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數值方法范文第1篇

關鍵字：內域；數值計算；有限元

中圖分類號：TU315.3

1.引言

雖然目前技術和計算設備發展十分迅速，計算能力不斷提高，一些大型通用有限元軟件已經具備十分強大的分析功能，它解決了地震反應的許多實際工程結構分析的問題。但對于一些大型復雜體系而言，空間離散的自由度數目非常龐大，數值穩定性的限制要求時間離散的步距也不能過大。這樣，開展結構地震反應分析時所需要完成的時空四維數值計算的工作量將變的很大。在工程設計中，需要分析各種工況下結構的地震反應行為，對比不同的設計方案并做出優化決策，從而要求在設計期內多次完成結構的地震反應計算。在數值精度的基礎上，保證系統的穩定和提高結構地震反應分析方法的核心計算效率。研究高效率的大型復雜體系地震反應數值分析方法，減少計算費用仍然是非常現實的考慮，它具有重要理論意義和實用價值。

地震反應分析的數學物理模型就是波動方程。波動數值模擬包含兩個部分，一是對人工邊界的數值模擬，二是對內域的數值模擬。這里僅討論對內域的運動節點的數值模擬問題。

現有的內域波動的數值模擬方法，按能量等效式，可劃分為三類。一類是空間有限元方法。所謂空間有限元方法是指的空間用有限元法進行離散，而使用一個直接的方式離散時間。第二類是時空有限元方法。這里是指對時間使用和對空間一樣的有限元法方式離散。時空有限元的時空域是空間有限元的空間域在時間域上增加了一個時間維度，區別只是處理時間域的先后上，空間有限元是先處理空間問題，然后處理時間問題，而時空有限元是同時處理時間和空間的問題。第三類是微分求積方法，是直接的方式對空間和時間的離散。下面分別闡述這三類方法的應用發展過程――

2.空間有限元方法

在1956年，有限元的概念首次被Turner等人提出，最早應用于彈性力學平面應力問題上。1963年，Besseling、Melosh和Jones等人發現有限元法和基于變分原理的里茲法是等效的。有限元法在處理連續介質問題上比普通里茲法更有優勢。隨后幾十年，在解決復雜工程問題上，有限元法得到廣泛的應用。

波動方程是時空耦合的，基于廣義Hamilton原理的波動有限元方法通常也是時空解耦的數值過程。傳統有限元方法的離散過程通常包含兩步，先進行空間離散，將微分方程轉化為常微分方程，然后對時間進行離散，即在時域對常微分方程進行數值積分。由于時空耦合的數值過程包含過多的自由度，求解這類方程在實際工程中很難實現，建立時空解耦的波動數值分析方法是這方面重要的工作。最直接的做法是實現空間及時間域的解耦，通常是只建立空間的有限元離散方法，而時間采用直接的假設，最常用的是采用逐步積分的方式進行離散。

逐步積分法簡單來講就是把最終速度和位移由它們的初始值和一個積分表達式來表示。加速度歷程的積分決定速度的變化，速度的積分決定位移的變化。換句話說，加速度控制了速度的變化，因而可以由這一步向前獲得下一時間步。解答這類問題，第一步先考慮時間步內的加速度問題，假設加速度是如何變化的，依據加速度和位移的關系，得到關于時間步的遞推公式。所謂的Euler-Gauss法就是假設在時間間隔內加速度為常數。而Newmark[1]法是加入系數從而可以改變初始和最終加速度的權重從而得到加速度的一種方法。Wilson- [2]方法是假定在時間步距內加速度為線性加速度的一種數值方法，用內插公式得到體系在下一刻的運動。α方法[3]是在Newmark方法的基礎上，通過修改結構動力方程的時間離散形式得到的。Chung 和 Hulbert 發展了一種無條件穩定的隱式廣義α法，它由三個參數控制數值損耗。Runge-Kutta[4， 5]方法是在一個時間步距中內插若干計算點，利用這些計算點上函數值線性組合來代替函數的泰勒展開中的高階導數，從而提高精度階。不同于兩步信息預測，線性多步法[6]發展了多步信息來預測下一步，從而獲得了更高的精度。

逐步積分是最主要的時域積分方法，而它最常規的做法是差分法。時域有限差分法（Finite Difference Method， 簡稱FDM），是地震波傳播模擬最廣泛被使用的一類方法[kelly―Marfurt，1990][7-10]。有限元差分是將微分方程中的微分項用相應的差商代替，從而將微分方程轉化為代數形式的差分方程。

由微商和差商的定義可以知道，微分的有限形式是差分，而導數的有限形式是差商。而微分和導數是以極限形式表示。數值計算方法導數可以用差商的自變量趨近于零來代替，換句話說，位移對時間的求導可以用有限差分的方式得到，位移的一階導數是速度，二階導數加速度。當世界步距為等步長，得到中心差分。差商代替微分方程中的導數，就可以得到微分方程的有限差分形式。。較之傳統有限元法，雖然在定義幾何結構上不夠靈活，但時域有限差分法具有顯式計算的優勢，計算效率高，計算精度高于顯示有限元法。這些方法的缺點是精度不高，只有一階或者二階精度，難以模擬高頻問題，這類無法避免算法阻尼，從而形成較大的誤差。

為了克服低精度的問題，很多高精度的數值積分方法相繼提出。不僅僅四階，五階精度，甚至更高精度的數值積分方法處在發展之中。Golley[11]為了得到三階精度的格式，對時間域采用高斯點作為配置點。在哈密頓變分原理的基礎上，Riff和Barch[12] 采用3次多項式構造插值函數，得到了有條件穩定四階精度數值方法。Argyris[13]等在前人的基礎上，采用Hermitian插值，得到無條件穩定四階精度數值方法。Kujawski和Gallagher[14]從另外一個角度，利用廣義最小二乘法，在無阻尼結構中，構造了一種四階精度的無條件穩定積分格式。Tarnow和Simo[15]利用二階精度算法的結果，在此基礎上縮短時間間隔，構造了一種四階精度算法。鐘萬勰[16-19]在1994年提出了精細時程積分法。在保守系統下，積分結果保持系統守恒量不變。1995年在之前工作之上，鐘萬勰提出了子域精細時程積分法，提高了計算效率，使工作量大大減小，存儲量大幅減小，為精細法應用提供了基礎。2000年，顧元憲[20]提出了增維精細積分法，改進了矩陣的運算，提高了精度。但局限條件較多。2004年，汪夢甫[21]利用精細積分方法基本原理，采用高斯積分方法，建立了更新精細積分方法，這種精細方法適應度高，為得到了廣泛的應用提供了條件，并且提高了精度。理論上汪夢甫分析了精細方法得到任意精度的可能。2009年，富明慧[22-25]在汪夢甫研究的基礎上提出了高效高精度廣義精細積分法。

