的重要思想方法；（4）感受拋物線的廣泛應用與文化價值，體會數學美。

（四）教學重難點

教學重點：1.掌握拋物線的定義與相關概念；2.掌握拋物線的標準方程。

教學難點：1.從拋物線的畫法中抽象概括出拋物線的定義；2.建立合適的坐標軸求解拋物線的解析式。

（五）教學過程

1.課前教學過程的設計（問題引導，觀看視頻）

（1）問題引人，溫故知新。

教師活動1：思考以下幾個問題：？做出函數 的圖象。？求到點F（0，2）與直線l： 距離相等的點的軌跡方程，并作出其圖象。

設計意圖：激發學生的學習興趣。

教師活動2：根據學生的回答，對以上問題進行總結，并且提出新問題：我們可不可以把拋物線定義為二次函數的圖像呢？為什么？

設計意圖：糾正學生頭腦中“拋物線就是二次函數的圖像”這一錯誤觀念。

（2）動手操作，探究新知。

教師活動3：提問：那么拋物線到底是如何形成的呢？播放微視頻（首先呈現生活中的拋物線，接著演示拋物線的形成過程，并給出操作步驟）。

設計意圖：調動學生的學習興趣，提高他們的動手實踐能力。

教師活動4：提出問題：1.在作圖過程中，直尺，三角板，筆尖，點F中，哪些沒有動？哪些動了？2.在作圖過程中，繩長，|AP|，|PF|，|CP|中，哪些量沒有變？哪些量變了？

設計意圖：引導學生發現拋物線的幾何特征。

教師活動6：提出問題：試著給拋物線下個定義。

2.課中教學設計：（繼續探究，小組討論，觀看視頻）

（1）類比遷移，自主探究。

教師活動1：給出拋物線的定義。提問：類比之前學過的橢圓以及雙曲線，試著選擇合適的坐標系并求解拋物線的方程？

學生活動1：學生自己選擇建系方式，并求出對應的拋物線方程，然后小組討論，選出最佳建系方式，并求出其相應的拋物線方程。

教師活動2：播放微視頻（總結學生可能會想到的三種建系策略，并用以前學習的二元一次函數圖像的平移來解釋選擇坐標系的原因。）

設計意圖：培養學生用類比法解決問題的能力；體現學生的主體地位。

教師活動3：思考：橢圓與雙曲線各有兩種標準方程，拋物線有幾種呢？并思考原因。

學生活動3：小組討論。并匯報各小組探究的結果。

教師活動4：思考拋物線的標準方程與其焦點坐標與準線方程的關系。

設計意圖：加快解題速度。

（2）課堂作業，學以致用。

教師活動5：例1：？拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標與準線方程；

？一直拋物線的焦點是F（0，-2），求它的標準方程。

（3）學生總結，教師提煉。

教師活動6：要求學生回憶本節課的教學，鼓勵學生進行總結。對學生的小結進行補充。

3.課后教學設計（問題探究，拓展知識）

拓展作業：

初中我們已經知道對于一元二次方程y=ax2+bx+c的圖像是拋物線，a影響其開口方向和開口大小，類比a對一元二次方程y=ax2+bx+c的圖像的影響試著研究對于拋物線y2=2px，p對拋物線的影響。

設計意圖：將課堂的數學探究活動延伸到課外，使學生進一步體會類比思想方法對于數學研究中的意義。

三、小結

《拋物線及其標準方程》整節內容需要學生充分理解和掌握的知識點比較多。傳統課堂的45分鐘顯然不能使學生完全理解掌握全部知識點。因此，本節課筆者采用翻轉課堂。課前，學生通過反復觀看微視頻進行深入的思考，并在老師的引導下，體會拋物線的基本特征，最后給拋物線下定義；課中，討論與交流建系策略以及標準方程，通過觀點的相互碰撞深化學生的認知。課后，布置相應的探究題，拓寬學生的思維。這樣學生可以分階段分步驟掌握這部分內容；另外，可以反復觀看視頻加深對內容的理解程度。這樣可以達到分解知識內化的難度，增加知識內化的次數，從而有利于促進學習者更好的獲得知識。

