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實數集范文第1篇

1、數學R代表集合實數集。實數集是包含所有有理數和無理數的集合，通常用大寫字母R表示。

2、數學r的意思是半徑。半徑是指在一個圓中，圓心到弧的距離。在古典幾何中，圓或圓的半徑是從其中心到其周邊的任何線段，并且在更現代的使用中，它也是其中任何一個的長度，用r表示。

（來源：文章屋網 ）

實數集范文第2篇

函數概念及表示方法是函數部分的基礎知識，主要以概念和函數的三要素及表示方法為主.近年來，函數的圖象、分段函數也成為了高考考查的熱點.在高考中，這部分內容對學生的要求不是很高，是很好的得分點，函數的表達式及對應法則等內容，仍然是高考的重要內容.下面將這一節中的知識點和考點進行梳理，并總結一些方法.

一、有關函數的一些基本概念梳理

1. 函數的定義：設A、B是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則f，對于集合A中任何一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么這樣的對應就叫做集合A到B的一個函數.也可簡單地理解為“不能一對多，可以多對一”.記作：y=f（x），x∈A.函數的定義是一種理解型的內容，主要在選擇題中考查.

2. 函數的定義域、值域：在函數y=f（x），x∈A中，自變量x的取值范圍A就是函數的定義域，而與x的值對應的y值就是函數值，函數值y的集合就是值域.

函數的定義域和值域考查的形式有很多，選擇題、填空題、以及解答題都會有出現，是高考常考的內容.在求函數的定義域時，可以按照下面這幾種方法來快速判斷和求解：

①函數是整式時，自變量x可以取任意的值，也就是定義域是全體實數.

②函數是分式函數時，一定要注意，分母不能為0，那么定義域就是除使分母為零外的一切實數.

③如果函數是偶次根式時，就要注意被開方數不能為負；是奇次根式時，被開方數可以是任意實數.

④當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1.

⑤y=tanx中，x≠kπ+

π2 （k∈Z）.

⑥含有零（負）指數冪的時候，注意底數不能為0.

⑦若函數中包含了若干個基本初等函數的四則運算，那么該函數的定義域很可能就是各基本初等函數的定義域的交集.

3. 函數的三要素：函數定義域、值域以及對應法則.

4. 相等函數：必須是除定義域相同外，函數的對應法則也相同，這樣的兩個函數才是相等函數.

二、函數的表示方法

表示函數的方法常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系.

列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.

圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應關系.

三、區間

設a，b是兩個任意實數，且a

四、分段函數

分段函數是由幾個不同區間段上的解析式組合而成的，所以分段函數的定義域是幾個不同定義域區間的并集.要注意的是：1.分段函數是一個函數，不能當成幾個函數來看.在求解函數解析式時，要先分段求解，最后結果卻要把幾個解析式合并到一起.2.求分段函數的定義域，要先求出各段函數的定義域，最后求并集.3.在求分段函數的最大值與最小值時，要先把各段函數中的最大和最小值求出來，再加以比較，得出結論.

五、映射的概念

映射的概念與函數的概念是相互聯系的，如果A、B是兩個非空集合，按照某種對應法則f，對于集合A中任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，那么這樣的對應（包括集合A，B以及A到B的對應法則f）叫做集合A到B的映射.

映射的概念不太好理解，主要可以從以下幾方面去理解：

①對于集合A、B的對應法則f是一個確定的整體系統.

②對應法則f有“方向性”，也就是集合A到集合B的對應，不能簡單地理解成A與B的對應關系.

③集合A中的每一個元素由對應法則都可以在集合B中找到一個唯一的象.

④集合A中的不同元素在集合B中對應的象可以是同一個，但集合B中不同的象在集合A中不可能有相同的原象.

⑤集合B中的每一個元素在集合A中不一定都有原象.

六、復合函數

如果y是u的函數，記為y=f（u），u又是x的函數，記為u=g（x），且g（x）的值域與f（u）的定義域的交集非空，則確定了一個y關于x的函數y=f（g（x）），這時y叫做x的復合函數，其中u叫做中間變量，y=f（u）叫做外層函數，u=g（x）叫做內層函數.