這類方法的困難在于不容易構造精度較高的時間離散模式，并且空間有限元在時域上每個時間步逐步推進，因而會產生誤差累積[26-32]。

3.時空有限元方法

時空有限元最早由J.TOden，I.Fried和J.H.Argyris等人提出。利用哈密頓原理建立關于時間邊界的變分原理。幾十年來，在各個領域得到全面的發展。在波動問題，動力問題，流體問題等方向得到廣泛的應用。

傳統的數值方法假定時間和空間是相互獨立的，這樣的假定廣泛應用在實踐當中并且在數學上很好理解。但是，使用上述技術同時也導致了數學上的困難。因為有用的信息可能通過速度在結構傳播，而沒有分離的時空格式能規避這種類型的數值困難。這就要求對時間的離散和對空間離散一樣使用有限元。例如，當結構是三維時，這種格式需要四維的維度來表示。從而需要對時間和對空間使用相同的離散方式。空間有限元對時間和空間分別離散，空間節點形成的網格只能處在同一時間下，形成的是規則網格。時空有限元同時對時間和空間進行離散，理論上可以把網格劃成任意形狀，不必考慮相同的時間值，可以靈活的劃分。有限元方法區別于其它方法在于它利用能量等效原理將偏微分方程進行積分。得到方程的弱形式。恰當的變分形式是有限元是否能夠利用能量等效的關鍵。而時空有限元能否成功取決于能否找到對應的變分原理。

R.Riff和M.Baruch等人建立了一種能同時求解所有變量的時間有限元，這種有限元格式借鑒了空間有限元，把整個時間域看作是空間的延續，從而能夠求解不同時刻的變量。馮康是提出 羅恩在馮康的基礎上，完善了哈密頓型變分原理，發展了非傳統哈密頓變分原理。羅恩對比等價的正則方程和相空間變分原理，認為即使是等價的，但由于形式的不同，產生的算法并不一定會有相同的效果。其結果就是相空間變分原理計算效率更高，也更接近物理問題的本質特征。沿著這個思路，羅恩建立了非傳統相空間哈密頓變分原理。劉世奎對哈密頓原理進行了推廣，構建時間邊界條件，建立了有兩個參數的廣義哈密頓變分原理，完成了從單一變量向多種變量的轉變。卓家壽等人在哈密頓體系下，推導了幾種變分原理的等價形式。羅恩在此基礎上推導了類變量廣義哈密頓變分原理，它包含了所有的條件。基于這種變分原理提出在時間子域上進行五次樣條插值的時間子域法。 2007年鐘萬勰[38]發現時空有限元可以更高效的解決邊界問題和多尺度剛度問題。2013年朱寶[39]在鐘萬勰的基礎上進一步研究多尺度和邊界問題，對其穩定性進行了研究。

獲得高階精度，只需要提高多項式基函數的次數，從理論上來說，時空有限元可以獲得任意精度。空間域增加時間域之后，單元的幾何性質簡單，避免了空間有限元的復雜邊界。讓傳統的有限元得到更廣的應用。是一種有很大發展空間的數值方法。

4.微分求積方法

Bellman和Casti[40]在1971年提出微分求積法的基本原理。此后，微分求積法因為原理簡單，廣泛應用在工程問題中，微分求積法得到快速發展。

微分求積法即DQM方法，本質上來說，函數和它的導數在給點節點的值用全部節點的函數值乘以系數并求和來代替。從而讓微分方程可以轉化成關于節點函數值的一組代數方程組。由此可知，DQM是一種數值技術，它通常被用來解決初值和邊界問題。從本質上來說，DQM是特殊的一種加權殘值法，而且是高階的有限差分法。DQM方法相對有限元方法而言，并不需要變分原理就可以求解微分方法。

從微分積分法的原理出發，可以發現影響數值精度主要由兩個因素構成。一方面是權系數的值，另一個方面是選取合適的網格離散點。其中網格離散點的選取和假設試函數的模式可以確定權系數，從另一個角度來說，試函數的假設和網格點的選取是決定精度的關鍵因素。從而研究人員也沿著這個思路對微分求積方法進行了探索。利用多項式是有限元試函數選取的基本思路。Bert和Wang[41]為試函數來求權系數，此時構成線性方程組的系數矩陣是勒得蒙矩陣。但由于當離散點數目增多以后，勒得蒙矩陣會出現病態。所以出現很大的誤差。后來。Quan[42， 43]用采用了Lagrange插值，得到了微分積分法一階和二階精度的公式。Bert和Striz[41]建立了HDQ方法，采用用不同于多項式的諧函數作為試函數，開闊了研究思路。由上可知，試函數的選取并不是單一的，可以從多個角度來選取。不僅是諧函數或者多項式，甚至是指數函數，對數函數等初始函數都可以作為試函數進行研究。根據需要選擇混合初始函數來得到試函數是值得探索的方向。網格點的選擇方面，研究發現一些問題對節點選取是很敏感的，等距網點因為使用方便而被先采用，但是結果發現得到的解不夠理想。其實真實的狀況讓均勻網格模擬顯得不夠合理，發展非均勻網格更可能得到高精度方法。 Bellman[40]就用勒讓得多項式零點進行了研究，發現用其作為網格點提高了精度。在這啟發之下，Quan等研究了切比雪夫多項式零點，并且用之與其它正交多項式作了對比，發現切比雪夫多項式零點更有優勢。此外，微分求積的研究的方向是更加具體的研究，Bellman[44]用微分求積法應用到初值非線性偏微分方法得到高效精確的解法。 在多維問題上，微分積分法也得到了應用，Civan[45]得到了多維積分微分方程。Bert[46]首先將這種方法用到結構力學問題的求解。2001年在DQM法則的基礎上，Fung[47， 48]建立了一種不同于邊值問題的動力微分方程解法，解決了初值問題的動力微分方程。并研究時間網點選擇方式對數值精度和穩定性的影響，提出了一種高精度的時間網格離散方法。

