函數思想
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函數思想范文第1篇
中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2017.04.052
An Analysis of the Thought of Mathematical Function in Middle School
ZHAO Sheng
（Zhanyi Area No.3 Middle School， Qujing， Yunnan 655331）
Abstract Function thought is one of the most basic mathematical ideas， function is the core content of middle school mathematics， it runs through the entire secondary school. Understanding and mastering the function thought can help the learners to understand the true meaning of mathematics， enhance the enthusiasm of the students to learn mathematics， and help mathematics learning. This paper analyzes the importance of the function of thought， from the application and function thought in mathematics teaching in high school mathematics teaching how to penetrate the function of thought were discussed， so as to achieve the function of ideological understanding in middle school mathematics.
Key words middle school mathematics； function； function thought
函鄧枷朧竊謔學的發展史中形成的，它是人們對函數知識的本質性認識，來源于函數的基礎知識，它在中學數學教學中起著重要的作用，是教材體系的靈魂。在中學數學函數教學中，加強函數思想教學可以幫助學生更好地理解函數知識、形成正確的教學觀念和優秀的數學精神；它是落實素質教育的有效途徑和重要手段；還可以提高教學質量與教學水平；有利于培養學生的辯證唯物主義能力與函數應用能力。隨著數學教育的改革與發展，中學數學函數思想日趨凸顯，從事數學教育以及一些數學學習者越來越認識到函數思想的重要性。函數是支撐中學數學的骨架，是中學數學最重要的內容之一，貫穿整個中學階段。從歷年中考、高考的情況來看，以函數為核心編制的題目立意新穎，知識覆蓋面廣，靈活性較強，有比較理想的選拔功能。所以函數思想有極高的研究價值。作為數學教育工作者了解函數思想的產生、發展和特點，掌握函數運動的發展規律，形成正確的教學觀，從而提高對數學知識的駕馭能力。本文通過對中學數學函數思想的研究來指導教育工作者更加有效地進行教學，同時也為新課改提供有力依據，給學生的學習指引正確的方向。
1 函數思想在中學數學中的應用
函數是數集之間的特殊映射，反映事物的內部聯系，縱觀整個中學階段，函數將大部分數學知識緊扣在一起，形成一個以函數為中心向四周擴散的知識網絡，而函數思想則是形成這個知識網絡的靈魂。函數思想的應用就是對于一些實際問題、數學問題構建一個函數模型，應用函數的基本性質更快更好地解決問題，而構造函數模型是函數思想的重要體現。接下來筆者將從以下幾個方面闡述函數思想在中學數學中的應用。
1.1 函數思想在中學數學中的宏觀應用
函數思想的宏觀應用也就是函數性質的直接應用，即應用初等函數的基本性質（定義域、值領、單調性、奇偶性、周期性、有界性、連續性、對稱性、圖像等）求解有關的值、討論參數的取值等問題，只要掌握函數的基本概念與性質，直接對其加以簡單應用就行，直觀明了，同樣也是函數思想的簡單體現。
例1 函數 （） = + 3 + 有極值，又在其曲線上極大和極小的點分別為、，若線段（不含端點）與曲線交于點（1，0），求的值。
分析：首先弄清已知條件，已知①一個含參數的三次函數；②函數有極值；③有極大和極小點，；④線段（不含端點）與曲線交于點（1，0）。解題目標是求的值。
由 '（） = 3 + 6 = 0得 = 0， = 。
（0，），（， + ）
再由點（1，0）在曲線上以及三點共線，解得