求抽象的復合函數的定義域主要有如下三種情形：

①已知f（x）的定義域為[a ，b]，求 f [u （x）]的定義域，只需求不等式a≤u（x）≤b 的解集即可.

②已知f [u（x）]的定義域為[a，b]，求 f （x）的定義域，只需求u（x）的值域.

③已知f [u （x）]的定義域為[a，b]，求f [g（x）]的定義域，就要先用上一步的方法求出f （x）的定義域然后再求解.

實數集范文第3篇

第Ⅰ卷

(選擇題

共60分)

一.選擇題:

本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.

(1)

若U={1,2,3,4},

M={1,2},N={2,3},

則=

(A)

{1,2,3}

(B)

{2}

(C)

{1,3,4}

(D)

{4}

(2)

點P從(1,0)出發,沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點,則Q的坐標為

(A)

(B)

(

(C)

(

(D)

(

(3)

已知等差數列的公差為2,若成等比數列,

則=

(A)

–4

(B)

–6

(C)

–8

(D)

–10

(4)曲線關于直線x=2對稱的曲線方程是

(A)

(B)

(C)

(D)

(5)

設z=x—y

,式中變量x和y滿足條件則z的最小值為

(A)

1

(B)

–1

(C)

3

(D)

–3

(6)

已知復數,且是實數,則實數t=

(A)

(B)

(C)

--

(D)

--

(7)

若展開式中存在常數項,則n的值可以是

(A)

8

(B)

9

(C)

10

(D)

12

(8)在ΔABC中,“A>30o”是“sinA>”的

(A)

充分而不必要條件

(B)

必要而不充分條件

(C)

充分必要條件

(D)

既不充分也必要條件

(9)若橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，線段F1F2被拋物線y2=2bx的焦點分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為

（A）

（B）

（C）

（D）

（10）如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為α，則α=

（A）（B）（C）（D）

（11）設是函數f(x)的導函數，y=的圖象

如圖所示，則y=

f(x)的圖象最有可能的是

（12）若和g(x)都是定義在實數集R上的函數，且方程有實數解，則不可能是

（A）

（B）

（C）

（D）

第Ⅱ卷

（非選擇題

共90分）

二.填空題：三大題共4小題，每小題4分，滿分16分把答案填在題中橫線上

（13）已知則不等式≤5的解集是

（14）已知平面上三點A、B、C滿足則的值等于

（15）設坐標平面內有一個質點從原點出發，沿x軸跳動，每次向正方向或負方向跳1個單位，經過5次跳動質點落在點（3，0）（允許重復過此點）處，則質點不同的運動方法共有

種（用數字作答）

（16）已知平面α和平面交于直線，P是空間一點，PAα，垂足為A，PBβ，垂足為B，且PA=1，PB=2，若點A在β內的射影與點B在α內的射影重合，則點P到的距離為

三.

解答題：本大題共6小題，滿分74分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟

（17）（本題滿分12分）

在ΔABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求bc的最大值

（18）

（本題滿分12分）

盒子中有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個，第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球（假設取到每個球的可能性都相同）記第一次與第二次取到球的標號之和為ε

（Ⅰ）求隨機變量ε的分布列；

（Ⅱ）求隨機變量ε的期望Eε

（19）（本題滿分12分）

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，

AB=，AF=1，M是線段EF的中點

（Ⅰ）求證AM∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角A—DF—B的大小；

（20）（本題滿分12分）

設曲線≥0）在點M（t,c--1）處的切線與x軸y軸所圍成的三角表面積為S（t）

（Ⅰ）求切線的方程；

（Ⅱ）求S（t）的最大值

（21）（本題滿分12分）

已知雙曲線的中心在原點，右頂點為A（1，0）點P、Q在雙

曲線的右支上，支M（m,0）到直線AP的距離為1

（Ⅰ）若直線AP的斜率為k，且，求實數m的

取值范圍；

（Ⅱ）當時，ΔAPQ的內心恰好是點M，求此雙曲

線的方程

（22）（本題滿分14分）

如圖，ΔOBC的在個頂點坐標分別為（0,0）、（1,0）、（0,2）,設P為線段BC的中點,P為線段CO的中點,P3為線段OP1的中點,對于每一個正整數n,Pn+3為線段PnPn+1的中點,令Pn的坐標為(xn,yn),

（Ⅰ）求及;

（Ⅱ）證明

(Ⅲ)若記證明是等比數列.