參考文獻：

[1]劉為宏，趙瑜.《拋物線及其標準方程》教學新設計[J].中學數學研究，2013（5）：27-32

[2]武湛.《拋物線及其標準方程》教學實錄與反思[J].福建中學數學，2015（12）：26-18

拋物線及其標準方程范文第2篇

教學目標

知識與技能：復習拋物線的幾何圖形、定義、標準方程及簡單幾何性質；利用拋物線的定義和標準方程解決簡單的問題。

過程與方法：經歷拋物線定義的生成過程，理解拋物線定義的幾何特征，通過定義應用，體會其中蘊涵的轉化思想；在用兩點間距離公式和弦長公式（通性通法）求焦點弦長的過程中，體會“設而不求”思想的應用；能從拋物線定義出發，利用拋物線的幾何特征和“韋達定理”優化解題過程，進一步體會數形結合思想的應用。

情感、態度與價值觀：學生通過獨立解決問題，優化求解過程，樹立學好數學的信心。

教學重點、難點

重點：掌握拋物線的定義、標準方程及簡單幾何性質；能利用拋物線的幾何特征解決簡單問題；能利用“坐標法”解決直線與拋物線位置關系之焦點弦長求法。

難點：掌握直線與拋物線位置關系之焦點弦長的求法。

教學過程

1．引入課題

師（點明復習課題）：前邊我們復習了橢圓和雙曲線，今天我們來復習拋物線。

教師應用電子白板鏈接到“幾何畫板”課件，演示拋物線定義生成過程。

學生觀察課件，描述定義。

設計意圖：在高三復習課中，定義仍是核心，應用“幾何畫板”制作課件，演示拋物線定義生成過程，幫助學生回憶定義，挖掘定義的幾何特征。

2．復習舊知

（1）分析定義要點

師：你認為拋物線的定義有哪些要點？

隨著學生口答，教師應用電子白板的注釋功能，選擇智能筆畫出不同圖形，標注定義要點（圖1），引起學生注意。

設計意圖：引導學生分析定義要點，明確定義的幾何特征，進行有效記憶。

（2）回顧拋物線的標準方程及幾何性質

教師指導學生復習拋物線的標準方程及簡單幾何性質。學生完成表格之后，教師演示PPT課件，隨著學生口答呈現內容，完成表格（圖2）。

設計意圖：以填空形式復習拋物線的標準方程及簡單幾何性質。

教師操作局部遮擋器，引導學生分析拋物線的圖形、標準方程及簡單幾何性質之間的關系。

①分析圖形與標準方程的關系（圖3）。

②分析焦點坐標與圖形的關系（圖4）。

③分析焦點坐標與方程的關系（圖5）。

④分析準線方程與圖形的關系（圖6）。

教師提問：從表中可以看出，準線方程與誰的關系最密切？學生分析得出:準線方程與焦點坐標的關系最密切。

設計意圖：應用局部遮擋器，進行遮蓋與顯示，突出需要對比記憶的內容，幫助學生更加有效地分析與記憶。

3．知識檢測

教師操作電子白板的聚光燈，檢測學生記憶效果。隨著學生口答，移動聚光燈顯示答案（圖7）。

（1）由準線方程說出焦點坐標和標準方程；

（2）由標準方程說出焦點坐標和準線方程；

（3）由準線方程說出焦點坐標和標準方程；

（4）由標準方程說出焦點坐標和準線方程。

設計意圖：通過聚光燈，突出學生需要記憶的內容，引起學生注意，檢測記憶效果。

4．課堂練習

完成下表，示意圖一欄填入表格下方圖形對應序號（圖8）。

請4名學生在電子白板上書寫，從圖庫中調出圖形,畫在示意圖位置，其他學生在學案上完成。在電子白板上書寫的學生從圖庫中提取圖形，拖曳到空格中，填到示意圖位置，選擇藍色硬筆進行書寫。教師巡視，記錄學生的答案，對學生出現的錯誤，在電子白板上進行點評與糾正（圖9）。

設計意圖：通過填空，考查學生對拋物線標準方程及簡單幾何性質的掌握程度。

教師根據學生的答題情況進行點評與糾正，在電子白板上用紅筆打“√”或“×”，并進行講解。

學生在求解y2=ax（a≠0）的焦點坐標和準線方程時，出現錯誤。教師通過橡皮擦進行糾正，將正確答案呈現給學生（圖10），并操作電子白板進行翻頁，回顧拋物線的標準方程、焦點坐標與準線方程之間的關系，起到糾錯與強化作用（圖11）。