這個結果是否正確？還是要注意題目的條件，即條件④中有一點容易被忽略，這就是點應在線段的內部，因此應滿足0
1.2 函數思想在中學數學中的微觀應用
函數與方程、不等式、角、數列等均有不同程度的內在聯系，將一些非函數問題轉化成函數問題、構建函數模型就是函數思想的微觀應用，也就是函數的間接應用，此類題型可以鍛煉學習者的發散思維和邏輯推理能力。接下來將以幾個實例加以說明。
1.2.1 活躍在方程、不等式中的函數思想
函數與方程、不等式有著千絲萬縷的關系，絕大多數方程與不等式的研究需要依靠函數來實現，而函數性質的研究則又需要依賴方程與不等式來完成，所以他們是相輔相成的。比若說求定義域、函數單調性證明都需要借助不等式來完成；而解方程又是求函數的零點。所以在解關于方程與不等式這類題的過程中應該考慮以函數為工具，加強函數、方程、不等式的綜合應用能力，系統掌握數學各個模塊的知識。
例2 證明不等式0）。
分析：證明不等式有很多種方法，可以通過作差、作商、反證、放縮、構造等不同方法來實現，根據不同題目選擇合理方法可以達到事半功倍的效果。通過觀察，本題通過構造函數的方法來證明，再根據函數單調性來實現不等式大小，既方便又快捷。
證明：要證0），即證
令 = ，（>0）
當>0時， = 1 / （1 + ）即
= 在（0，）上為單調遞減函數
那么就有0）
即 =
小結：本題通過構造函數證明該不等式，是應用函數單調性求解問題的典型例題，通過導函數來確定函數的單調性，進而證明不等式，思路清楚，方法簡單易懂。
1.2.2 三角函數思想的呈現
例3 已知為銳角，且，求的值。
分析：由的構成特點，本題的化簡變形，不宜按常規對的三角函數都采用降次的作法，而需把已知表達式中的含的三角函數升次，含的三角函數降次，即湊出和的表達式出來。
解：由（1），得3 = 2 （3）
由（2），得3 = 2 （4）
（3）鰨？），得 = （） = 0，
因為為銳角，所以0
1.2.3 實際問題中的函數模型
在數學學習中，我們會遇到很多抽象的數學問題，如果直接求解會非常困難或者是直接解不出來，這是我們應該充分應用所學知識，試著應用函數的思想去考慮，試著建立函數關系式，讓抽象、復雜的實際問題轉化為簡單的函數問題，再應用函數的基本性質將它求解出來，這就是應用函數思想求解數學實際問題的基本套路。
例4 （2012浙江省嘉興市）某汽車租賃公司擁有20輛汽車。據統計，當每輛車的日租金為400元時，可全部租出；當每輛車的日租金每增加50元，未租出的車將增加1輛；公司平均每日的各項支出共4800元。設公司每日租出輛車時，日收益為元。（日收益=日租金收入平均每日各項支出）
（1）公司每日租出輛車時，每輛車的日租金為_______元（用含的代數式表示）；
分析：本題為綜合性題目，主要考查二次函數實際問題，怎樣建立函數關系式與找等量關系，函數關系建立好之后結合實際函數圖像做出解答。
解析：單輛車日租金為：50（20）+400 = 140050
2 中學數學教學中滲透函數思想的途徑
中W數學函數教學最重要的目的就是打開學生的函數思維，提升學生們的函數素養，新一輪課程改革中，將函數思想作為必須掌握的教學要求，所以函數教學過程中不再一味地讓學生吸收理論知識與概念性內容，而是讓學生獨立思考，老師引導，建立一定的函數思想基礎，從根本上提升自己的函數應用能力。教學過程中滲透函數思想的途徑很多，接下來介紹三種滲透方式。
2.1 應用函數思想探究數學知識
新的教育背景下，數學教學過程中應該注重對學生培養知識形成的過程，在數學知識的探索過程中（比如說一些公式、定理、性質的推導過程）就是數學思想方法的最佳體現時刻，因此教師在教學中，要重視公式、定理、性質的推導過程，盡量凸顯其相關的數學思想，讓學生掌握基本知識的同時，領悟數學真諦。下面我們以函數思想為實例，演示探究數學知識的過程中滲透函數思想。
2.2 在數學解題中滲透函數思想
在數學教學過程中，經常出現課堂上學生聽懂了，但是課后做同類型的題目是就無從下手，其原因就是在教學過程中，教師就題論題，拿到題目就草率地解答出來，遇到此類題時照葫蘆畫瓢，機械操作，學生感到厭煩，學生沒有真正認識到題目的出處，沒有領略到數學思想方法。在數學解題過程中滲透函數思想也就是在數學解題過程中應用函數的思想方法去求解繁瑣的數學問題，比如說用函數的單調性、奇偶性、最值等等基本性質將其復雜問題簡單化。
例5 設不等式 + 2 + >0的解集為全體實數，求的取值范圍。
分析：題設不等式的系數比較復雜，可通過另設變元的方法，使此題解題過程簡化。
解：設 = ，則 = ， = ，
而原不等式化成（） + 2>0
由題意知，
解得
函數思想范文第2篇
一、在等比數列中建立恰當的目標函數
在等比數列求和中，通過建立目標函數利用待定系數法使解題過程更加簡便，同時避開了繁瑣的計算過程.
例1：在等比數列中，前n項和為Sn，已知S2=3，S4=15，求Sn.