2004年普通高等學校招生浙江卷理工類數學試題

參考答案

一.選擇題:

本大題共12小題,每小題5分,共60分.

1.

D

2.A

3.B

4.C

5.A

6.A

7.C

8.B

9.D

10.D

11.C

12.B

二.填空題:本大題共4小題,每小題4分,滿分16分.

13.

14.

--25

15.

5

16.

三.解答題:本大題共6小題,滿分74分.

17.

(本題滿分12分)

解:

(Ⅰ)

=

=

=

=

(Ⅱ)

,

又

當且僅當

b=c=時,bc=,故bc的最大值是.

(18)

(滿分12分)

解:

(Ⅰ)由題意可得,隨機變量ε的取值是2、3、4、6、7、10

隨機變量ε的概率分布列如下

ε

2

3

4

6

7

10

P

0.09

0.24

0.16

0.18

0.24

0.09

隨機變量ε的數學期望

Eε=2×0.09+3×0.24+4×0.13+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2.

(19)

(滿分12分)

方法一

解:

(Ⅰ)記AC與BD的交點為O,連接OE,

O、M分別是AC、EF的中點，ACEF是矩形，

四邊形AOEM是平行四邊形，

AM∥OE

平面BDE，

平面BDE，

AM∥平面BDE

(Ⅱ)在平面AFD中過A作ASDF于S，連結BS，

ABAF，

ABAD，

AB平面ADF，

AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂線定理得BSDF

∠BSA是二面角A—DF—B的平面角

在RtΔASB中，

二面角A—DF—B的大小為60o

（Ⅲ）設CP=t（0≤t≤2）,作PQAB于Q，則PQ∥AD，

PQAB，PQAF，，

PQ平面ABF，平面ABF，

PQQF

在RtΔPQF中，∠FPQ=60o，

PF=2PQ

ΔPAQ為等腰直角三角形，

又ΔPAF為直角三角形，

，

所以t=1或t=3(舍去)

即點P是AC的中點

方法二

（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系

設，連接NE，

則點N、E的坐標分別是（、（0,0,1）,

=(,

又點A、M的坐標分別是

（）、（

=（

=且NE與AM不共線，

NE∥AM

又平面BDE，

平面BDE，

AM∥平面BDF

（Ⅱ）AFAB，ABAD，AF

AB平面ADF

為平面DAF的法向量

=（·=0，

=（·=0得

,NE為平面BDF的法向量

cos=

的夾角是60o

即所求二面角A—DF—B的大小是60o

（Ⅲ）設P(t,t,0)(0≤t≤)得

=（，0，0）

又PF和CD所成的角是60o

解得或（舍去），

即點P是AC的中點

（20）（滿分12分）

解：（Ⅰ）因為

所以切線的斜率為

故切線的方程為即

（Ⅱ）令y=0得x=t+1,

又令x=0得

所以S（t）=

=

從而

當（0，1）時，>0,

當（1,+∞）時,

所以S(t)的最大值為S(1)=

(21)

(滿分12分)

解:

(Ⅰ)由條件得直線AP的方程

即

因為點M到直線AP的距離為1,

即.

解得+1≤m≤3或--1≤m≤1--.

m的取值范圍是

(Ⅱ)可設雙曲線方程為

由

得.

又因為M是ΔAPQ的內心,M到AP的距離為1,所以∠MAP=45o,直線AM是∠PAQ的角平分線,且M到AQ、PQ的距離均為1因此，（不妨設P在第一象限）

直線PQ方程為

直線AP的方程y=x-1,

解得P的坐標是（2+，1+），將P點坐標代入得，

所以所求雙曲線方程為

即

（22）（滿分14分）

解：(Ⅰ)因為，

所以，又由題意可知

=

=

為常數列

(Ⅱ)將等式兩邊除以2，得

又

（Ⅲ）

=

=

實數集范文第4篇

(1)了解數的概念發展的過程和動力;

(2)了解引進虛數單位i的必要性和作用;理解i的性質.

