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數值分析范文第1篇

關鍵詞：數值分析；數值實驗；數學建模

數值分析是一門與計算機使用密切結合的、實用性很強的課程。它內容豐富，涉及數學分析、代數、方程和泛函分析等諸多學科，研究方法深刻，有自身嚴密的科學系統。科學與工程中的數值計算已經成為各門自然科學和工程技術科學的一種重要手段，成為實驗和理論并列的一個不可缺少的環節［1］。所以數值分析既是一個基礎性的，同時也是一個應用性的數學學科，與其他學科的聯系十分緊密。那么在平時的教學中，如何取得良好的教學效果呢？本文從以下幾個方面進行探討。

一、數值分析課程的教學特點

與其它純數學理論課程相比，數值分析除了具備數學的高度抽象性與嚴密科學性的特點之外，又有應用的廣泛性與實際試驗的高度技術性的特點。具體來說，這門課程具有以下的教學特點：

1.知識面跨度大［2］

數值分析是數學與應用數學、信息與計算科學和統計學專業的必修課程，它廣泛運用多門數學學科的知識，內容包括數值逼近、數值積分、線性代數方程組的直接解法和迭代方法、非線性方程組的計算方法、矩陣特征值與特征向量的計算、常微分方程數值計算等，涉及數學分析、代數學、微分方程、泛函分析等眾多數學理論。

2.有可靠的理論分析［2］

能任意逼近并達到精度要求，對近似算法要保證收斂性和數值穩定性，還要對誤差進行分析。

3.注重理論與應用的結合

與傳統數學課程強調理論分析和邏輯推導不同，數值分析課程更注重運用這些理論構造適合計算機執行的數值方法，要根據計算機特點提供實際可行的有效算法。數值分析主要研究那些在理論上有解而用手工無法計算、必需借助計算機求解的數學問題。它的許多理論與方法本身并不是數學學科的產物，而是以“計算”為目標發展起來的。

二、教學體會

針對數值分析課程的特點，筆者認為在教學中應注重以下幾個方面：

1.教學方法上注重數值思想的傳授

計算方法這門課程最主要闡述的思想就是“近似計算”的思想。在實際的計算過程中，有許多問題的計算量非常龐大，簡單的筆算費時費力，借助計算機可以快速解決這些問題。但由于計算機本身位數的限制，以及其它誤差影響，只能進行近似計算。

（1）“誤差分析”思想。由于是近似計算，那么就存在一定的誤差，所以在計算過程中要分析誤差、控制誤差和比較誤差，只有控制好誤差才能找到好的近似值。誤差是衡量近似計算結果好壞的一個標準，例如，在求解線性方程組直接法時，通過誤差分析可以確定方程組是病態的還是良態的，只有良態的方程組才能保證解的準確性。通過分析誤差可以判斷算法的穩定性、收斂性及收斂速度。由此可見誤差分析是非常重要的。

（2）逼近和近似思想。函數逼近是數值分析方法中的主要內容之一，許多數值方法都依賴于函數逼近的思想。如，各種插值方法、數值微分和數值積分、微分方程數值解等等。函數逼近中常常采取的各種近似，利用插值函數對數值近似處理，讓學生意識到數值分析課程不是在簡單地做數學練習，而是在訓練通過對原問題的分析，如何利用已有的數學知識和工具去逼近和近似原來問題的解。逼近和近似思想作為一種全新的思維方式，它使學生認識到：不能解析或精確求解問題并不可怕，可怕的是不會和不敢利用已學數學知識去近似、簡化原來的問題，從而獲得原來問題的近似解答。

