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圓周運動習題范文第1篇

關鍵詞：豎直平面；圓周運動；臨界條件；平衡位置

中圖分類號：G632.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）04-179-01

物理試題中常常遇到不明確提出臨界值而必須通過運用知識去分析臨界條件，挖掘臨界值，這對多數學生比較困難的。學生處理這類問題往往具有“似曾相識又無從下手”的通病，本文以豎直平面圓周運動為背景材料進行歸類分析如下：

例1：如圖所示，長L的不可伸長的細繩連接質量為M的小球后繞O點在豎直平面內做圓周運動。阻力不計，要保證小球做完整圓周運動，則小球在最低點速度至少多大？（假設繩能承受足夠大的拉力）

解析：要保證小球做圓周運動，則小球一直不脫軌。小球脫軌的原因是受重力作用。由于繩子拉力作用，小球在水平線BC以下各點均不脫軌，而在最高點小球速度最小，所需向心力最小，而重力沿半徑分量最大，所以最高點是小球最易脫軌的位置。因此保證作圓周運動考慮的臨界位置是圓周運動中最難達到的位置，即為運動速度最小位置。

小球在最高點受力分析如圖所示，

由牛頓第二定律得 當 v= (式中v指最高點最小速度)從最低點至最高點小球機械能守恒，則有 mv02=mg×2l+ mv2

v0= 因此v0至少為

例2：例題1中，將細繩改成輕桿，則小球做完整的圓周運動時，小球在最低點速度至少多少？

解析：小球做圓周運動時上升過程中由于重力做負功，動能減小，最高點速度最小因此保證做完整的圓周運動的臨界位置為最高點。

由于輕桿在最高點既能產生拉力，又能產生拉力，當輕桿對小球豎直向上的支持力其大小等于小球的重力時，合外力最小F合＝0，因此最高點最小速度v=0。從最低點到最高點小球機械能守恒，則有 mv02=mg×2l+0 v0=2 ，因此v0至少為2

例3：例題1中小球改成沿半徑為R光滑的圓形內軌道運動，則小球做完整的圓周運動時在最低點速度至少多大？

解析：小球做完整圓周運動速度最小位置是最高點，因此保證做完整的圓周運動的臨界位置為最高點。

小球在最高點受力分析如圖，由牛頓第二定律得N＋mg=m ，因N≥0小球通過最高點v至少等

同理由機械能守恒可得，小球在最低點速度v0至少為

由例1和例3可知：小球在豎直平面內做圓周運動，在最高點沒有物體支撐時，速度最小為v= （R指圓周運動半徑）

例4：例題1中，小球沿著半徑為R光滑環形管道運動，保證小球做完整圓周運動，則小球在最低點速度至少多大？

解析：小球做完整圓周運動速度最小位置是最高點，因此保證作完整的圓周運動的臨界位置為最高點。在最高點小球受重力和內外軌彈力作用，當內軌對小球向上支持力其大小等于小球重力時，F合 ＝0，因此小球在最高點的最小速度v＝0。從最低點到最高點小球機械能守恒，則有 mv02=mg×2R+0， ，因此 至少為

由例2和例4可知，小球在豎直平面內做圓周運動時，在最高點有物體支撐時，速度最小為v＝0。

由以上例子可發現豎直平面內圓周運動“臨界位置”與物

體靜止時“平衡位置”關于圓心對稱。

例5：小球沿著半徑為R光滑環形管道運動，如果在空間加一向右的勻強電場，小球帶電量為q，且Eq＝mg,則小球能做完整的圓周運動時，它在最低點速度至少多大？

解析：小球在電場中靜止時平衡位置為C點，該點受力分析如圖：

由物體的平衡條件可得：

由以上結論可得：C點關于圓心O對稱點D點即為小球作圓周運動臨界位置。

對D點由牛頓第二定律可得： ， （式中v指D點的最小速度）從最低點A至D點由動能定理

因此v0至少為

圓周運動習題范文第2篇

一、考慮重力作用，利用牛頓第二定律和功能關系求解帶電粒子在勻強電場中的圓周運動

帶電粒子在勻強電場和重力場共同作用的場中做圓周運動的問題，是一類重要而典型的題型。在考慮重力作用的情況下，對于帶電粒子在勻強電場中的圓周運動的處理通常是利用牛頓第二定律與功能關系。與不考慮重力的情況相比，主要是注意重力對解題的影響。