微分求積法雖然發展的歷史比較短，但是由于這種方法原理簡單，精度高，計算效率高，處理數據方便等優點。在工程領域有廣泛的應用。

5.結語

有限元方法一直在數值模擬中很占有重要地位，這種思想在理論研究和實際應用中發揮著很重要的作用。以有限元原理為基礎，發展的新方法讓數值計算展現出新的活力。但是數值模擬是一門深奧的學問，在理論上和實際應用中還有很多不完善的地方，需要克服的缺點還有很多，本文作者僅僅就自己所涉及的研究領域做了一些簡單的論述。

參 考 文 獻

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數值方法范文第2篇

Lighthill利用保角變換的方法首先提出了二維翼型的反設計方法，Hicks，Murman和Henne等人將此方法發展為可應用機設計的工程設計方法。后Campbell等提出過一種帶約束的直接迭代的表面曲率（CDISC）方法，Yu將其與N-S解算器耦合形成了一種翼型和機翼的設計方法。波音公司則將此方法發展成工程應用的設計方法，并廣泛地應用于波音的B757，B777和B737NG等型號的設計過程，取得了很好的效果。例如在B777研制中由于使用了反設計方法，僅經過三輪機翼的設計便取得了滿意的結果，使風洞實驗的機翼模型大大少于過去B757和B767設計時的數目，充分表明了該設計工具的作用。可以說，反設計方法曾對民機設計起過革新性的推動作用；但反設計方法也有其固有的弱點（參見文獻[13]的附錄D）：首先，對于高度三維的流動要找到“好”的壓強分布很困難；其次，不能保證所得結果為最優，即既具有高速巡航低阻的特性又在非設計條件下具有可接受的性能；最后，其他學科的約束會導致反復迭代。

低可信度CFD模型的數值優化方法

隨著計算能力和數值優化方法的快速發展，應用基于CFD的數值優化方法于民機設計得到了很大的發展。這一方法的應用也從低可信度CFD模型開始，逐漸發展到采用先進的N-S方程解算器。波音公司發展了一種耦合TRANAIR[16]（一種全速勢方程的有限元方法，可參見文獻[13]附錄B）和梯度優化方法的數值優化氣動力設計方法，并在1992年形成了TRANAIR優化器的雛形[17]。經過近十年的改進，得到了一個適用于位勢流/邊界層耦合飛行條件的氣動力優化設計工具[18-20]，具有多點優化設計能力，可處理高達600個幾何自由度和45000個非線性不等式的約束條件（圖1表示了TRANAIR優化過程示意圖）。作為一個例子，圖2給出了采用該軟件對機翼/發動機短艙設計計算前后壓強分布的對比，圖a和圖b分別表示了設計前后等馬赫數線的分布。可以看出圖a中掛架處出現激波；圖b中短艙附近的機翼表面上消除了由于短艙干擾形成的激波。算例結果表明該設計軟件可以處理很復雜的飛機/發動機綜合設計問題。

高可信度CFD模型的數值優化方法現代優化算法可以分為依賴和不依賴梯度的方法兩大類。

1.依賴梯度的優化算法

目前可用的大多數依賴梯度的數值優化方法都是從控制理論出發的，Jameson是此類方法的先驅者之一。盡管最初是由Pironneau提出利用控制理論進行橢圓方程系主控的外形優化的[21-22]，但Jameson首先提出了通過控制理論自動進行外形優化的伴隨方程方法[23]并應用于跨聲速流動。后來，Jameson和他的合作者，還有其他研究者，大力發展此方法，從全位勢方程到Euler/N-S方程，從無粘設計到有粘設計，甚至從氣動設計到氣動/結構的耦合設計，形成了大量文獻[24-36]。此方法不同于一般梯度優化方法之處在于它將外形作為一個自由表面，促使流動解和最終優化的外形同時趨于收斂，因而使優化方法具有很高的效率（其基本思想可參見文獻[13]附錄D）。

2.不依賴梯度的優化算法

最早無需梯度的優化算法有Powell（共軛方向法）[37]和Nolder-Mead的單純形法[38]。最近Sturdza還應用后者于空氣動力的設計[39]。近二十多年來人們更多地使用諸如模擬退火法[40]和遺傳算法(GeneticAlgorithm-GA)等的搜索方法，特別后者更為人們所關注。Holland利用進化理論創造了遺傳算法[41]（可參閱文獻[13]附錄D），即模仿生物的自然選擇進行搜索以尋求最優解。與傳統的搜索和優化方法相比，遺傳算法具有下述4個特點[42-45]：1）不是直接作用于參變量集本身，而是對參變量集的某種編碼運算。2）不是對單個點而是對多個點構成的群體進行搜索。3）直接計算適應值（函數），無需導數和其他輔助信息。4）利用概率轉移原則，而非傳統優化方法中的確定性原則。已有愈來愈多的研究和民機研制機構表現出了對這種隨機尋優方法的濃厚興趣，也已出現了不少利用遺傳算法進行翼型或機翼優化計算的文獻[46-56]。

3.對高可信度CFD模型數值優化方法的要求

分析最近十余年中出現的大量基于Euler/N-S方程的數值優化方法和文獻，可以看出多數仍表現為學院式的探討，提供可直接用于工程設計的方法和工具顯得尚很有限，盡管已開始向這方面努力。這可能是因為：1）只是近幾年來隨DPW研討會等的進行，數值模擬才可以比過去更正確地估算阻力值。2）工程界的空氣動力外形優化需要在高維搜索空間中進行并存在大量的非線性約束，使優化問題十分復雜且計算開銷巨大；3）巨大的計算量要求很豐富的計算資源和很長的計算時間，這與工程問題要求的迅速反饋相悖。

