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【關鍵詞】 平面向量;基底意識;坐標意識;幾何意識;投影意識;內積意識
綜觀對近幾年高考題中平面向量的思考,發現平面向量的考題中常會涉及向量的長度、夾角、和、差、數量積、投影等概念和知識點,向量試題有越來越綜合、越來越靈活的趨勢,因而在解題方法和解題工具的選擇上尤為顯得重要,選擇不恰當的方法,會比較費時、費力,且不得要領;選擇恰當時,題目甚至可以被“秒殺”,所以在具體的平面向量解題中,對向量解題意識的培養極其重要.
1.基底意識
由平面向量基本定理可知,平面內任意一向量都可用同一組基底進行唯一表示,選取恰當的基底,數形結合,用已知的基底來表示所涉及處理的向量,讓問題轉化成已知基底的運算.這種未知向已知的轉化,充分展示基底方法的優越性.
例1 如圖1在ABC中,AB=3,AC=4,∠BAC=60°,AB=3AD,AE=EC,求BE?CD的值.
圖 1分析 直接求BE?CD的值需知道BE與CD的模及夾角,顯然無法得到,因已知條件可知線段AB,AC的長與夾角.故選擇適當的兩不共線向量來表示所求的BE與CD,記AB=a,AC=b,
則a=3,b=4,a?b=6,BE=12b-a,CD=13a-b,
BE?CD=(12b-a)?(13a-b)=76a?b-12b2-13a2=-4.
2.坐標意識
將平面向量數量化,向量的坐標表示就是一種具體表現,它簡化了向量的分析、繁雜的運算,只要結合向量的坐標運算就能達到目的,這需要我們在審題時發現能否建立直角坐標系來確定一些點的坐標,從而得到所需向量的坐標,再對向量進行運算.
例2 如圖2,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,點E為BC的中點,點F為邊CD上, 若AB?AF=2,則AE?BF=
圖 2 分析 由于AB,BC的長度已知,夾角確定,因此選擇AB,AD為基底,可用基底意識解之,但對特殊圖形容易建系的情況,我們可以將向量用坐標表示加以計算,如圖以A為原點,AB為x軸,垂直于AD為y軸建系,設F(x,2),A(0,0),E(2,1),B(2,0)顯然AF=(x,2),AB=(2,0),得AB?AF=2x=2,
確定得F(1,2),故AE=(2,1),BF=(1-2,2),AE?BF=2(1-2)+1×2=2.
3.幾何意識
向量有著數與形的完美結合,向量的線性運算與數量積都有獨特的幾何意義,數形結合的思想方法的靈活運用,省時省力,可以提高解題的效率.
例3 已知a,b是平面內的兩個單位向量,a?b=12,若向量c滿足=120°,求c的最大值.
分析 本題若采用基底或坐標意識去解決都比較困難,但是用幾何法就相對比較簡單.
a?b=12,a=b=1,a,b的夾角為60°,又=120°,記 AB=a,AC=b,AD=c,則|AB|=1,|AC|=1,∠BAC=60°,∠BDC=120°,所以可以畫出圖像(圖3)且A,B,C,D四點共圓,ABC為等邊三角形,則O是ABC的外心,AD過圓心O時c的模最長,故易得cmax=233.
4.投影意識
向量的數量積的運算包括幾何法和坐標法,幾何法需確定兩向量的模與夾角等基本量,當模與夾角不確定或不易得到的情況下,很難用公式解決,而向量數量積a?b的幾何意義為a的模與b在a上的投影|b|cos的乘積,正因有了“向量的投影”的概念若將其作為一種“整體意識”加以運用,則可事半功倍.
例4 如圖4,點C是半徑為2的圓O上一動點,若弦AB=3,求AB?BC的最大值.