例1

如圖1所示，在E=1×l03V/m的水平向左的勻強電場中，有一光滑半圓形絕緣軌道豎直放置，軌道與一水平絕緣軌道MN連接，半圓軌道所在豎直平面與電場線平行，其半徑R=40cm，一帶正電荷量q=l×10-4C的小滑塊的質量m=40g，與水平軌道間的動摩擦因數μ=0.2，取g=10m/s2，求：

（1）要使小滑塊能運動到半圓形軌道的最高點L，小滑塊應在水平軌道上離N點多遠處釋放？

（2）這樣釋放的小滑塊通過P點時對軌道的壓力是多大？（P為半圓形軌道的中點）

解析：（1）小滑塊剛能通過軌道最高點的條件是 ，解得 。小滑塊由釋放點到最高點的過程中，由動能定理得 ，解得

（2）小滑塊在從P點到最高點的過程中，由動能定理得 ，小滑塊運動到P點時，由牛頓第二定律得 ，解得N=l.5N。

點評：軌道模型的特點是軌道對物體的作用力參與提供物體做圓周運動的向心力，但不參與做功。

二、考慮重力作用，帶電粒子在勻強電場中做圓周運動的等效處理

（一）帶電粒子在豎直面內的圓周運動

帶電粒子在勻強電場和重力場共同作用的場中做圓周運動時，分析在豎直面內的運動時常常會涉及一些能否會做完整的圓周運動問題，對于這類問題，若采用常規方法求解，過程復雜，運算量大，若采用“等效法”求解，則能避開復雜的運算，過程比較簡潔。“等效法”的具體內容是先求出重力與靜電力的合力，將這個合力視為一個“等效重力”，將 視為“等效重力加速度”。再將物體在重力場中做圓周運動的規律遷移到等效重力場中分析求解即可。

1.靜電力與重力方向垂直，處理等效最高點問題。

例2 如圖2所示，絕緣光滑軌道AB部分為傾角θ=30。的斜面，AC部分為豎直平面內半徑為R的圓弧軌道，斜面與圓弧

圖2軌道相切，整個裝置處于場強為E、方向水平向右的勻強電場中。現有一個質量為m的小球，帶正電荷量 ，要使小球能安全通過圓弧軌道，在O點的初速度應滿足什么條件？

解析：小球先在斜面上運動，受重力、靜電力、支持力作用，然后在圓弧軌道上運動，受重力、靜電力、軌道作用力作用，如圖3所示，類比重力場，將靜電力與重力的合力視為等效重力mg'，其大小為 即a=30°，等效重力的方向與斜面垂直指向右下方，小球在斜面上做勻速運動。要使小球能安全通過圓弧軌道，在圓弧軌道的等效“最高點”（設為D點）滿足等效重力剛好提供向心力，即 ，因為a=30°與斜面的傾角相等，由幾何關系知AD=2R，令小球以最小初速度u0運動，由動能定理得 解得 。因此要使小球安全通過圓軌道，初速度應滿足

點評：要使小球能做完整的圓周運動，就要使小球能安全地通過最高點，在重力場與勻強電場共同作用的場中，就要分析等效最高點，這與只有重力場時的最高點是不相同的，所以解決此類問題最好的方法是分析等效重力加速度。

2.靜電力與重力方向垂直，處理等效最低點問題。

例3 如圖4所示，一條長為L的細線上端固定在0點，下端系一個質量為m的小球，將它置于一個很大的勻強電場中，電場強度為E，方向水平向右，已知小球在B點時平衡，細線與豎直方向間的夾角為a。求：當細線與豎直方向間的夾角為多大時，才能使小球由靜止釋放后，細線到豎直位置時，小球的速度恰好為零？