思路分析：本題的常規解法是用等比數列求和公式Sn=■列出關于a1和q的方程組，解出a1和q，但計算繁瑣.若考慮到等比數列的前n項和Sn= ■=■-■.qn，設A=-■，則可以考慮建立目標函數 Sn=Aqn-A（A為待定系數），從而優化了解題過程.
解：設 Sn=Aqn-A，則S2=Aq2-2，Aqn-A=3 （1）
S4=Aq4-A， Aq4-A=15 （2）
列方程組解（1）（2）得，A=1，q=±2
Sn=2n-1或Sn=（-2）n-1
評述：此題如果注意到等比數列前n項和Sn可寫成Sn=Aqn-A（A為待定系數）的形式，解題方法顯得巧妙一些.通過對這道題的仔細講解讓學生理解函數思想在數列中的應用，在今后解數列題時要巧妙的使用函數方法.
函數的觀點解決數列問題，不僅是解決數列問題的重要途徑，也是提高數學解題能力的重要一環.用函數思想解數列問題時，不僅要用到函數的形式，更重要的是應用函數的思想方法通過構造函數，借助與函數性質及圖像來解決問題，會有事半功倍的效果.
二、利用函數的性質解決等比數列問題
利用函數的單調性解決數列中的問題，會使得一道難題變得更簡單.利用函數的一些性質解答數列題中同樣如此.所以在解數列題時要思維活躍，多鼓勵學生一題多解，不斷的去探索數列與函數的異同點.
例2：已知數列a■的通項a■=（n+1）? （■）■（n∈N*），試問該數列a■有沒有最大項？若有求出最大項的項數，若沒有說明理由.
解題思路：由于該數列不是直接與等比數列相關的數列，形式看起來比較復雜，但若從函數角度，可利用函數單調性來研究.
解：a■n+1-a■=（n+2）（■）■-（n+1）（■）■=（■）■?■
當n0，即a■n+1>a■
當n=9時，a■n+1-a■=0，即a■n+1=a■
當n>9時，a■n+1-a■
故a1a11>a12>…這說明數列a■中存在最大項，為第9項或第10項.
函數思想范文第3篇
關鍵詞：函數模型法；微分思想；數學模型
中圖分類號：G632.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）33-0077-02
構造函數模型是一種富有創造性的方法，它很好地體現了數學中發散、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、試驗、探索、概括、特殊化的思想。在近年高考中有不少精彩的題目，而且有些是壓軸題中經常考查的，是高考考查的重要思想方法之一。而導數方法與構造函數模型思想一旦結合起來，問題的設計便更加廣闊，解決問題的方法就更為簡便。本文期望利用構造函數模型的思想，以導數為工具探討中學數學解題的方法技巧，從而提高學生分析問題和解決問題的能力。
一、導數工具有助于學生把握函數性質
在高中階段，學生主要通過學習函數的定義域、值域等性質，來理解函數.函數的這些性質都可通過圖像表示，因而，通過函數的圖像，函數的性態也容易掌握了。但是，對于非初等函數，不易作出圖像，學生就可以利用函數的導數判定單調區間、極值點、最值點，再結合描點法，就能大概作出函數的圖像.在直觀上提高學生對函數性質的掌握。
二、微分方法與函數模型法相結合的作用
通過數學模型建立函數關系，然后用導數作為工具，可以解決數學上用初等數學方法不能解決的許多問題，充分發揮微分思想在中學數學解題中的作用，從而提高解決問題的能力.以導數作為工具，結合函數模型法思想，在不等式的證明、數列的求和問題，以及實際問題等方面有非常重要的作用。
1.利用結合思想可以證明不等式。在新課程的高考中，與不等式的證明等相關的問題，包含的信息量較大.利用微分思想來證明，可以先構造一個輔助函數，使函數和不等式建立聯系.然后對函數求導，得到單調性，使所解決問題轉化為比較函數值大小的問題。
例1.證明：若x>0，則有ln（1+x）>x-■x2.
證明：構造函數f（x）=ln（1+x）-（x-■x2），可求得其定義域為（-1，+∞），可以計算得f'（x）≥0，即f（x）在（-1，+∞）上是單調遞增。所以當x>0時，f（x）>f（0）=0，故不等式成立。
2.利用結合思想可以求實常量的取值范圍。求實常量的取值范圍是數學中的一個重要內容，求實常量取值范圍的很多問題依靠常規的方法很難處理，利用結合思想，處理起來非常方便，下面通過例子來具體說明。
例2.若對？坌x∈R，不等式x4-4x3>2-m恒成立，求出實數m的取值范圍。
分析：將含參數的不等式問題轉化為函數問題，利用導數求得函數最小值，方可確定出參數的范圍。
解：構造輔助函數f（x）=x4-4x3，再設f'（x）=0，可求得x=0或x=3.