因此要使基于CFD的空氣動力優化方法和軟件成為日常的工程設計手段和工具需解決如下技術關鍵：1）具有建立準確計算諸如升力、阻力、力矩等敏感氣動特性的正確流動模型的能力。比較現有的氣動力優化方法可知，大多數方法還在使用不完善的流動模型，如基于Euler方程，甚至全位勢方程等。雖然它們在一定條件下，如巡航小迎角飛行狀態，可以提供合理的結果，但工程應用常要求準確地估算出阻力、俯仰力矩等敏感的氣動特性，要求可計算整個飛行包線的飛行狀態以及不同的復雜的幾何外形等，這只能通過求解N-S方程來實現。順便指出，有些文獻（如文獻[28]）雖以N-S方程為主控方程，但優化時的伴隨運算子卻是在沒有考慮粘性流動的假設下得出的（參見文獻[28]第6節）。為了提高計算準確度,最好在離散N-S方程時使用高階的差分算子[53-54]。2）具有尋求全局最優的能力。通常基于梯度的算法容易陷入局部最優，而遺傳算法等隨機搜索的方法則具有取得總體最優的優點。3）能有效地處理大量幾何和氣動力的非線性約束。優化問題的最優解常常是位于不同維超曲面（hyper-surface）的交匯處，遺傳算法不同于基于梯度的方法，不限于目標函數的光滑擴展，可應用于多重約束的情況[53-54]。4）可應用于不同的幾何外形和設計條件。5）掃描高維搜索空間的計算有效性高，以滿足設計周期和研制成本的要求。遺憾的是這正是遺傳算法的主要缺點，即估算適應函數的高代價。可以采用多處理器上的有效并行計算來大大減少計算時間[57]，或在估算適應函數值時采用近似模型，如降階模型[54,58]或響應面模型[50]等。

數值優化方法的發展現狀和驗證研究#p#分頁標題#e#

1.空氣動力優化設計計算的系列研討會

近年來CFD學術界和航空業界都十分關注計算阻力的精度問題，這也是CFD應用于工程設計時所面臨的第一個具有挑戰性的計算。AIAA的應用空氣動力學專業委員會在各方支持下，自2001年開始舉行了DPW（DragPredictionWorkshop）系列會議[59]，參與者都用N-S方程求解相同的幾何外形（翼/身組合體，翼/身/短艙/掛架的復雜組合體等），得到了一個巨大的計算結果數據集，可與已有的已經過修正的風洞試驗值比較。由于參與的計算者所采用的數值方法、湍流模型、計算網格形式及數目等各不相同，此數據集可用作分析和討論各種因素對CFD計算結果的影響。該系列會議至今已舉行了5屆，對推動和提高CFD計算阻力的精度很有意義。文獻[13]的附錄C中給出了前3屆結果的分析和討論。鑒于DPW系列會議的成功，AIAA應用空氣動力學專業委員會針對CFD面臨的第二個挑戰---計算三維高升力外形的最大升力CLmax，于2009年發起并組織了類似的高升力計算研討會，其第一次會議(HiLiftPW-I)已于2010年6月在美國舉行,文獻[60]是該次會議的總結。在上述工作的基礎上，2013年1月AIAA又進一步在其ASM會議過程中形成了以加拿大McHill大學Nadarajah教授為首的空氣動力優化設計討論組，作為空氣動力優化設計計算系列研討會實際的組委會。討論組討論了：1）建立可供在一個有約束的設計空間中測試氣動優化方法的一組標準算例。2）舉行研討會的時間。與會者一致認為，由于工業界對基于CFD的氣動外形數值優化方法有強烈的需求，優化方法和工具的研制也已有了相當的發展，可以以類似于DPW的研討會形式，通過對一系列復雜氣動外形的優化，來評估現有的尋求最小阻力外形的各種優化方法的能力，并將結果向工業界/研究機構公布。與會者還認為第一次會議從二維和三維機翼外形開始是合適的，并請加拿大的與會者準備標準算例。第一次會議擬于2013或2014年的AIAA應用空氣動力會議期間舉行。

2.先導性的研究

事實上為準備此研討會，波音的Vassberg，斯坦福的Jameson，以色列的Epstein及Peigin等三方從2007年起即開始了先導性的研究（pilotproject）,以積累經驗和發現問題。三方用各自己開發的優化軟件（MDOPT，SYN107，OPTIMAS）對第三屆DPW會議的測試機翼DPW-W1獨立地作優化計算[61,62]。波音研制的MDOPT[63]（也可參見文獻[13]的1.7.3節）可使用響應面模型（InterpolatedRe-sponseSurface—IRS）的數值優化格式[64]，也可直接從流場解計算設計變量的靈敏度代替IRS模型完成優化。其流場解軟件為TLNS3D[65]，計算網格點為3582225。Jameson開發的SYN107采用基于梯度的“連續”伴隨方程方法[23,31]，其流場解軟件為FLO107，計算網格點為818,547。

以色列航空公司開發的OPTIMAS采用降階模型的GA算法，流場解軟件為NES[66-68]，計算網格點為250,000。對三方獨立優化后所得的外形再用不參與優化的流場解軟件OVERFLOW[69]作評估計算，計算網格點數為4,000,000，以便能準確地計算阻力。結果表明，4個分析軟件計算得到的阻力增量值的分散度在Ma=0.76時為5counts(1count=0.0001)，Ma=0.78時為10counts，因此很難確定哪個優化后外形最優。但從Ma=0.76，C=0.5單設計點的阻力改進結果（表1）[61]看，OPTIMAS優化后的04外形明顯優于MDOPT優化后的M5和SYN107優化后的S4。文獻[61]還討論了從比較中可吸取的經驗和教訓。