解析：（1）運動特點。小球在重力、靜電力兩個恒力與不做功的細線拉力作用下的運動。

（2）等效分析。對小球在B點時進行受力分析，如圖5所示，將重力與靜電力等效為一個恒力，將其稱為等效重力得 ，小球做只受等效重力mg'與細線拉力的運動，可等效為單擺運動。

（3）規律應用。如圖6所示，根據單擺的對稱運動規律可得，B點為振動的平衡位置，豎直位置對應小球速度為零，是小球做單擺運動的最大位移處，另一最大位移處在小球釋放的位置。根據對稱性可得，當細線與豎直方向間的夾角滿足p=2a時，則小球從這一位置由靜止釋放后至細線到豎直位置時，小球的速度恰好為零。

3.靜電力與重力在同一條直線上。

例4 如圖7所示，繩長為L，一端固定在0點，另一端拴一個帶電荷量為+q的小球，已知qE= 3mg，要使小球能在豎直面內做圓周運動，小球在A點的最小速度應是多少7

解析：小球在A點受到重力mg和靜電力qE作用，其合力為2mg，方向向上，用此合力代替重力場中的重力，則B點等效于小球只在重力場中運動時的“最高點”。要使小球恰能做圓周運動，則需小球在等效“最高點”B時，有 （此時TB=0），在小球從B點運動到A點的過程中，應用動能定理得 ，解得 。因此要想讓小球在豎直面內做圓周運動，小球在A點的最小速度應為 。

點評：在應用等效法處理圓周運動時，要注意等效最高點（最低點）與實際最高點（最低點）的區分，有些情況下等效最高點（最低點）與實際最高點（最低點）重合，有些情況下等效最高點（最低點）與實際最高點（最低點）則不重合。

（二）帶電粒子在水平面內的圓周運動

帶電粒子在水平面內做圓周運動時，由于重力會與支持力相互抵消，從而造成靜電力等效代替重力的作用。

例5 如圖8所示，在光滑水平面上的O點系一長為l的絕緣細線，細線的另一端系一質量為m、帶電荷量為q的小球，當沿細線方向加上場強為E的勻強電場后，小球處于平衡狀態。現給小球一垂直于細線的初速度v0，使小球在水平面上開始運動，若v0很小，則小球第一次回到平衡位置所需時間為多長？

圓周運動習題范文第3篇

【關鍵詞】類比法 電場 磁場 疊加場 重力場

類比法，就是人們根據兩個對象之間在某些方面的相同或相似，推論出它們在其他方面也可能相同或相似的一種認識事物的思維方法。 將類比法應用于中學物理教學中，則可把學生所熟悉的知識與陌生的知識相比較，為認識新事物提供線索和方向，以加強知識間的橫向聯系與溝通，從而達到舉一反三的目的。

學生覺得物理難學，尤其是電磁學部分，更是覺得概念抽象，習題也很難理解。我們在這部分內容的教學中應用類比法去講解概念、規律，求解習題及進行復習，不僅易于教學，而且可擴展學生的視野、提高分析的綜合遷移能力。

一、電場與重力場

在講授電勢時，將電場和重力場進行類比，找出共同點――電場力和重力做功都與路徑無關。為此，首先引入重力勢能的概念，把一個質量為m1的物體放在高度為h的地方，它具有重力勢能m1gh，把質量為m2、m3……的物體放在高度為h的地方，它們分別具有重力勢能m2gh、m3gh……其勢能值各不相同，但m1gh/m1=m2gh/m2=m3gh/ m3……=gh是一個恒量，我們可以把gh叫做重力勢。其值只決定于重力場中的位置和零點的選擇，與放入重力場中的物體的質量無關。由于學生對重力場知識了解較多，對重力勢容易接受，再用類比法引入電勢的概念，分析它的性質和區別于重力場的特點，這就化“抽象”為“具體”，使學生對新知識有似曾相識的親近感，深化了教學內容。

二、疊加場與重力場

輕桿與球、輕繩與球兩種模型在重力作用下在豎直平面內做完整圓周運動的條件建立后，學生在學習到帶電小球在電場別是疊加場中的圓周運動問題時，往往不能透徹分析。此時，教師如能幫助學生通過等效重力場的角度去思考即將電場和重力場疊加后成為一合力的疊加場G’，則學生的思維就不存在障礙了。