5．知識應用

例1．（教材P65）若拋物線y2=12x上的點M到焦點的距離是9，則點M的坐標是。

師生共同分析題目條件，挖掘題目信息，思考解法。教師隨著學生口答，用兩種顏色的筆在電子白板上寫出分析思路。

師生共同總結例1中用到的基礎知識和應用的數學思想方法。

設計意圖：進行解題探究，通過“解法一”體會方程思想的應用；通過“解法二”體會拋物線定義的應用及其蘊涵的轉化思想和數形結合思想；通過解題反思，總結題目考查的知識點及應用的數學思想方法，培養學生及時總結的習慣。

變式：（2009浙江文）已知拋物線C：x2=2py（p>0）上一點A(m,4)到其焦點F的距離為。求p與m的值。（答案：，）

利用電子白板計時器進行3分鐘限時訓練，展示學生做法。

設計意圖：采用限時練習的方式，加強解題速度訓練。設計由例1到變式，使學生體會到高考題源于課本，提醒學生注意對課本上基礎題的復習。

例2．（教材P66）斜率為1的直線l經過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點，求線段AB的長。（答案：8）

師：在復習橢圓和雙曲線時，我們曾經解決過類似問題，請類比嘗試解答。

學生分析題目條件，思考題目解法，嘗試解題，解法一、二:學生板演，解法三:學生在電子白板上解答。

解法一分析：用兩點間距離公式求解。

解法二分析：用“韋達定理”及弦長公式求解。

解法三分析：用拋物線定義求解（圖12）。

教師請每個板演做法的學生回答：（1）你是怎么做的？（2）你這么做的好處是什么？（3）用到哪些知識或思想方法？

設計意圖：給學生充足的時間進行解題探究，選擇有不同解法的學生板演，起到呈現解法的作用。由學生說解法，提高課堂參與度，同時給其他學生以啟發。對比不同解法，體會用拋物線定義的幾何特征和“韋達定理”優化解題過程。

6.課堂小結（略）

教學反思

本節課以交互式電子白板為平臺，結合實物投影、“幾何畫板”、PPT課件等信息技術工具，運用了引導、講授、練習相結合的教學方法。交互式電子白板支持教學中對各種媒體資源的靈活調用，如電子白板超鏈接到“幾何畫板”課件“拋物線的定義”，動態展示了拋物線的生成過程，又如切換到實物投影，呈現學生解題結果，由學生進行講解，提高了課堂參與度。電子白板和PPT的整合，使PPT制作的圖形動畫效果通過電子白板展示出來，還可以直接在PPT演示文稿上進行標注和書寫。電子白板的常用功能，如局部遮擋器和聚光燈的使用，可以根據需要有針對性地展示教學內容，使得原來靜態的資源具有互動性，從而增強了視覺效果，集中了學生注意力，幫助學生更加有效地記憶。資源庫的使用，使得資源提取與應用更加有效。總之，交互式電子白板讓我圓滿地實現了本課的教學目標。

拋物線及其標準方程范文第3篇

浙江省數學特級教師，嘉興市數學會副會長.

推薦名言

最有價值的知識是關于方法的知識．

――勒內?笛卡爾 （法國數學家，創立了解析幾何，引入了坐標系及線段的運算概念，被稱為“解析幾何之父”）

作為自主招生考試的必考內容之一，解析幾何重點考查三類問題：一是直線、圓、圓錐曲線中的基本概念、標準方程、幾何性質等基礎知識，二是直線與圓錐曲線的位置關系問題，三是二次曲線與二次曲線的位置關系問題.這三類問題常考常新．

解析幾何體現了典型的數形結合思想.在解析幾何題中，計算占了很大的比重，對運算能力要求很高.曲線的定義和性質是解題的基礎，同學們應根據題意，充分利用曲線的性質簡化計算. 此外，解析幾何題還考查函數與方程思想、化歸轉化思想、特殊與一般的思想等數學思想方法．

一、方程與幾何性質問題

例1 （2011年“北約”自主招生考試第2題） 求過拋物線y=2x2-2x-1，y=-5x2+2x+3兩交點的直線方程．

解析： 將方程y=2x2-2x-1的兩邊同乘以，得y=5x2-5x-（①），①式與方程y=

-5x2+2x+3相加可得y=-3x+，整理得6x+7y-1=0． 若（a，b）是兩拋物線的交點，則（a，b）必滿足方程6x+7y-1=0， 6x+7y-1=0即為所求直線方程．