（3）“離散化”思想［6］。把求連續變量問題轉化為求離散變量問題，稱為“離散化”。一個連續的數學問題要實現上機計算，必須先進行離散化。在工程計算中，常常需要求解連續性問題，比如求微分方程的解。一般而言，微分方程很難找到解析解，所以數值求解微分方程是計算方法中的一個重要的內容。數值求解微分方程并不是依靠計算機給出微分方程的解析形式，而是依靠它近似給出微分方程在指定點的函數值。在引人離散化思想對問題離散后，可以采用各種數值方法來求解各點函數的值。通過離散化思想，原來的連續性問題變成了一個離散問題。離散化思想是數值計算的一個基本思想，現有的數值計算，幾乎完全依賴于對問題的離散化解決。離散方法一直是數值分析研究中一個很重要的方面。

（4）“迭代”思想［5］。迭代是計算機中重要的概念，也是數值分析方法中的重要的概念。在數學建模過程中，對結果可能性的猜測可以在很大程度上幫助我們在建模方向上進行選擇，使我們少走許多彎路。由于迭代方法大都只有有限的收斂區間，所以如何利用已有的信息對解進行猜測是很重要的一點，這依賴于學生在實踐中能夠綜合運用數學分析理論和各種方法的經驗。許多連續問題在轉化為離散問題后，利用迭代法可以求解離散問題。

2.多媒體課件與板書相結合的教學手段［3］

使用多媒體教學方法，能增大教學容量，提高教學效率，有利于解決重點和難點問題。多媒體教學可以在一定程度上突破時間和空間的限制，充實直觀內容，能夠較徹底地分解知識技能信息的復雜度，減少信息在大腦中從形象到抽象，再由抽象到形象的加工轉換過程，充分傳達教學意圖，并可以通過計算機的豐富表現手段突出教學重點。如，龍格現象可以用屏幕動態的顯示在哪個區間收斂，使用多媒體教學可以幫助教師在課堂上根據學生的信息反饋，進行現場分析和答疑，以人機對話方式靈活方便地進行啟發式教學。同時，精彩的多媒體課件也能激發學生的興趣，提高學生的主動性。

數值分析范文第2篇

關鍵詞：數值分析 課程改革 教與學換位思考

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）08（a）-0027-01

1 明確研究對象和任務，確保教與學有的放矢

數值分析是研究現代科學與工程計算中各種數學問題求解的數值計算方法，關于數值分析的國內外教材中涉及到的數學問題大致相同，主要包含線性代數的方程組求解，矩陣特征值特征向量的計算以及微積分和微分方程求解等，至于章節的順序安排主要有兩種，詳見參考文獻[1～2]。區別于解析解法，數值計算方法是結合計算機求解數值問題近似解的方法。所謂的數值問題[2]是指有限個輸入數據（問題的自變量、原始數據）與有限個輸出數據（待求解數據）之間函數關系的一個明確無歧義的描述。上述的數學問題不一定是數值問題，如求解一階常微分方程初值問題：

，

要求得到定義于區間[0，1]的函數解析表達式，這實際上要求無窮多個輸出，因而它不是數值問題。但利用歐拉方法選取合適的步長，求得個點處的函數值的近似值時，便成為了一個數值問題。