例如.如右圖所示，輕繩系一帶正電、重G的小球懸掛在豎直向上的勻強電場中，使小球以懸點O為圓心在豎直平面內作圓周運動，則（）：

A.小球可能作勻速圓周運動B.小球只能作變速圓周運動C.小球經最低點A時，繩子拉力可能最小

D.在小球經最高點B時，繩子拉力一定最小

解析：球受重力G、向上的電場力F及繩的拉力T。將G與F合成為一等效的重力場G’后，只需分析球在重力場G’中的運動就行了。G’可能有三種情況：

①F=G，G’=0，球受繩拉力T作用而在豎直平面內做勻速圓周運動，此時T=mv2/L不變。

②F

③F>G，G’向上，轉換一下思維角度，球仍作變速圓周運動，在最高點B（G’中的“最低點”），速度最大，T最大；最低點A（G’中的“最高點”），速度最小，T也最小。

故選A、C。

三、電場與磁場

電場與磁場統稱電磁場，它們間存在著緊密的聯系，在一定的條件下可以相互轉化。在教學中若采用圖表類比，知識結構、研究方法與教材的理論構思將一目了然。

圓周運動習題范文第4篇

人造衛星的運行速度即衛星相對于地球的速度似乎是一個簡單的問題，在中學物理教學中，我們總是假定衛星是圍繞地球做勻速圓周運動，我們在衛星的環繞速度問題上，在理論上已有定論，根據萬有引力和動力學知識不難得到，v=GMr，軌道半徑越大其速度越小.但在解決一些具體問題上，有些問題還需深入討論.如下是我們教學中的常見習題：

題目某人造地球衛星因受高空稀薄空氣的阻力作用，繞地球運轉的軌道會慢慢改變.每次測量中衛星的運動可近似看作圓周運動，某次測量衛星的軌道半徑為r1,后來變為r2，r1>r2,以Ek1、Ek2表示恒星在這兩個軌道上的動能，T1和T2表示衛星在這兩個軌道上繞地球運動的周期

A.Ek2

B.Ek2T1

C.Ek2>Ek1、T2>T1

D.Ek2>Ek1、T2>T1

答案C.

我們的通常解釋是：人造衛星做近似的圓周運動，根據上述的繞行速度與軌道半徑的關系，不難得到如上的結果.(該解釋最早見于人教版參考書)上述問題可以成功解釋在高空有阻力情況下的衛星的運行速度越來越大，周期越來越小的現象.作為一種近似繞行速度計算是沒有問題的.然而正是我們的教學工作堅持圓周運動模型給造成了很多尷尬與困惑，也讓我們產生許多錯誤的理解，甚至推出很荒謬的結論.

2衛星阻尼運行速度增大探微

學生的最大疑惑之一是：衛星做圓周運動在切線方向受到阻力的作用為什么速度增大.如果堅持衛星做圓周運動，這是一個極其荒謬的悖論，即一個減速的原因產生一個加速的結果.

通常教師從能量的角度來分析.認為由于阻力的存在使物體做向心運動，重力勢能逐漸轉化為動能.所以物體的速度增大.這一解釋速度增大時是合理.但這一解釋有兩個缺點：一個是沒有回答速度增大的真正原因，即答非所問；另一個是衛星的運動過程.教師堅持衛星做圓周運動，自然建立的衛星在阻尼下的運動是高軌道向底軌道的逐步躍遷式運動模式.教師不能用一個描述性定律來解釋學生心目中的疑惑.教師應該明晰物理過程，和動力學的因果關系.

如圖1所示，理想的在真空的狀況下，衛星B的環繞速度垂直于地心O與衛星的連線，但是在有阻力的情況下則是另一種情況，如圖2所示.