點評： 一般來說，同學們會直接聯立方程，求出兩拋物線的交點，再求出直線方程．這種方法比較尋常，但運算比較復雜. 上述解法可以大大減少運算量，方便地求出目標方程. 但運用這種方法的前提是判斷拋物線確有兩個交點．

例2 （2011年“華約”自主招生考試第14題） 已知雙曲線-=1（a>0，b>0），F1，F2是左、右焦點，P是雙曲線右支上一點，且∠F1PF2＝，SFPF＝3a2. （1）求離心率；（2）若點 A為雙曲線左頂點，Q為右支上任一點，問是否存在常數λ，使∠QAF2＝λ?∠QF2A恒成立？

解析： （1） 我們可以在F1PF2中考慮問題，尋找PF1?PF2與SFPF的關系． F1F22=PF12+PF22-2PF1?PF2cos=（PF1-PF2）2+2PF1?PF2-2PF1?PF2cos，即（2c）2=（2a）2+PF1?PF2，PF1?PF2＝4c2-4a2=4b2， SFPF=PF1?PF2sin=b2=3a2，即b2=3a2， e=2．

（2） 由（1）得，雙曲線方程可表示為-=1.此時F2（2a，0），A（-a，0）． 如圖1所示，設Q（x1，y1）且存在符合題意的常數λ（λ＞0）．

當QF2x軸時，將點Q的橫坐標x1=2a代入雙曲線方程，解得QF2=y1＝3a. 又AF2=3a， QF2A是等腰直角三角形，∠QAF2＝，∠QF2A＝，此時λ＝．

當點Q為雙曲線右頂點時，∠QAF2＝∠QF2A＝0，∠QAF2＝∠QF2A也成立．

下面證明當QF2不垂直于x軸且Q不為雙曲線右頂點時，∠QAF2＝∠QF2A也成立．

設點Q在第四象限. 點Q在雙曲線的右支上，直線QA的斜率kQA存在且kQA=. QF2不垂直于x軸， 直線QF2的斜率kQF存在且kQF＝.

tan2∠QAF2＝＝＝（①）． -＝1， ＝3（-a2）=3（x1+a）（x1-a），代入①式可得 tan2∠QAF2=.又tan∠QF2A=kQF=， tan2∠QAF2＝tan∠QF2A． 當點Q在第一象限時，同理可得tan2∠QAF2＝tan∠QF2A.

當Q無限趨近于右頂點時，∠QAF2與∠QF2A無限趨近于0．當QF2垂直于x軸時，已證得∠QAF2＝，∠QF2A＝． 由于雙曲線的漸近線方程為y=±x，即兩條漸近線的傾斜角分別為，，要使AQ始終與雙曲線的右支交于點Q，必有∠QAF2始終小于，∠QF2A始終小于，由此可得∠QAF2∈0，∪，，∠QF2A∈0，∪，， ∠QF2A∈0，∪，，∠QAF2＝∠QF2A成立．

綜上可得，存在常數λ＝使∠QAF2＝∠QF2A恒成立．

點評： 例2的解題過程中運用了特殊與一般的數學思想．

例3 （2009年南京大學自主招生考試第13題） 在x軸上方作與x軸相切的圓，切點橫坐標為. 過B（-3，0），C（3，0）分別作圓的切線，兩切線交于點P. Q是C在銳角∠BPC角平分線上的射影. （1） 求點P的軌跡方程及其橫坐標的取值范圍；（2） 求點Q的軌跡方程．

解析： （1） 如圖2所示，設x軸與圓的切點為D， PB,PC切圓于點E，F. PE＝PF，BE＝BD，CD＝CF，PB-PC＝BD-CD＝（+3）-（3-）＝2． B，C是定點，根據雙曲線的定義可知，點P的軌跡是以B，C為焦點的雙曲線-=1的右上支，其中a=，c==3， b2=6，點P的軌跡方程為-＝1（x>0，y>0）. 該雙曲線右頂點的坐標為（，0），恰好為圓與x軸的切點，點P的橫坐標的取值范圍是（，+∞）．