當x
注：構造多項式函數是解決本題的關鍵。
3.利用結合思想可以解決數列問題。通過數學模型建立函數關系，然后用導數作為工具，可以解決學生難以掌握的、有時技巧性很高或者計算十分煩瑣的數列的和的問題。
例3.求和：S■=C■■+2C■■+3C■■+…nC■■（n∈N*）.
解：因（1+x）n=C■■+C■■x+C■■x2+…+C■■xn，則該式兩邊都是關于x的函數，兩邊都對x求導得：n（1+x）n-1=C■■+2C■■x+3C■■x2+…+nC■■xn-1，令x=1，即得Sn=n?2n-1
4.利用結合思想可以研究方程根的情況。通過數學模型建立函數關系，然后用微分思想可以很容易確定方程根的問題，具體方法為：觀察函數的圖形變化，得出函數的圖像與x軸的交點個數，最后得出所求范圍內方程解的個數。
例5.若a>3，則方程x3-ax2+1=0在[0，2]上有多少個根？
解：設f（x）=x3-ax2+1，求導可得：當a>0，x∈（0，2）時，f（x）在（0，2）上單調遞減，且f（0）?f（2）
5.利用結合思想近似計算。由導數的定義知，當Δx充分小時，f（x0+Δx）≈f（x0）+f'（x0）?Δx.
例6.不查表，求sin46°的值。
解：令y=sinx，取x0=45°，x=45°+1°，代入上式即可得結論。
6.利用結合思想是學好理科其他課程的前提。微分學發展初始，就與物理、化學、生物、天文、工程以及地質學等學科密不可分。只要涉及到變化問題，就可以利用導數討論該過程的變化情況。所以，無論物理還是化學問題都可以通過微積分的思想來解決了。
7.利用結合思想解決立體幾何中的問題。
例7.設A，B是球面上的兩點，弧AmB是過A、B兩點的大圓的劣弧，弧AnB是過A、B兩點的任意小圓的弧。設小圓的半徑為r，圓心為o'；大圓的半徑為R，圓心為o，大圓面與小圓面交于A、B。求證：弧AmB
證明：記∠AOB=α，∠AO'B=β，則有AB=2Rsin■及AB=2rsin■.
因為R>r，由題意sin■
現在只要證明Rα
故只需證明■
為此構造函數f（x）=■，x∈（0，π）.
因為f'（x）
8.建立微分模型是解決實際問題的關鍵。“學以致用”，只有懂得數學如何去應用，才是提高學生對數學感興趣的關鍵。萬事萬物都在變化，大多數實際問題都可通過建立微分模型來解決。具體為：翻譯實際問題，建立微分模型，通過求導運算，得到問題的解決。新課程實行以來，逐漸加大了對實際問題的考查力度，比如優化問題、路線問題等，通過建立微分模型來解決非常方便。
例8.用PVC材料制作一個立方體容器，其長為12m，要求容器的底面長、寬差1m，當高為多少時，容積最大？并求出Vmax.
解：設容器長為xm，則寬為（x+1）m，高為（2-2x）m.
設容器的容積為Vm3，則有V=-2x3+2x2，（0
因此，當x=■時，Vmax=■，這時高為■，故高為■m時容器的容積最大，最大容積為■m3.
參考文獻：
[1]北京師范大學數力系.數學分析（上冊）[M].第三版.北京：高等教育出版社，1998.