速度方向不再與衛星與地心的連線垂直，而與BO1垂直，可以認為衛星的圓周運動不再圍繞地心O2點，而應看作圍繞O1點圓周運動，O1是衛星該時刻做曲線運動的瞬時曲率中心，衛星轉動一周O1就相應在O2點附近變動，其曲率半徑也會發生一些變化，由于地球的引力作用.引力在以O1點在切線方向上的引力的分力大于阻力(沿切線方向，為使圖象清晰，圖中沒有圖示力.)其速度是增加的.由于O2點和O1點極其接近.所以我們說衛星的環繞速度越來越大可以說得通.但是真實的衛星應該是環繞O1點瞬時曲率中心.在理論上我們能否假定衛星繞其地心在作圓周運動呢？由于引力是指向地心的，但阻力方向與速度方向的相反，所以引力與沿引力相反方向的阻力(可稱為法向阻力fr)的合力指向地心，使衛星在指向地心方向速度增大.也就是說衛星的運動是圍繞著地球做螺線運動，其證明在此從略.

從運動學的角度我們也可以進行如下的分析.在極坐標系中，衛星的橫向、軸向微分方程為：

雖然橫向存在著的空氣阻力，但我們不能說其橫向的加速度一定是負，也可能是加速，如果徑向速度為負并且與角速度乘積較大.即：

這里清楚地表明，在橫向有阻力的情況下，可以產生橫向的加速運動，但其前提是徑向的速度必須是負值并滿足上述關系.可見，不光我們從動力學角度還是從運動學角度，我們都不能以圓周運動模型解釋速度增加的問題.

3衛星阻尼對接的斷想

在我們的教學中，空間站對接問題是中學物理教學中的經典問題.問題是這樣的：空間站A和飛船B在同一軌道上運動，A在前而B在后，如何使A、B進行成功對接呢？我們通常從軌道躍遷來解釋：使B減速進入較低軌道，而使其繞行速度增大，后加速達到較高軌道，追上A空間

站達到平穩對接.這種解釋過于粗糙，學生理解為什么衛星阻尼反而速度增大，物理過程也極其模糊.其物理過程在理論上說應該是這樣的：如圖3所示，圓形軌道Ⅰ的中心為地球，如果B在E點減速，可進入橢圓軌道Ⅱ，到達D點.改變運行速度方向可進入軌道Ⅲ，在C點與軌道Ⅰ交于C點，再加速可達到與空間站A進行平穩對接.可以簡單證明B變軌后的周期小于原來的周期，在理論上我們可以設計變軌周期達到平穩對接.當然空間站對接方式可能有多種，此不贅述.筆者的學識有限，不可能對航天技術有深刻的理解，在此只可能用推斷想象或片段想象來稱自己的研究.

4結論綜述

圓周運動習題范文第5篇

在物理教學中，細節的處理對學生的物理學習有重要的影響。只有處理好細節，才能更好地凸顯物理的本質，學生才能以不變應萬變，才不會錯誤遷移解題經驗，才不會陷入思維定勢。

[關鍵詞]

教學；遷移；細節

在物理教學中，應該處理好細節，這樣，才能把物理本質凸顯出來，學生才能夠抓住住物理的本質因素，學生也才能夠在解題中以不變應萬變。如果對細節的處理不到位，學生在解決問題時不能分清楚不同物理問題之間的區別，那就容易陷入思維定勢的誤區，對學生的物理學習造成障礙。本文以萬有引力定律運用為例，談談物理本質的細節與學生思維定勢之間的關系。

一、物理量的矢量性

在學習圓周運動時學生已經知道向心力、向心加速度、線速度是矢量，有大小有方向，且在勻速圓周運動中這些物理量大小相等、方向不斷變化。研究天體運動時，衛星繞中心天體的運動看成是勻速圓周運動。在分析天體運動的問題時，有不少學生由于沒有注意上述物理量是矢量，或者沒有受到一些教輔資料口訣的影響，而出現低級錯誤。例如，在學習地球同步衛星時，很多教輔資料和老師歸納為：五同――同軌、同高、同速、同周期、同加速度。這里面的同僅指物理量大小相同，而學生受這些口訣的影響進一步忽略了物理量的方向，導致低級錯誤。