（2） 延長CQ交PB于M． PQ是∠CPM的角平分線，又由題意知CQPQ，即CMPQ， CPM是以CM為底邊的等腰三角形，PM＝PC， PB-PC=PB-PM=BM. PB-PC=2， BM=2． 聯結OQ， O為BC中點，Q為CM中點， OQ為MBC的中位線，OQ=BM=. O（0，0）， 點Q的軌跡方程為x2+y2=3，其中x∈（0，），y∈（0，）．

點評：上述解法結合圖形特征，充分利用幾何性質解決問題，真正體現了數形結合思想．

二、直線與圓錐曲線的位置關系問題

直線與圓錐曲線的位置關系問題，歸根結底是聯立直線方程與圓錐曲線方程所得的方程組的問題．在解決這類問題時，要注意運用直線與圓錐曲線位置關系的相關公式與方法，如“弦長公式”“設而不求”“點差法”等.

例4 （2006年上海交通大學自主招生考試第12題） 橢圓+y2=1（a>0），一頂點A（0，1），問是否存在以A為直角頂點且內接于橢圓的等腰直角三角形？若存在，求出共有幾個；若不存在，請說明理由．

解析： 如圖3所示，設直角三角形的另外兩個頂點分別為B，C. 由題意可知AB的斜率存在. 設AB的方程為y=kx+1（k>0），代入+y2=1，得+k2x2+2kx=0，解得xB=-． 由弦長公式得AB＝?． 由ABAC可得AC的斜率為-，同理可得AC=?． AB＝AC，k>0， 化簡可得k3-a2k2+a2k-1=0，即（k-1）［k2+（1-a2）?k+1］=0 （①）， 解得k=1或k2+（1-a2）k+1=0. 下面我們討論方程k2+（1-a2）k+1=0 （a>0）的解的個數．

當Δ＞0即a>時，方程k2+（1-a2）k+1=0顯然有兩個不等于1且大于0的實數根，所以①式共有3個不同的實數解，即滿足條件的三角形有3個；

當Δ=0即a=時，方程k2+（1-a2）k+1=0的解為k=1，所以①式只有1個實數解，即滿足條件的三角形有1個；

當Δ

綜上可得，當a>時，滿足條件的等腰直角三角形有3個；當0＜a≤時，滿足條件的等腰直角三角形有1個．

點評：在例4中，等腰直角三角形的個數就是直線AB的斜率k的解的個數，因此討論（k+1）［k2+（1-a2）k+1］=0的解的個數就可得到答案．另外，由于AB，AC 的斜率互為負倒數，所以只要將AB＝?中的k換成-就能得到AC．在解答解析幾何問題時，要注意運用類似的運算技巧．

例5 （2010年“華約”自主招生考試第12題） A，B，C，D在拋物線x2=4y上，A，D關于拋物線的對稱軸對稱．過點D作拋物線的切線， BC平行于切線，點D到AB，AC的距離分別為d1，d2，d1+d2＝AD． （1） 試問：ABC是銳角、鈍角還是直角三角形？（2） 若ABC的面積為240，求點A的坐標和BC的方程．

解析： （1）如圖4所示，由題意可知AD平行于x軸，設Dx0，，則A-x0，． 設Cx1，，Bx2，，則kAC=（x1-x0）． 由x2=4y可得過點D的切線的斜率為x0， kBC＝（x1+x2）＝x0， x2＝2x0-x1，B2x0-x1，（2x0-x1）2，由此可得kAB＝（x0-x1）. kAC＝-kAB，∠DAC＝∠DAB． AD?奐∠DAC且AD?奐∠DAB， ∠DAC與∠DAB關于AD對稱． 又d1，d2分別為點D到AB，AC的距離， d1＝d2，由d1+d2＝AD可知∠DAC＝∠DAB＝45°， ∠BAC=90°，ABC是直角三角形．

（2） 設點C在AD上方． ∠DAB＝45°， kAB＝-1. A-x0，， AB的方程為y-＝-（x+x0）． 代入x2=4y，解得Bx0-4，（x0-4）2.同理可得Cx0+4，（x0+4）2. AB＝2x0-2，AC＝2x0+2． 由SABC＝?AB?AC＝240解得x0=±8， A（8，16） ，B（-12，36），C（-4，4）或A（-8，16） ，B（4，4），C（12，36）． BC的方程為4x+y+12=0或4x-y-12=0．