一種基于高可信度CFD模型的數值

優化方法的構造本節將以OPTIMAS為例對如何滿足可應用于工程實踐的高可信度CFD模型數值優化方法的要求做一說明。

1.優化方法的構造及其特點

OPTIMAS是將遺傳優化算法和求解全N-S方程的分析算法相結合的一種有效并魯棒的三維機翼優化方法。1)其全N-S方程的流場并行解算器NES[66-67]基于高階低耗散的ENO概念（適用于在多區點對點對接網格中的多重網格計算）[66,71]和通量插值技術相結合的數值格式，采用SA湍流模型，可快速準確地完成氣動力計算，因此具有計算大量不同流動和幾何條件的魯棒性。作為例子圖3和4給出了ARA翼身組合體Ma=0.80，Re=13.110時的升阻極線和CL=0.40時的阻力發散曲線[68]，使用的網格點數分別為，細網格（3lev）：900,000，中等網格（2lev）：115,000。可見升阻極線直到大升力狀態的計算與實驗都很一致。對比圖中還給出的TLNS3D在細網格（2,000,000）中的計算值可見，無論升阻極線或阻力發散曲線NES的都更優。作為數值優化軟件的特點之一是其在流場解算器中首次使用了高精度格式。2)優化計算的遺傳算法中采用了十進制編碼、聯賽選擇算子[42]、算術交叉算子、非均勻實數編碼變異算子[72]和最佳保留機制。為解決搜索時總體尋優耗時大和求解N-S方程估算適應函數代價高的問題，在尋優過程中估算適應函數時采用當地數據庫中的降階模型[54,58]獲取流場解（當地數據庫是在搜索空間中離散的基本點處求解全N-S方程建立的），并以多區預測-修正方法來彌補這種近似帶來的誤差。多區預測-修正方法即在搜索空間的多個區域并行搜索得到各區的優化點，再通過求解全N-S方程的驗證取得最優點。為保證優化的收斂，尋優過程采用了迭代方法。3)在整個空間構筑尋優路徑（圖5），擴大了搜索空間和估算適應函數的區間[54]。4）為提高計算效率，OPTIMAS包含了五重并行計算：Level1并行地求解N-S方程Level2并行地掃描多個幾何區域，提供多個外形的適應函數的計算（level1隱于level2中）。Level3并行的GA優化過程（level3隱于level4中）。Level4并行地GA搜索多個空間。Level5并行地生成網格。5）采用單參數或雙參數的BezierSpline函數對搜索空間參數化;并基于優化外形與原始外形的拓撲相似自動地實現空間網格的快速變換。

2.優化設計的典型結果

文獻[53]~文獻[58]給出的大量算例充分表明了OPTIMAS優化軟件的優異性能。本文5.2中給出了其優化三維機翼的性能，這里再補充兩例。1）翼身組合體整流（fairing）外形的優化文獻[73]討論了某公務機翼身組合體機翼外形優化的單點和多點設計兩者性能的比較。結果表明，多點優化設計能同時保證設計的巡航狀態時，和高Ma數飛行，起飛等非設計狀態時的良好性能。文獻[74]進一步討論了翼身組合體整流外形的優化設計。流動的復雜性（三維粘流/無粘流強相互作用的流動區域）和幾何的復雜性（三維非線性表面）使整流外形的設計經歷了傳統的試湊法，基于Euler解的試湊法等，最后才發展為現代完全N-S解的數值優化方法。文獻[74]采用了這種方法，先作機翼外形優化，再作整流外形優化，然后再作機翼優化，整流外形優化，……依次迭代，直至收斂。優化中用雙參數的BezierSpline函數將整流外形參數化，所得搜索空間的維數ND=（2N-2）*（M-1）決定的參數化整流外形與實際外形的差別在M=10，N=4，ND=54時可準確到0.3mm（滿足工程需求）。計算網格數為90萬。表3給出了設計條件和約束，表4給出了設計點的阻力值比較。由表4可知，GBJ2的減阻為16.7，50%DC，GBJFR1的減阻為10.7，32.1%DC，GBJFR2的減阻為5.9，兩次優化機翼的減阻總計為22.6，67.9%DC，優化機翼和優化整流外形減阻作用分別約占2/3和1/3，可見整流外形的優化也是十分重要的。約束則使減阻損失4.6（如GBJFR3-GBJFR1）。圖6至圖9分別為原始外形，GBJ2，GBJFR2和GBJFR4的整流處等壓線分布，可見整流外形的優化消除了原始外形和GBJ2中存在的激波。圖10和圖11分別給出了Ma=0.8時升阻極線和CL=0.4時阻力發散曲線的比較，可見優化設計不僅對設計點，對非設計狀態也都有好處。2）翼身融合體飛機氣動外形的優化[75]優化設計以英國克朗菲爾德大學設計的BWB外形[76]為出發外形，該外形的主要設計點為，。在數值優化計算中還考慮了，的第二個設計點和，（起飛狀態）的第三個設計點。幾何約束有剖面相對厚度，前緣半徑，后緣角，每個剖面的樑處還附加兩個厚度約束，其中上標b表示出發外形，*表示優化外形，下標i表示第i個剖面。附加的空氣動力約束為對俯仰力矩的規定。采用Bezier樣條描述幾何外形，總設計變量為93個。表5給出了設計計算各狀態的條件和約束，其中是權系數。表6給出了優化計算結果。#p#分頁標題#e#