圖 4分析 因為AB?BC=AB?(AC-AB)=AB?AC-9,所以只需得到AB?AC的最大值,因為|AB|=3,故由AB?AC的定義知,只要求得AC在AB上的投影的最大值,則可過O作AB的平行線與圓的交點C′,得AD為AC在AB上投影的最大值,而AD=12AB+r=32+2=72,所以AB?AC=ABACcos∠C′AD≤ABAD=3×72=212,因此(AB?AC)max=212×9=32.
5.內積意識
兩向量的數量積即內積,向量的內積是平面向量的重點,事實上,平面向量的內積對長度、角度等方面有著非常廣泛的應用空間,在求解一些代數問題時,若有目的、有意識在一向量恒等式的兩邊,對同一向量進行數量積,則同樣能收到較滿意的解題效果.即當a=b,則a?c=b?c成立.
例5 已知ABC所在平面上點P滿足OP=OA+λ(ABABcosB+ACACcosC),λ∈R,則動點P的軌跡一定過ABC的
心.(填:重心,垂心,外心,內心)
“禹杰,你的作文沒有獲獎!”隨著同學們這此起彼落的聲音,我背著書包忐忑不安地來到了校門口。到了班上,許多人依然重復著說這句話。雖然我的臉上沒什么表情,一副不以為然的樣子,但內心猶如大海翻騰,久久不能平靜。這個消息象刀一樣深深得刺進我的心上,我的心碎了,徹底絕望了。我感覺眼前一片漆黑,無法繼續前進。
此刻正好陳老師進來了,她看見我的表情后,知道了是怎么回事。
她鼓勵我說:“失敗是成功之母嘛,一次失敗不用太在意,哥倫布花了14年的時間,才實現他計劃中的航行;愛迪生發明電燈失敗了1000次;你的一次小小失敗算得了什么?”我微微點點頭,聽完老師的一番話后沒有那么傷心了。“對,失敗乃成功之母,勝利不屬于那些軟弱的人,也不屬于那些遇到一點困難就退縮的人,勝利屬于那些堅強、勤奮、努力的人。”我的心里一直反復想著這句話。
晚上回家我先進行反思,總結失敗的原因。然后給自己定了計劃,多看些課外書,多累積好詞佳句,多寫些真實的文章,多請教老師。每當我想放棄努力時,就想到老師的話,又冷靜了下來,想想哥倫布,想想愛迪生,我對自己的想法感到慚愧。
《百姓生活》大展主要反映的是中國百姓衣食住行等日常生活場景。越是貼近生活捕捉到的瞬間,越是鮮活的,越是有生命力的。在這里,百名攝影師用鏡頭記錄的七彩人生展示了一個主題―瞬間永恒,愛在人間⋯⋯
“恩施杯”百名攝影師創作日程
2008年5月3日 至 7日 第一期“恩施” 創作團
2008年5月14日至18日 第二期“恩施” 創作團
2008年5月21日至25日 第三期“恩施” 創作團
比賽規則:
1、全國競評100名攝影師,每人遞交10幅(組)作品角逐20萬元創作基金。
2、珍藏作品、收藏作品、佳作作品30幅作品的作者不能重復獲獎,同時獲獎的只限外地作者。50名優秀作品的作者可以重復獲獎。
3、獲獎作品名單在《大眾攝影》網公布,請關注。
又到恩施 評委李少白
這次評選很有收獲,盡管許多畫面都是我曾經去過的地方,但還是給了我強烈的陌生感和新鮮感。如:藍建民的《梭布亞石林》,讓人們通過端正的構圖、銳利的影像、強勁的光線,感受到石林的奇特與逼真。又如章慶煌的《美麗的恩施》,光線運用得如此神妙:塊塊水田仿佛騰云駕霧般懸在空中,真可謂“此景只應天上有,人間哪能常常見!”
望著眼前這些攝自恩施的美麗照片,我仿佛又到了恩施,再次感受到了撼人心魄的自然美和藝術美!