點評： 例5的求解過程充分使用了“設而不求”的方法，避免了復雜計算．

例6 （2009年清華大學自主招生考試第3題） 有限條拋物線及其內部能否覆蓋整個坐標平面？證明你的結論．

解析： 如果有限條拋物線及其內部能夠覆蓋整個坐標平面，則這有限條拋物線及其內部能夠覆蓋坐標平面上任意一條直線．從這個角度出發，我們可以考慮坐標平面上直線與拋物線的位置關系．如果直線與拋物線的對稱軸不平行，則直線與拋物線的位置關系有三種可能：①直線與拋物線總有兩個交點；②直線與拋物線只有一個切點；③直線與拋物線無公共點．

對于①，拋物線及其內部僅覆蓋該直線上的一段線段；對于②，拋物線及其內部僅覆蓋該直線上的一個點；對于③，拋物線及其內部不能覆蓋該直線上的任意一點．因此，用有限條拋物線及其內部不能覆蓋與這有限條拋物線的對稱軸均不平行的直線，而平面中存在著這樣的直線．

假設平面內有n條拋物線，則拋物線的對稱軸也有n條，那么平面中至少存在一條與這n條直線都相交的直線．也就是說，用有限條拋物線及其內部不能覆蓋平面中的一條直線，當然更不能覆蓋整個坐標平面．

三、二次曲線與二次曲線的位置關系問題

二次曲線與二次曲線的位置關系問題，歸根結底是聯立兩個曲線方程得到的方程組的問題. 在方程組的消元過程中，要注意字母取值范圍的等價性，否則容易造成疏漏．

例7 （2008年浙江大學自主招生考試第2題） 橢圓x2+4（y-a）2=4與拋物線x2=2y有公共點，求a的取值范圍．

解析： 聯立方程得2y2+（1-4a）y+2a2-2=0（①）. 橢圓與拋物線有公共點，又y=≥0，方程①在［0，+∞）上有解．當Δ>0時，設方程①有兩個不同的解y1，y2，則有兩種可能：若方程在［0，+∞）上有一個解，在（-∞，0）上有另一個解（該解不合題意，舍去），則Δ＞0，y1y2=a2-1≤0；解得a∈［-1，1］. 若方程的兩個解都在［0，+∞）上，則Δ＞0，y1+y2>0，y1y2≥0；此時a∈1，. 若方程僅在［0，+∞）上有一個解，則Δ＝0，解得a=，此時y1=y2=∈［0，+∞）. 綜上可得，a的取值范圍為-1，．

點評： 例7也可以通過設橢圓的參數方程為x=2cosθ，y=a+sinθ（θ為參數且θ∈［0，2π）），然后代入拋物線方程，轉化為三角函數問題來求出a的取值范圍．

拋物線及其標準方程范文第4篇

一、考試要求

（1）掌握橢圓的定義，標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的參數方程。

（2）掌握雙曲線的定義，標準方程和雙曲線的簡單幾何性質。

（3）掌握拋物線的定義，標準了方程和拋物線的簡單幾何性質。

（4）了解圓錐曲線的初步應用。

二、考情縱覽

圓錐曲線是解析幾何的核心內容，是中學數學各主干知識的交匯點，中學各種思想方法的綜合點，初等數學與高等數學的銜接點，理所當然成為歷屆高考命題的熱點。

圓錐曲線的定義，方程和性質，在高考試卷中分值一般在10分左右，主要以選擇題和填空題形式考查圓錐曲線的概念，標準方程，幾何性質等基礎知識及其應用，以簡單或中檔題為主，個別題目會是中等偏上的難度。圓錐曲線的綜合問題主要考查根據條件，求平面曲線的方程；通過方程，研究平面曲線的性質，縱觀近幾年高考試題，圓錐曲線的綜合問題一般都是一道解答題，通常難度較大，多為把關題或壓軸題，分值為12左右，重點考查圓錐曲線中的幾何量的確定或幾何量取值范圍的確定，主要的題型有：動點的軌跡方程問題，最值或取值范圍問題，定值或定點問題，探索性問題，直線與圓錐曲線的位置關系問題，與其他數學知識的交匯問題。