單點優化的BWB-1結果與文獻[77]的結果相比較可見，文獻[77]采用Euler方程的無黏優化使阻力降低了26counts；而這里的BWB-1全N-S方程優化使阻力降低了52counts，顯示了此黏性優化方法的優點。比較有、無俯仰力矩約束時優化得到的BWB-2和BWB-1表明，盡管BWB-1阻力降低的效果突出，但其值過大，出于穩定性考慮而不能接受；BWB-2的阻力雖比BWB-1大了1.9counts，卻滿足了力矩的要求。表6中的雙點優化設計（BWB-4），使第三設計點（低速狀態）的達到1.671（消除了BWB-2達不到設計要求1.63的缺點），且基本保持了主設計點的阻力收益，為196.6。然而BWB-4在時的阻力達216.6，高于BWB-2的213.4，表明需要三個設計點的優化設計（BWB-3）。BWB-3在時，為202.5（比兩點設計值減小了14.1），同時滿足了其它兩個設計點的性能要求。圖12至圖15給出了所有設計狀態和時的極曲線，時的阻力發散曲線和時的隨迎角α變化的曲線。由圖可見，時所有優化設計的極曲線都非常接近，相比于原始外形的極曲線，性能有了很大改進；時也一樣，特別是三點優化設計的BWB-3，優點更明顯。阻力發散曲線也都有了很大改進，在前所有的總阻力基本保持常值，單點與兩點優化的阻力發散點接近，而三點優化的可達附近。由圖15可知，沒有考慮低速目標的BWB-1和BWB-2具有較低的，將低速目標計入設計狀態的BWB-3和BWB-4所得的皆優于原始外形的。上述結果表明三點優化設計具有最佳的優化效果和總體最好的氣動性能。Fig.15LiftcoefficientCLvsangleofattackatMa=0.2最后，上述各優化結果在（主設計點）時的阻力值基本相同，但幾何外形卻差別不小，由此可見，外形阻力優化問題沒有唯一解[75]。上述計算是在具有456GBRAM，114MB二級高速緩存的機群環境下通過“過夜”方式完成單點優化設計，在1.5-2天的計算時間內完成三點優化設計的，計算時間可滿足應用于工程設計的要求[75]。

結束語

數值方法范文第3篇

1概述

隨著科學技術水平的不斷提高和工程建設規模的不斷擴大，在土木建筑、水利工程和路橋工程中樁基承載力、沉降量大小和堤壩穩定性等力學問題變得十分復雜。而事實上，軟土路基呈現出空間非線性沉降變形規律，土體的變形協調條件和應力平衡條件也十分復雜。這些問題已經很少能用數學方法求得精確解或通過模擬試驗得到定量解，大多數課題必須借助于計算機和計算數學用數值分析的方法求出近似解。目前用于地基沉降量分析的數值方法主要是差分法、有限元法和邊界元法，其發展趨勢是有限元法與差分法或與邊界元法相結合解決課題，以發揮各種方法的優越性。

2分析方法解析

2.1差分法

差分法的基本精神就是將研究區域用差分網格離散，對每一個節點通過差商代替導數把固結微分方程化成差分方程，然后結合初始條件和邊界條件，求解線性方程組得到數值解。

以平面問題為例，差分法可得到所研究平面內在各個時間的孔隙壓力的分布，因此可以導出初始沉降Si與任何時間t的總沉降S或固結沉降量Sc。由于土的豎向應變為

（2.1）

地基中沿著某一鉛垂線的沉降為：

（2.2）

H為有效壓縮層厚度。由于上式中采用不排水指標，，，所以孔隙壓力，應用總應力來計算。總沉降為：

（2.3）

式中，E和隨有效應力而變化，因此上式可算得任意時間的總沉降。任何時間的固結沉降為。當計算最終總沉降時，式中的孔隙壓力。

2.1有限元法

有限元是地基和結構作為一個整體來分析，將其劃分網格，形成離散體結構，形成有限數目的區域單元，這些單元體只在結點處有力的聯系。材料的應力－應變關系可表示為

（2.4）

由虛位移原理可建立單元體的結點力與結點位移之間的關系，進而寫出總體平衡方程：

（2.5）

式中，分別為勁度矩陣，結點位移列陣和結點荷載列陣。然后結合初始和邊界條件求解線性方程組，在荷載作用下算得任一時刻地基和結構各點的位移和應力，得到問題的數值解。有限元法可以將地基作為二維甚至三維問題來考慮，反映了側向變形的影響[1]。

（1）彈性有限元法

土的彈性應力——應變數學模型包括線性和非線性彈性模型兩種。用線性彈性模型計算地基的位移和沉降，只適用于不排水加荷情況，并且對破壞要有較大的安全系數，一般不發生屈服的情況。實際上土體中的應力狀態都可能發生屈服，其應力——應變的關系是非線性的。此外，除了理論建模還可通過試驗擬合的途徑，即根據土體的應力應變試驗曲線，用彈性系數的連續變化來逼近真實的試驗曲線建立起各種不同形式的非線性彈性模型[49]，第一種是以E（彈性模量）和μ（泊松比）兩個彈性常數表達的，稱E-μ彈性模型，第二種是以K（彈性體積模量）和G（剪切模量）兩個彈性常數表達的，稱K－G模型。另外一種是南京水利科學研究所采用的非線性的變彈性體模型，它的特點是不用常規的彈性常數，改用兩個非線性函數，來表達應力與應變之間的關系。

典型的E-μ彈性模型是Duncan-Chang的雙曲線模型。Duncan-Chang的雙曲線模型可以考慮應力歷史對變形的影響，若應力低于或高于前期固結應力，則采用不同的彈性模量計算公式。它還可考慮土與結構共同工作，考慮復雜的邊界條件，考慮施工逐級加荷，考慮土層的各向異性等。

土體在路堤荷載作用下的變形過程，伴隨著主應力大小的不斷變化及主應力方向的不斷偏轉，土的彈性模量及泊松比也隨之改變。路基真實應力場為初始應力場疊加上由路堤填筑荷載引起的附加應力場。假定路堤填筑荷載引起的附加應力場可近似采用同樣荷載作用下在線彈性半空間無限體所產生的附加應力場。采用鄧肯－張非線性模型描述土體本構關系，由于路基縱向應變為零，則其增量形式的本構關系可表示為[2]：

（2.6）

式中：，分別為切線彈性模量和切線泊松比，可表示為：

鄧肯－張模型含有8個參數須三軸排水試驗確定。

K-G彈性模型用三軸等向壓縮試驗測p和體積應變，由此建立K的公式。Naylor取切線體積模量為p的線性函數，即：

（3.34）

由三軸剪切試驗可建立切線模量的公式：

（3.35）

參數均由三軸試驗確定。

（2）彈塑性有限元法

土的彈塑性模型將土的應變分為可以恢復的彈性應變和不可恢復的塑性應變兩部分。彈性應變增量可以用彈性理論計算，塑性應變增量可以用增量塑性理論求解。土的彈塑性計算模型一般分為理想塑性和硬（軟）化塑性模型2種。