(3)正確對復數進行分類，掌握數集之間的從屬關系;

(4)了解數系從自然數到有理數到實數再到復數擴充的基本思想.

教學建議

1.教材分析

(1)知識結構

首先簡明扼要地對已經學過的數集因生產與科學發展的需要而逐步擴充的過程作了概括;然后說明，數集的每一次擴充，對數學學科本身來說，也解決了原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，使得某些代數方程在新的數集中能夠有解。從而引出虛數單位i及其性質，接著，將數的范圍擴充到復數，并指出復數后來由于在科學技術中得到應用而進一步發展。

①從實際生產需要推進數的發展

自然數整數有理數無理數

②從解方程的需要推進數的發展

負數分數無理數虛數

(2)重點、難點分析

(一)認識數的概念的發展的動力

從正整數擴充到整數，從整數擴充到有理數，從有理數擴充到實數，數的概念是不斷發展的，其發展的動力來自兩個方面。

①解決實際問題的需要

由于計數的需要產生了自然數;為了表示具有相反意義的量的需要產生了整數;由于測量的需要產生了有理數;由于表示量與量的比值(如正方形對角線的長度與邊長的比值)的需要產生了無理數(既無限不循環小數)。

②解方程的需要。

為了使方程有解，就引進了負數;為了使方程有解，就要引進分數;為了使方程有解，就要引進無理數。

引進無理數后，我們已經能使方程永遠有解，但是，這并沒有徹底解決問題，當時，方程在實數范圍內無解。為了使方程()有解，就必須把實數概念進一步擴大，這就必須引進新的數。

(二)注意數的概念在擴大時要遵循的原則

第一，要能解決實際問題中或數學內部的矛盾。現在要解決的就是在實數集中，方程無解這一矛盾。

第二，要盡量地保留原有數集(現在是實數集)的性質，特別是它的運算性質。

(三)正確確認識數集之間的關系

①有理數就是一切形如的數，其中，所以有理數集實際就是分數集.

②“循環節不為0的循環小數也都是有理數”.

③{有理數｝={分數｝={循環小數｝，{實數｝={小數｝.

④自然數集N、整數集Z、有理數集Q、實數集R、復數集C之間有如下的包含關系：

2.教法建議

(1)注意知識的連續性：數的發展過程是漫長的，每一次發展都來自于生產、生活和計算等需要，所以在教學時要注意使學生認識到數的發展的兩個動力.

(2)創造良好的課堂氣氛：由于本節課要了解擴充實數集的必要性，所以，教師可以多向學生介紹一些數的發展過程中的一些科學史，課堂學習的氣氛可以營造成一種師生共同研究、共同交流的氣氛。

數的概念的發展

教學目的

1.使學生了解數是在人類社會的生產和生活中產生和發展起來的，了解虛數產生歷史過程;

2.理解并掌握虛數單位的定義及性質;

3.掌握復數的定義及復數的分類.

教學重點

虛數單位的定義、性質及復數的分類.

教學難點

虛數單位的性質.

教學過程

一、復習引入

原始社會，由于計數的需要產生了自然數的概念，隨著文字的產生和發展，出現了記數的符號，進而建立了自然數的概念。自然數的全體構成自然數集.

為了表示具有相反意義的量引進了正負數以及表示沒有的零，這樣將數集擴充到有理數集

有些量與量之間的比值，如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果，無法用有理數表示，為解決這種矛盾，人們又引進了無理數，有理數和無理數合并在一起，構成實數集.

數的概念是人類社會的生產和生活中產生和發展起來的，數學理論的研究和發展也推動著數的概念的發展，數已經成為現代社會生活和科學技術時刻離不開的科學語言和工具.

二、新課教學

(一)虛數的產生

我們知道，在實數范圍內，解方程是無能為力的，只有把實數集擴充到復數集才能解決.對于復數(a、b都是實數)來說，當時，就是實數;當時叫虛數，當時，叫做純虛數.可是，歷史上引進虛數，把實數集擴充到復數集可不是件容易的事，那么，歷史上是如何引進虛數的呢?