三、復習建議

1、熟練掌握圓錐曲線的有關概念，方程和幾何性質等基礎知識，它們是準確解題的依據。

2、掌握把幾何條件轉化為代數形式的核心解題思路和坐標法這個核心解題方法。

3、掌握好解答典型問題的通性和通法以及一些常用的求解技巧，如“設而不求，”或“代點法”“整體代入”或“點差法”等，通過強化訓練以體會其中的思維模式與方法。

4、本章綜合性強，能力要求高，還涉及到函數、方程、不等式、平面幾何等許多知識，可以有效地考查函數與方程的思想，數形結合的思想，分類討論的思想和轉化化歸的思想。重視對數學思想方法的提煉，以便優化解題思維，簡化解題過程。

四、知識網絡

五、重難點

重點：掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義，標準方程和它們簡單幾何勝質。特別橢圓及雙曲線的離心率的求解。

難點：直線與圓錐曲線的位置關系，軌跡問題、最值、范圍問題，定值問題及探索性問題。

六、資料的使用

圓錐曲線問題的求解特點是以代數方法求解幾何問題，所以求解思路易找，但是由于運算量大，不僅影響解題速度，也極容易出錯，因此又易形成“答對困難”的現象。圓錐曲線中蘊含著許多數學思想，若能根據題設特點，靈活地運用相應的數學思想，往往能簡化運算，從而使問題簡捷，準確地獲解。因此需要大量的練習，才能獲得基本功，才會熟能生巧。

第1講：橢圓——它的幾何性質主要是圍繞橢圓中的“六點”（兩個焦點，四個頂點）“四線”（兩條對稱軸，兩條準線）“兩形”（中心，焦點以及短軸端點構成的三角形、橢圓上一點和兩焦點構成的三角形），研究它們之間的相互關系。資料上的東西全部使用。

第2講：雙曲線——可與橢圓類比來理解，掌握雙曲線的定義，標準方程和幾何性質。但應特別注意兩者的不同點，如a ， b， c關系，漸近線等，漸近線是刻畫雙曲線范圍的重要概念，高考特別注意與互相關問題的考查，資料全使用。

第3講：拋物線——重視定義在解題中的應用，靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉化。拋物線的標準方程有四種，在求解過程中，首先要根據題目描述的幾何性質判斷方程形式，然后利用已知求解。將方程y=ax2 與方程y2=2px區別開，誰是標準方程很重要。對于拋物線y2=2px(p>0)上的點的坐標設為（ ，y） 常有利于簡化運算。

第4講直線與圓錐曲線的位置關系。

(1)直線與圓錐曲線的位置關系中的中點弦問題：（1）直線與圓錐曲線的關系是解析幾何中一類重要問題，解題時注意應用根與系數的關系及“設而不求”的技巧。

（2）運用“點差法”解決弦的中點問題：涉及弦的中點問題，可以利用判別式和根與系數的關系加以解決，也可以利用“點差法”解決此類問題，若知道中點，則利用“點差法”可得出過中點弦的直線的斜率。

2、對于直線與曲線的交點，常采取設而不求或“代點法”等方法，這是簡化解題過程的常技巧，要認真領會。但采用這些方法，由于避免了方程的過程，方程的解是否存在，必須由>0這一條件進行保證，否則會發生錯誤。

3、解決圓錐曲線的最值與范圍問題常見的解法有兩種：幾何法和代數法。若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮得用圖形性質來解決，這就是幾何法。若題目的條件和結論體現一種明確的函數關系，則可首先建立起目標函數，再求這個函數的最值，這就是代數法。

在利用代數法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮：

（1）利用判別式來構造不等關系，從而確定參數的取值范圍；

（2）利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數之間建立等量關系；

（3）利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍；

拋物線及其標準方程范文第5篇

【關鍵詞】數學；定義；定理；公式 問題；條件；教學

2013年4月，在高中數學選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》（人教版）的教學中，當我講橢圓、雙曲線、拋物線的定義時，我都會遇到同樣的一個問題，而且是學生每每質詢的一個問題，那就是：“老師，定義中括號里的條件該怎么解釋？”

數學定義、定理、公式或問題中都或多或少涉及到條件的限制，做好數學知識的“條件”教學，對于學生透徹地理解數學理論、全面地解決數學問題都非常有幫助，現在已經完成了高中數學選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》的教學，我覺得有必要把我在《圓錐曲線》定義教學中，關于定義中條件的教學片段梳理一下。

《圓錐曲線》“條件”教學片段一：橢圓定義中的條件限制

講到2.2.1節《橢圓及其標準方程》時，橢圓的定義（課本第38頁）是：平面內與兩個定點的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓。