例題1：某一時刻，所有的地球同步衛星（ ）

A.向心力相同 B.線速度相同

C.向心加速度相同 D.離地心的距離相同

要解決這一問題，就要在教學中，強調所有圓周運動的規律對天體運動中的衛星都適用，描述衛星的運動時適用描述圓周運動所有物理量，這些物理量中線速度、向心力、向心加速度等是矢量。強調了這些物理量是矢量這一細節，學生自然能解決例題1。

二、物體的“隨”與衛星的“繞”

在天體運動中，我們遇到很多問題都是簡化成衛星繞中心天體做勻速圓周這一模型。此時，由萬有引力提供向心力得[GMmr2=mv2r=mrω2=mr（2πT）2]，根據題目的已知條件一般可以解決問題，再稍微復雜一些的問題中再結合黃金代換式[GM=gR2]即可。也許是過多遇到這一類題目，學生在遇到地球上的物體隨地球一起運動時，也采用萬有引力提供向心力列式分析。

例題2：地球赤道上的物體隨地球自轉而做圓周運動的向心力為F1，向心加速度為a1，線速度為v1，角速度為ω1；地球同步衛星的向心力為F2，向心加速度為a2，線速度為V2，角速度為ω2；設物體與衛星的質量相等，則（ ）

A.F1>F2 B.a1>a2 C.V1

本題中有不少學生根據萬有引力提供向心力及牛頓第二定律得到[v=GMr]，[ω=GMr3]，[a=GMr2]，分析后得到：v1>v2，ω1>ω2，a1>a2等錯誤結論。“地球赤道上的物體隨地球自轉而做圓周運動”叫做“隨地球一起運動”，“地球同步衛星的圓周運動”叫“繞地球一起運動”，只有學生清楚“隨”與“繞”之間的區別與聯系，才能解決問題。“隨”與“繞”所做的都是勻速圓周運動，都是合外力提供向心力。但是“隨”與“繞”物體的受力情況是不一樣的。“隨”的受力如圖1所示，赤道上的物體受到萬有和地面對物體的支持力，這兩個力的合力提供向心力，萬有引力從效果上來看可以分解為重力和向心力，重力和支持力是一對平衡力，如圖2所示。“繞”受力分析如圖3所示，地球同步衛星只受到地球對它萬有引力的作用，此時萬有引力提供向心力。所以，“隨”與“繞”動力學方程不一樣，“隨”時為[GMmR2-mg=mv2R=mRω2]，“繞”時為[GMmr2=mv2r=mRω2]。此時如果兩種情況都依據萬有引力提供向心力來分析向心加速度、線速度、角速度，必然導致錯誤。

知道“隨”與“繞”的區別，只能知道不能怎樣解決問題，要找到正確的解決問題的方法，還需要知道“隨”與“繞”二者之間的相同之處。赤道上隨地球自轉物體的角速度與同步衛星的角速度相同，即ω1=ω2.由于地球同步衛星做圓周運動的半徑大于地球赤道的半徑，由[a=rω2]得到同步衛星的向心加速度要大于隨地球自轉的向心加速度，即a1>a2；由v=ωr可知，同步衛星的線速度要大于隨地球自轉的線速度，即V1

三、中心天體是否相同

在分析天體運動時候，經常遇到比較同一個中心天體的不同軌道上的衛星或者同一衛星前后不同時刻在不同軌道上運動時的線速度、角速度、向心加速度、周期等物理量的大小。在分析這些問題時，根據萬有引力提供向心力[GMmr2=mv2r=mrω2=mr（2πT）2]得：[v=GMr]，[ω=GMr3]，[a=GMr2]，[T=4π2r3GM]，于是有了“軌道半徑越大，周期越大，線速度、角速度、向心加速度都越小”的思維定勢。這樣的思維定勢在解決如下面例題3這一類試題時，很有利，學生很快可以選出正確答案。

例題3：如圖4所示，在同一軌道平面上，有繞地球做勻速圓周運動的衛星a、b、c某時刻在同一直線上，則（ ）

A.經過一段時間，它們將同時第一次回到原位置

B.衛星c受到的向心力最小

C.衛星b的周期比c小

D.衛星a的角速度最大

在上述問題的解決中，分析問題時，由于是同一個中心天體，所以在比較時式子中的“M”是不變的，才有了“軌道半徑越大，周期越大，線速度、角速度、向心加速度都越小”。教學中，如果不強調“中心天體不變”這一個細節，學生在遇到例題4這一類試題時就會束手無策，或者得出錯誤的結論。