函數思想范文第4篇
一、在已知圖形中搜集信息
二次函數圖象的頂點在原點O，經過點A（1，1）;點F（0，1）在y軸上，直線y=1與y軸交于點H。
（1）求二次函數的解析式;
（2）點P是（1）中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線y=1交于點M，求證：FM平分∠OFP。
解析：二次函數的解析式可以順利解決，對于（2）點P是（1）中圖象上的點，過點P作x軸的垂線與直線y=1交于點M，求證：FM平分∠OFP;我們要挖掘圖象蘊含的信息，PM平行于y軸，可得∠OFM =∠PMF，接下來探究∠PMF是否等于∠PFM，因為P在二次函數的圖象上，可以設出P點的坐標，那么由P向y軸作垂線段PB，構造直角三角形，利用勾股定理表達出PF的長度，依據P的坐標可以表示PM的長度，那么可以證明PF= PM，于是可以得到∠PMF=∠PFM，所以∠OFM=∠PFM，結論得到證明。本題的解決依賴于通過“數”：PM、PF的長度的表達式證明二者相等，數相等，線段長相等，通過“形”的狀態得到“數”的性質，又通過“數”的性質演繹出“形”的狀態。
二、畫圖象并搜集信息
有些二次函數問題需要自己動手畫出相應的圖象，然后整理所畫圖象中蘊含的信息，從而使問題得到解決，看下面的問題：
例如：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（ ）
解析：首先探究怎樣根據題意畫出y=|ax2+bx+c|的圖象，當ax2+bx+c≥0，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸上方，此時y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c，y=|ax2+bx+c|的圖象是函數y=ax2+bx+c（a≠0）在x軸上方部分的圖象，當ax2+bx+c<0時，y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象在x軸下方，此時y=|ax2+bx+c|=-（ax2+bx+c），因此y=|ax2+bx+c|的圖象是函數y=ax2+bx+c（a≠0）在x軸下方部分與x軸對稱的圖象。
已知y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點縱坐標是-2，所以函數y=ax2+bx+c（a≠0）在x軸上方部分與x軸對稱的圖象的頂點縱坐標是2，所以畫出y=|ax2+bx+c|的圖象如圖：
因為k≠0時，函數圖象在直線y=2的上方時，縱坐標相同的點有兩個;函數圖象在直線y=2上時，縱坐標相同的點有三個;函數圖象在直線y=2的下方時，縱坐標相同的點有四個。
所以若|ax2+bx+c|=k有兩個不相等的實數根，則函數圖象應該在y=2的上邊，可得出|ax2+bx+c|=k（k≠0）有兩個不相等的實數根時，k的取值范圍是 k>2。
函數思想范文第5篇
我們知道，函數知識揭示了在運動與變化過程中，量與量之間存在的一般性規律，研究函數的性質與圖象，即是探尋用運動、變化的觀點來觀察、分析問題的方法.因此，如果我們能夠運用函數的觀點、方法去考慮分析問題，根據問題的條件及所給數量關系，構造函數關系式，使原問題在函數關系中實現轉化，再借助函數的圖象與性質，就能化難為易，實現問題的解決.
例1 某學校廣場有一段25m長的舊圍欄（如圖中用線段AB來表示）.現打算利用該圍欄的一部分，圍造一塊面積為100m2的長方形草坪（即圖中的CDEF，CD
（1）求出y與x之間的函數關系式并寫出自變量x的取值范圍；
（2）若計劃修建費為150元，則應利用舊圍欄多少米？
（3）若計劃修建費只有120元，則能否完成該草坪圍欄的修建任務？請說明理由.
圖1
解：（1）由題意，得y=1.75x+4.5x+4.5×2×100x=6.25x+900x（10
（2）由題意，得150=6.25x+900x.
整理，得x2-24x+144=0，即（x-12）2=0.
x1=x2=12（m），即應利用舊圍欄12m.
（3）假設總費用為120元，能完成圍建任務.則
120=6.25x+900x.
整理，得x2-19.2x+144=0.
=19.22-4×144
120元不能完成圍建任務.
點評：本例是運用函數思想及方程知識對校園工程建設作出正確的預算，具有重要的現實意義.
圖2
例2 如圖2，ABC中，AB=AC=5，BC=6，矩形DEFG的頂點D在AB上，E、F在BC上，G在AC上.
（1）設BE=x，S四邊形DEFG=y，求y與x之間的函數關系式和自變量x的取值范圍；
（2）連接EG，當x取何值時，EG∥AB？并求出此時矩形DEFG的面積.
圖3
解：（1）如圖3，作AHBC于H，BE=FC=x，且BC=6，得BH=3，AH=4.由DEAH=BEBH，得DE=43x，EF=6-2x.
y=DE·EF=43x·（6-2x），y=-83x2+8x （0
（2）DE∥AH，
BDAB=BEBH，即BD5=x3，得BD=53x，
又可證BD=GC，
AG=AD=5-53x.
由EG∥AB，得BEBC=AGAC，即x6=5-53x5，解此方程，得x=2.
當x=2時，EG∥AB.把x=2代入（1）中的解析式，得y=-83x2+8x2=163.