學生問：老師，為什么定義中括號里要加一個條件“大于”）呢？

教師答：因為如果去掉這個條件，則定義所表示的圖形將不一定是橢圓。

學生問：為什么？

教師答：這個問題可以從三個角度理解：

①如果條件是“大于”，則定義敘述的內容表示橢圓，這毫無疑問，正如我們用小繩子按住兩頭所演示的一樣。

②如果條件是“等于”，則定義敘述的內容表示線段。（我在黑板上劃線段，并取其上一點P，并演示，學生點頭表示理解）。

③如果條件是“小于”，則定義敘述的內容不表示任何圖形，即動點軌跡不存在。（我在黑板上演示，顯然不能產生任何圖形）。

進一步，我用三個小問題進行鞏固：

問題：試判斷以下情況動點的軌跡：

（1）到兩定點的距離之和大于14的點的軌跡是什么？

（2）到兩定點的距離之和等于14的點的軌跡是什么？

（3）到兩定點的距離之和小于14的點的軌跡是什么？

學生很快就可以得出結論。

《圓錐曲線》“條件”教學片段二：雙曲線定義中的條件限制

很有戲劇性，講到2.3.1節《雙曲線及其標準方程》時，其境遇竟然和講橢圓的定義時，驚人的相似。

雙曲線的定義（課本第52頁）是：平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數的點的軌跡叫做雙曲線。

學生問：老師，為什么定義中括號里要加一個條件“小于”呢？

教師答：因為如果去掉這個條件，則定義所表示的圖形將不一定是雙曲線。

學生問：為什么？

教師答：這個問題可以從三個角度理解：

①如果條件是“小于”，則定義敘述的內容表示雙曲線，這毫無疑問，正如我們用拉鏈按住兩頭所演示的一樣。

②如果條件是“等于”，則定義敘述的內容表示以為端點的兩條射線（包含端點）。（我在黑板上劃出直線，并在點兩側各取兩點P、Q，并演示，指出動點的軌跡是射線，學生點頭表示贊同）。

③如果條件是“大于”，則定義敘述的內容不表示任何圖形，即動點軌跡不存在。（我在黑板上演示，顯然不能產生任何圖形）。

同樣，我給出三個小問題加以辨別：

問題：試判斷以下情況動點的軌跡：

（1）動點P到兩定點的距離之差的絕對值小于14的點的軌跡是什么？

（2）動點P到兩定點的距離之差的絕對值等于14的點的軌跡是什么？

（3）動點P到兩定點的距離之差的絕對值大于14的點的軌跡是什么？

學生也可以很快得出結論。

然后，我又給出兩個問題：

條件改為，動點的軌跡又會怎樣呢？

若條件改為，動點的軌跡又會怎樣呢？

學生結合雙曲線的圖形，很容易判斷是：雙曲線的左支和右支。

《圓錐曲線》“條件”教學片段三：拋物線定義中的條件限制

講到2.4.1節《拋物線及其標準方程》一課時，同樣遇到了“條件”問題。

拋物線的定義（課本第65頁）是：平面內與一個定點F和一條定直線（不經過點F）距離相等的點的軌跡叫拋物線。

在用直尺、三角板、細繩等演示了拋物線形成過程之后，學生又不禁要對“條件”發問了。

學生問：老師，為什么定義中括號里要加一個條件“（不經過點F）”呢？

教師答：如果去掉“（不經過點F）”這個條件，則定義所表示的圖形將不一定是拋物線。

學生問：為什么？

教師答：這個問題可以從兩個角度理解：

①如果條件是“（不經過點F）”，則定義敘述的內容表示拋物線，這正如我們直尺、三角板、細繩等所演示的一樣。

②如果沒有“（不經過點F）”條件限制，則當經過點F時，點的軌跡是過定點F，且垂直于直線的一條直線，定義敘述的內容表示的圖形是一條直線而非拋物線。（然后我在黑板上畫圖演示，學生恍然大悟，看來學習知識必須要細致！）

然后，我又出了兩道題加以鞏固。

（1）平面內到定點F的距離等于到定直線的距離的點的軌跡是（ ）

A.拋物線 B.直線

C.拋物線或直線 D.不存在

（2）求過點F（1，0）且與直線：x+y-1=0的距離相等的點的軌跡。