彈性非線性模型是假定全部變形都是彈性的，用改變彈性常數的方法來反映非線性；彈塑性模型則把總的變形分成彈性變形和塑性變形兩部分，用虎克定律計算彈性變形部分，用塑性理論來求解塑性變形部分。典型的彈塑性應力－應變模型有：劍橋模型、修正劍橋模型、拉德模型、橢圓－拋物雙屈服面模型、沈珠江雙屈服面彈塑性模型、“空間準滑面”模型（SMP模型）等[3]。

3結語

土的應力－應變關系非常復雜，任何模型都有它的局限性。過去利用E-μ彈性模型和K-G彈性模型，雖然對壩和地基的應力應變分析都曾作出有意義的貢獻，但它們都忽視了土的剪脹性和應力路徑的影響。而劍橋模型只適用于只有剪縮而沒有剪脹的正常固結粘土與松砂。計算時要找出一個數學模型來全面正確地表達土的這種特性是難以想象的。

參 考 文 獻

1 錢家歡，殷宗澤. 土工原理與計算（第二版）. 北京：中國水利水電出版社，1996

2 費正華，鄧水明. 應用鄧肯－張非線性模型近似計算路基沉降. 中南公路工程，2001

3 河海大學，江蘇寧滬高速公路股份有限公司. 交通土建軟土地基工程手冊. 北京：人民交通出版社，2001

4 Casagrande,A. Classification and Identification of soils,Trans.ASCE,113,1948:901-991

數值方法范文第4篇

關鍵詞： 特殊角三角函數值 數形結合 函數圖像 函數單調性

高一下學期一開始，教學內容就進入了三角函數。這一節公式很多，需要記憶的東西很多，但是只要學生能夠每天定時定量地練習題目，公式自然能夠熟練應用，而且爛熟于心。而且學生本身對公式也比較重視，因為公式的各種靈活運用，能夠激發學生的興趣。他們做完一道題目之后，會互相討論，看還有沒有其他方法。這源于筆者平時在教學過程中不斷地鼓勵學生去思考、去總結，不但要學會，而且要會學；把新課標強調的“提高學生自主學習能力和探究學習能力”這一思想。盡管公式學生已經很熟悉了，但是仍有學生會在三角函數的題目上卡住。為什么呢？因為這一節還出現了大量的特殊角，如30°，45°，120°，甚至還有75°。學生覺得特殊角不如公式靈活，只能去死記硬背。因為對特殊角不熟悉，導致他們看到，卻不知道這就是tan60°；看到cos120°，還要苦想該用哪個誘導公式來誘導。雖然他們不止一次地體會到特殊角的重要性，但是他們仍不能接受硬背這樣傳統的學習方法。隨著高一課程的結束，高二的解析幾何、立體幾何中仍舊會出現這些特殊角。現在學生若是沒有記住，到了高二的時候怎么辦？

針對這個問題，筆者查閱了很多資料，大概是這個問題基本都是靠硬背來解決，因此所能找到的資料甚少。一個偶然的機會，筆者看到學生在算sin30°的時候，畫了一個30°的直角三角形，很顯然這個方法不能解決sin210°，但是筆者還是表揚了這個學生，因為他在想辦法解決問題。這個發現使筆者體會到，通過高一上函數部分的強化，學生現在已經有了畫圖解決問題的思想，能不能用數形結合的辦法來解決這個一直讓學生比較頭痛的問題呢？其實學生在特殊角這部分暴露的問題很明顯，對［0，90°］范圍內的角度接觸時間較久，比較熟悉，只是對高中階段才推廣的“大”角比較陌生。通過跟學生共同探討，筆者發現以下幾個方法比較適用。

一、利用三角函數圖像

y=sinx， y=cosx， y=tanx的圖像，在教材里面有三節內容，對它們的圖像和性質研究是三角函數部分的重點內容。因此，若學生產能夠畫出它們的圖像，不要說cos150°，哪怕是sin225°，或者是更大的角，也能夠一眼看出。但這種方法的前提條件是，學生必須得記住這三個三角函數圖像。

二、 利用直角坐標系

以sin225°為例，在平面直角坐標系中，畫出225°所在的終邊，再做出它的延長線，這樣在第一象限內就出現了一個以它的延長線為終邊的角，而此時學生就可選取非常熟悉的45°為此延長線的代表角。接下來做的事情，只需在延長線上取點P（x，y）。由圖像可知，兩線關于原點對稱，故此，兩線上的點的縱橫坐標均互為相反數，則在原線上可以作出P點關于原點的對稱點P′（x，y），由任意角三角函數的定義即可得出sin225°==- =- sin45°=- 。通過剛才的推導過程，也可以得出這樣的結論：若兩角的終邊關于原點對稱，則它們的正弦值（或余弦值）互為相反數。這個結論的得出，讓學生知道了第三象限的角與他們熟悉的［0，90°］的角的關系，自然他們想到了第二象限和第四象限。

通過剛才的推導可知：若兩角終邊關于y軸對稱，則它們的余弦值互為相反數，正弦值相等。從另一個方面來看，這兩個角為互補的關系，所以剛才得出的結論也可敘述為：互補的兩角正弦值相等，余弦值相反。第四象限的角推導過程與上述過程類似。通過作出其關于x軸的對稱軸可知：若兩角終邊關于x軸對稱，則它們的余弦值相等，正弦值互為相反數。

綜上可知，若要解決特殊角的三角函數值，只需要在坐標系中，畫出它的終邊所在的位置，通過做它關于原點（或x軸、或y軸）對稱線，找出第一象限我們非常熟悉的角，判斷出符號即可。