例題4：如圖5，甲、乙兩顆衛星以相同的軌道半徑分別繞質量為M和2M的行星做勻速圓周運動，下列說法正確的是（ ）

A.甲的向心加速度比乙的小

B.甲的運行周期比乙的小

C.甲的角速度比乙的大

D.甲的線速度比乙的大

本題中甲和乙兩顆衛星，半徑相同，如果學生由于思維定勢，套用上面“軌道半徑越大，周期越大，別的物理量都越小”的結論，學生會得到“甲乙周期、線速度、角速度、向心加速度大小相同”的錯誤結論。本題中甲和乙兩顆衛星的所環繞的中心天體不同，且中心天體的質量是不同的，不能再套用上述結論。只能根據萬有引力提供向心力，分析后得到正確結論。以線速度的比較為例，[v甲=GMr]，[v乙=2GMr]，所以乙的線速度比甲大。

四、公式中不同含義的“R”

在天體運動部分，R有時表示天體之間的距離，有時表示天體半徑，有時表示衛星軌道半徑，如果不把公式中的字母含義弄清楚，學生會出現如下兩種典型錯誤，錯誤1：把表示不同物理量的R錯誤約分；錯誤2：雙星問題中把兩星體之間的距離R與軌道半徑混為一談。

例題5：月球繞地球的運動近似看成，月地距離為r，地球半徑為R，如果月球繞地球的周期為T，求地球的平均密度？

解：設地球質量為M，月球質量為m。

根據萬有引力提供向心力有：[GMmr2=mr（2πT）2]，

可得：[M=4π2r3GT2]

地球體積[v=43πR3]，地球的平均密度[ρ=Mv=3πr3GT2R3].

算到這里之后，有不少同學把r3與R3約去，這些同學在計算中沒有區分[v=43πR3]中的R與[F=GMmr2]、[F向=mr（2πT）2]中的r。要解決這一問題，我們就要做好如下兩個細節：第一，在教學之初強調，公式中個字母表示的物理量；第二，為了幫助學生理解理解各公式中不同的R，畫出圖6所示的天體運動的模型圖，明確R是中心天體半徑，r是衛星到中心天體球心的距離，在這里同時也是衛星的軌道半徑。提出問題，[F=GMmr2]中的r（兩天體的距離）與向心力公式中的（衛星軌道半徑）是不是一定相同呢？讓學生思考例題6。

例題6：兩個星球組成雙星，銀河系的恒星中大約四分之一是雙星。某雙星由質量不等的星體S1和S2構成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點O做勻速圓周運動。由天文觀察測得其運動周期為T，S1到O點的距離為r1、S1到S2間的距離為r，已知引力常量為G。求出S2的質量。

學生常見錯誤分析：設兩星質量分別為M1和M2，它們都O點做周期為T的圓周運動。由萬有引力提供向心力[GM2M1r2=M1r（2πT）2]得[M2=4π2r2GT2]，或者[GM2M1r12=M1r1（2πT）2]得[M2=4π2r13GT2]。這些錯誤的根本原因是學生混淆了萬有引力定律公式中的“R”和向心力公式中的“R”，在學生遇到的很多試題中這二者是相等的，沒有分清這兩個“R”的不同對學生解題影響不大，但是在本題中星體S1和S2互相給對方的萬有引力提供向心力，[F=GM2M1r2]中的r的含義是兩個星體之間的距離，S1星所需要的向心力[F向=mr14π2T2]，r1表示S1星的軌道半徑，S1星所需要的向心力[F向=mr24π2T2]，r2表示S2星的軌道半徑。物理情景如圖7所示，r=r1+r2。在進行教學時，處理好“強調不同公式中R表示的意義，并通過畫圖幫助學生構建物理情景”等細節，能防止學生因思維定勢而產生錯誤認識。

[參 考 文 獻]