16世紀意大利米蘭學者卡當(1501—1576)在1545年發表的《重要的藝術》一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當公式”.他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時，他把答案寫成，盡管他認為和這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40.給出“虛數”這一名稱的是法國數學家笛卡爾(1596—1650)，他在《幾何學》(1637年發表)中使“虛的數’‘與“實的數”相對應，從此，虛數才流傳開來.

數系中發現一顆新星——虛數，于是引起了數學界的一片困惑，很多大數學家都不承認虛數.德國數學家菜不尼茨(1664—1716)在1702年說：“虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”.瑞士數學大師歐拉(1707—1783)說：“一切形如，習的數學式子都是不可能有的，想象的數，因為它們所表示的是負數的平方根.對于這類數，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻.”然而，真理性的東西一定可以經得住時間和空間的考驗，最終占有自己的一席之地.法國數學家達蘭貝爾(.1717—1783)在1747年指出，如果按照多項式的四則運算規則對虛數進行運算，那么它的結果總是的形式(a、b都是實數)(說明：現行教科書中沒有使用記號而使用).法國數學家棣莫佛(1667—1754)在1730年發現公式了，這就是著名的探莫佛定理.歐拉在1748年發現了有名的關系式，并且是他在《微分公式》(1777年)一文中第一次用i來表示-1的平方根，首創了用符號i作為虛數的單位.“虛數”實際上不是想象出來的，而它是確實存在的.挪威的測量學家未塞爾(1745—1818)在1779年試圖給于這種虛數以直觀的幾何解釋，并首先發表其作法，然而沒有得到學術界的重視.

德國數學家高斯(1777—1855)在1806年公布了虛數的圖象表示法，即所有實數能用一條數軸表示，同樣，虛數也能用一個平面上的點來表示.在直角坐標系中，橫軸上取對應實數a的點A，縱軸上取對應實數b的點B，并過這兩點引平行于坐標軸的直線，它們的交點C就表示復數.象這樣，由各點都對應復數的平面叫做“復平面”，后來又稱“高斯平面”.高斯在1831年，用實數組(a，b)代表復數，并建立了復數的某些運算，使得復數的某些運算也象實數一樣地“代數化”.他又在1832年第一次提出了“復數”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標法和極坐標法加以綜合.統一于表示同一復數的代數式和三角式兩種形式中，并把數軸上的點與實數—一對應，擴展為平面上的點與復數—一對應.高斯不僅把復數看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用復數與向量之間—一對應的關系，闡述了復數的幾何加法與乘法.至此，復數理論才比較完整和系統地建立起來了.

經過許多數學家長期不懈的努力，深刻探討并發展了復數理論，才使得在數學領域游蕩了200年的幽靈——虛數揭去了神秘的面紗，顯現出它的本來

面目，原來虛數不虛呵.虛數成為了數系大家庭中一員，從而實數集才擴充到了復數集.

隨著科學和技術的進步，復數理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數學本身的發展有著極其重要的意義，而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據.

(二)、虛數單位

1.規定i叫虛數單位，并規定：

實數集范文第5篇

2、因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。

3、由于任何一個整數或分數都可以化為十進制循環小數，反之，每一個十進制循環小數也能化為整數或分數，因此，有理數也可以定義為十進制循環小數。

4、有理數集是整數集的擴張。在有理數集內，加法、減法、乘法、除法（除數不為零）4種運算通行無阻。

5、有理數的大小順序的規定：如果 是正有理數，當 大于或小于 ，記作 或 。任何兩個不相等的有理數都可以比較大小。

6、有理數集與整數集的一個重要區別是，有理數集是稠密的，而整數集是密集的。將有理數依大小順序排定后，任何兩個有理數之間必定還存在其他的有理數，這就是稠密性。

7、整數集沒有這一特性，兩個相鄰的整數之間就沒有其他的整數了。

8、有理數是實數的緊密子集：每個實數都有任意接近的有理數。