三、利用函數單調性

對于某些連［0，90°］都記不住的學生，除了用本文一開始提出的畫特殊三角形以外，還可以利用三角函數本身的單調性。由于特殊角的三角函數值只有幾個數值：0，，，，1，聯系y=sinx在［0，90°］內單調遞增，故對號入座，sin0°=0，sin30°=，sin45°=，sin60°=，sin90°=1，相應余弦值則可通過直角三角形里得出的結論，互余的兩角正余弦值互換得到。對于數值比較麻煩的15°和75°，我們可以通過構造成兩角和或兩角差的方法，快速算出它們對應的三角函數值。

筆者提出了這幾個方法后，很多學生都不再覺得特殊角三角函數值很難背了。究其原因，是在筆者提出的方法的基礎上，他們非常熟練地運用函數圖像、函數單調性等函數知識。這些方法中所涉及的數形結合思想，鍛煉了他們的數學思維能力，記憶的過程也成為了他們思考問題的過程。學生覺得學有所得，學有所用，這些特殊角三角函數值的記憶過程不再是枯燥無趣的幾個數字，而是生動形象的圖像、函數知識。而且，在這一過程中所涉及的數形結合方法，其本身就是高中數學階段重要方法之一。

參考文獻：

數值方法范文第5篇

【關鍵詞】地鐵；火災；數值模擬

隨著城市的發展，地鐵已經成為城市交通的命脈。人們大多喜歡乘坐地鐵出行，高峰時期地鐵中人員密度非常大。由于地鐵火災的特征不同于地面建筑，當地鐵發生火災時及易造成嚴重的財產損失和人員傷亡。地鐵火災實驗很難進行，為了便于問題的探討，常選擇數值模擬的方法來對其進行研究。[1]

1.地鐵車站模型選擇

為了便于問題的研究，地鐵站火災模擬中選取沈陽地區典型淺埋島式地鐵車站為研究對象。車站公共區域通風空調系統按站廳、站臺均勻送-回（排）風設計（閉式系統）。站臺層設置軌底排風風道，排風口與剎車電阻箱對齊；軌頂排風風道，排風口與列車空調冷凝器對齊；站臺排風風道。車站空調回（排）風機兼作車站公共區消防排煙風機，回（排）風風道兼作排煙風道。站廳層送風風量為66000 m3/h，站臺層排煙量為132000m3/h。地鐵車站公共區域剖面如圖1所示，車站主體兩層結構均在地面以下。

2.地鐵車站計算區域

合理簡化計算區域，在不影響整體研究效果的情況下，適當的降低計算成本。站廳與站臺層之間的結構不作為計算區域（即忽略兩層的導熱作用）。站臺層長120m，候車區計算層高3.5m，寬11.8m；隧道出入口4個，尺寸為3.75m×5.26m；軌頂排煙口24個，尺寸為1m×0.6m；軌底排煙口48個，尺寸為0.8m×0.3m；送回風口72個，尺寸為0.5m×0.5m。站廳層長88m，寬19.3m，計算層高3.5m；送風口30個，尺寸為0.5m×0.5m；車站出入口4個，尺寸為4.5m×2.5m。

3.火源邊界條件設置

世界各國對于各種可燃物的釋熱速率并沒有明確的界定，根據香港地鐵工程技術人員的保守估計，地鐵車站公共區火災釋熱速率為2MW[2]；而英國Building Research Establish出版的報告中顯示，在人員聚集的公共場所可能的火災釋熱速率為2～2.5MW。根據文獻[3]，本次研究地鐵車站公共區域火災釋熱速率5分鐘后穩定在5MW的火災情景。

4.數值實驗方法驗證

數值模擬方法是否正確常常需要通過相應的實驗來進行驗證，但是地鐵站火災實驗很難進行。下面驗證的過程是用地鐵站火災數值模擬實驗的方法，針對已有隧道火災實驗數據來進行的對比，以表明火災數值模擬實驗方法的正確。

4.1模型建立

Kumar曾對隧道火災進行了實驗測試，隧道尺寸長390m、寬5m、高4m[4，5]。火源釋熱速率在10s內，從0線性增長到7.225MW。根據上述條件建立相應物理模型，在此基礎上采用與地鐵站火災數值模擬實驗相同的方法來進行對比。總計算時間為120s，截取部分計算區域，對數值實驗結果進行分析。

4.2數值實驗結果

自然通風情況下，120s時火源中心X=2.5m截面處，可以看到強烈對流產生的溫度分布和速度矢量分布，基本以火源為中心成對稱分布；熱煙氣向上運動，并在隧道頂部形成熱煙氣層向隧道兩端擴散，最大擴散速度為7m/s；由于煙羽流的作用，煙氣層下方的空氣向著火源方向運動，速度較慢小于2m/s，與文獻[5]的計算值相似。

4.3數值模擬實驗與實驗測試對比

圖2為距火源10m處，隧道中心線上的溫度分布和速度分布與文獻[5]的計算值和Kumar實測值的對比。速度分布相近，趨勢相同；溫度分布稍有偏差，主要是沒有考慮輻射傳熱而引起的溫度稍高，但總體趨勢相同。綜上所述，數值模擬方法可以較好的描述火災的發展過程。

5.總結與展望

在地鐵站火災數值模擬研究中，地鐵站物理模型的選擇，模擬時邊界條件的設置，數值模擬方法是否正確，都對實驗結果造成一定的影響。物理模型的選擇可以根據已有或在建的項目來構建，邊界條件的設置可以根據相關研究來確定，數值模擬方法是否正確就要和實際燃燒實驗來進行對比。

研究地鐵站發生火災時，不同防排煙系統模式下，溫度場、速度場、以及火災煙氣蔓延和排煙效果，以及列車活塞風對地鐵站火災溫度場、速度場以及煙氣蔓延的影響，對火災中人員安全疏散起到了指導作用。

參考文獻：

[1]徐碩.地鐵火災煙氣蔓延研究初探.中國科技縱橫，2011年7月（下）總第122期.

[2]李啟榮，黎少其.地鐵火災系統保障研究.香港：城市軌道交通研究，2001.

[3]楊昀，曹麗英.地鐵火災場景設計探討.自然災害學報，2006，Vol.15（4）：122～125.