質樸才感人 評委楊恩璞
職場麗人的生死戰之容貌之爭
美貌同樣是女人的殺手锏,尤其是擁有一位男性老板的時候……
還記得《流星花園》中兩個一見面就要比拼容貌、衣著的兩名千金小姐嗎?除了周身名牌,甚至手術整出來的鼻子都會成為她們炫耀的資本。你可以把這僅僅當作一個笑話,但女人對于美貌的比較,從來就沒有停過,即便在外人看來工作能力勝于一切的職場競爭中,美貌同樣是女人的殺手锏,尤其是擁有一位男性老板的時候。
并不是說女人生就貪慕虛榮,但總有一些人希望不勞而獲,最起碼也要走條捷徑,而施展“美人計”與老板套近乎,自然是最不吃力又頗為討好的事情。誰讓上天賜予女人美貌這一攻無不克的秘密武器呢?于是,辦公室就展開了一場宛如“后宮”般的爭寵戰。一旦有心“上位”,這些女人必然首先拉攏一批無關痛癢的同事,以此奠定自己的群眾基礎,但作為普通員工,還要小心行事,因為在這樣的爭寵戰中,得寵則雞犬升天,失寵則殃及池魚基層關系打好之后,美人攻關才是重頭戲,她們會想盡一切辦法接近老板,施展美色,地位稍有提升,必然趁熱打鐵,不遺余力攻擊對手,勢必將對手置于死地。
對于這樣的戰爭,必然要到魚死網破,一方徹底被擊敗才算為止,古人如此,現在亦如此。
職場麗人的生死戰之口水之爭
對于這種沒事就喜歡搬弄是非的女人,應對起來可就沒那么容易了……
對于依靠容貌博出位的人,其他女性同事只要置身事外,讓她們感覺自己不存在任何危險性,大可明哲保身,安心工作:但對于這種沒事就喜歡搬弄是非的女人,應對起來可就沒那么容易了。此類女人天生八卦,而且嫉妒心強,自己沒有多大的能力,但卻也看不得別人超過自己,于是就在同事之間散布各種謠言,就算不能真的將對手擊敗,也求得嘴上一時快活。
未來能夠引人注意,窺探隱私,無中生有是這種人的拿手好戲,倘若你一時氣憤,與她正面對抗,那正中了她的下懷。這種人怕的不是對罵,而是沒人理睬。所以,一旦辦公室里出現這種人,就對她敬而遠之,就好比一條狗要咬你,你總不能咬回它,最好的方法就是先躲開,再找機會還擊。只要辦公室里對她的口水言論不再興致勃勃,她也就不會再自討沒趣。
職場麗人的生死戰之能力之爭
這些女人并沒有什么深仇大恨,不過是因為證明實力、或者職場晉升而出現利益沖突……
女人不再是繡花枕頭,想做出一番成績的女性大有人在,于是,在工作場合為了展現實力而出現的明爭暗斗更是屢見不鮮。這些女人并沒有什么深仇大恨,不過是因為證明實力、或者職場晉升而出現利益;中突,因此化解起來亦不困難。首先,她們都有超強的工作能力,倘若保持敵對,必然兩敗俱傷:如果能合作無間,在各項工作上則會無堅不摧。而且,這類人的目標往往比較相近,都是想通過賺錢、升職等證明自己的價值,過上更加優質的生活。認識到這些共同的出發點,大家就沒必要爭個魚死網破,通過合作,結成“功利伙伴”,就算不能成為知己好友,能在工作上互相推進,至少也算得上聰明之舉。
職場麗人的生死戰之強強聯合
很多女性之間的合作,開始的時候就熱火朝天,宛如親生姐妹,但翻臉也常常在一夜之間……
一說到“功利”,不少人都會對它嗤之以鼻,認為那些斤斤計較的舉動非君子所為。其實,功利并不等同于勢力,那些小氣、帳面劃分得清清楚楚以至于絲毫不差的行為,只能傷害合作者之間的信任。這里所說的功利,是雙方擁有共同的奮斗目標,最好彼此在專業技能上又可以互相補充,在相互信任的前提下,共同進退。
一旦組成這樣的合作聯盟,對方的利益就與自身的利益密切相關,雙方就會努力消除猜忌,共同把事情處理妥當。不過,與男性之間的合作關系不同,女性受到情感因素的影響比較嚴重,很多女性之間的合作,開始的時候就熱火朝天,宛如親生姐妹,但翻臉也常常在一夜之間。所以,在對問題沒有達成共識之前,必須控制好自己的情緒,管好嘴巴,尤其不能出現人身攻擊,否則辛苦建立的合作關系就可能瞬間土崩瓦解。
四招教你化敵為友
正所謂“沒有永遠的敵人,卻有不變的朋友”,在競爭激烈的社會,誰都不愿意輕易樹敵。“多個敵人多堵墻,多個朋友多條路”的道理人人都懂,而你只要稍微多花點心思,就可以化干戈為玉帛。
1、明確共同目標。伙伴是因為共同的目標才走到一起,但在處理問題時,經常會因拖得過久而產生厭倦、疲沓甚至猜疑的念頭,懷疑是不是對方從中作梗才影響了進度,這時,你就要不斷強調彼此的共同目標,讓對方堅定合作的信心。
2、確定由誰作主。一單CASE必須有一個最終決定權的人,而受到情緒影響、周遭環境等因素的影響,爭奪“主事”地位的結果,必然導致伙伴關系的決裂。所以,與其誰說了都不算,不如通過專業分工來確定誰做定論。這樣,誰也不是永久的主管人,不同的問題總有一個關鍵點,或者是客戶關系、或者是方案策劃,此時,以實力論英雄是最好的解決辦法。
3、學會保護伙伴。公開伙伴有利有弊,一方面它可以增強氣勢,但同時樹大招風,也可能引來諸多不必要的麻煩。所以,聰明的人要學會隱藏合作伙伴。
首先龔老師介紹了比賽的方法和規則:“吹雞毛時要往上吹,要從紅線上面吹過去,雞毛落在哪一方的地盤上,那H一方就輸了,三局兩勝。”介紹好規則之后,激烈的比賽就拉開了帷幕,各位選手們都做好了充分的準備擺出了一副胸有成竹的架勢,拉拉隊的隊員們也做好了加油助威的準備。
男同學們吹的樣子好玩極了!有的不顧自己的形象,竟趴在地上吹了起來,逗得同學們哈哈大笑。不知“百戰百勝”隊哪位調皮的隊員,把空調的葉片朝了下,別看他們粗心大意的,可是吹起來都帶著十二分的專心。他們有的鼓著腮幫子使勁兒的吹著,有的目不轉睛地盯著在教室里飄飛的雞毛;有的措不及防,使雞毛掉在了自己的地盤上……“百戰百勝”隊就這么輸了一局,他們可是心急如焚啊!有的隊員都吵起了架。最后,在隊長的耐心指導下,終于齊心協力的打敗了對方。
別看我們是女生,但是一點兒也不比男生差哦!我榮幸的被分在女生第二組。第一組一賽好,就輪到我們上場了。雖說我們和“百戰百勝隊”一樣站在空調那一邊,但絕對不會干那種傻事。我們“蘋果隊”VS“吉利隊”的比賽正式開始了。我們學著男同學的樣子,伸長了脖子,撅著小嘴,目不轉睛地盯著雞毛,男生們也在那里興致勃勃的觀戰。可是我們總是把雞毛往黑板上吹,雞毛像一個倔強的“孩子”,總是要投向黑板姐姐的懷抱,我們費了九牛二虎之力終于把雞毛順利地吹到了對方的地盤上。耶,經過了將近20個回合,第一局我們贏了。漫長的第一局,我們的脖子都已經僵硬了。只聽龔老師一聲令下,第二局比賽又開始了,我們只好強打起精神再戰一局。這次雞毛聽話多了,不再飛到黑板上了,但一直沒有著落,終于落在了吉利隊的領域上。第二局結束了,我們贏了。“吉利隊”不服要求再戰,老師說,過幾天再戰吧!