數值分析的研究對象就是數值問題，其主要任務是構造求解數值問題近似解的方法，并且利用計算機編程實現算法，最后通過誤差分析判定算法的收斂性和穩定性。

2 合理利用計算機軟件，讓數值分析不再抽象

目前有很多《數值分析》[1]教材嘗試了和計算機應用的結合，加入了計算機編程內容，融進了利用C語言或MATLAB軟件實踐計算方法理論的內容，也有不少同仁提出了如何搞好數值實驗教學的建議[4]，對數值分析理論與實踐并重的改革起到了推進作用。但是不同專業、不同層次的學生對數值分析的教學要求也不同。一般而言，學習數值分析這門課程的學生，可以區分為兩部分：其一是數學和計算機專業的，他們學習的主要目標是研究和創造算法；而另一部分是工科專業的，他們學習的目的主要是使用算法。由于學習目標不同，所以教材的內容、體系及側重點也應該有相應的差別。對于數學和計算機專業的學生，大都已經系統的學習過C語言，具備一定的獨立編程能力，因此，他們的學習目標應該放在對數學算法的理解和優化上，如果只是讓他們通過簡單的調用MATLAB軟件中現成的函數命令來實現算法，對他們的數學理解能力和編程水平的提高沒有多大幫助；而對于其他大多數工科專業的學生來說，不具備一定的編程能力，若是讓他們用C語言來實現算法有一定的難度，此時MATLAB卻可以發揮其處理矩陣輕松，編程簡潔以及容易入手等優勢。這也是MATLAB適用于科學和工程計算的原因。同時，MATLAB軟件還具備強大的繪圖和可視化功能，可以讓學生根據幾何圖形更直觀的觀察計算結果。可以達到“一圖勝千言”的效果，讓課堂教學不再只是冗長的數學公式和抽象的推理證明，進而調動了學生的學習興趣。

搞好數值實驗教學的重要意義在于詳細地講解數值計算方法的基本理論后，利用數學軟件將實際算例的幾種不同算法，符號解法及其圖形和數表進行實際計算效果對比，讓學生從理論和幾何直觀上觀察同一種算法取不同參數時對計算結果的影響，比較和分析不同算法在計算同一問題時的誤差大小，從而篩選出最佳算法。通過這樣相對完整的科學計算過程，使學生切實體會到學有所用的樂趣。通過教學實踐驗證效果確實不錯，越來越多的學生開始喜歡數值分析這門課程了。

3 活躍課堂教學氣氛，培養學生學習主動性

許多大學生談數學色變，在數學課堂上也不是很積極，通過觀察及與學生的交流，我發現學生對于學習目標要求很低，考試能及格就滿足了。還有的學生是認為數值分析這門課程很難，遇到聽不懂的便望而卻步了。

對于上述學生的困惑，結合自身的學習和工作經歷，我給學生反饋的建議是：教與學的換位思考。教師講課是積極主動的，而不少學生聽課是消極被動的。學生聽課只要聽明白就可以了，甚至當堂聽不懂也沒關系，課下還有自學跟復習的機會。老師講課不可以講不明白，在站上講臺之前就必須備好課，不光要清楚所講的知識點，還得清楚如何講才能讓學生更容易理解。這就需要老師具備更寬廣的知識面，只有這樣才能做到融會貫通，深入淺出。實際上，老師的備課過程也是一個學習過程，只不過較之學生要更積極更主動些，并且學習目標的定位也更高一些。綜上所述，如果學生能以老師的標準來要求自己，又怎么會學不好呢！我做過這樣的教學換位試驗，讓一位曾經覺得數值分析很難的學生提前準備一周，然后到講臺上講解一個知識點。雖然當他第一次站上講臺，面對那么多同學說話的時候有些緊張，個別地方語言表達也不夠嚴密，但是可以看出來他上課前的確下功夫準備了，最起碼他自己對該知識點基本上掌握了，再結合老師的解釋，他就會理解的更深刻。正如《為學》中所說：“學之，則難者亦易矣；不學，則易者亦難矣”。從此該學生聽課也認真了，還經常跟老師探討問題，期末考試成績也很理想。我相信對他來說，這肯定是一次受益匪淺終生難忘的學習經歷。由此可見找回自信端正態度對學習乃至工作和生活的重要性。

為師者，不僅要傳其道還要解其惑。因此，我經常跟學生探討學習心得與體會，及時了解他們在學習過程中的需求與困惑，聽取他們關于教與學的意見與建議。同時我也會結合自身的體會以及諸多同仁的經驗給予學生中肯的建議和滿意的答復。要想讓學生喜歡老師所講的課，首先要讓學生喜歡講課的老師。所以，要想成為一名受學生愛戴的優秀老師，不光要提升自身的教學科研水平，還要站在學生的角度設身處地的為學生考慮，做學生的朋友，盡可能讓枯燥的課堂教學變得如好友聊天般輕松愉快！

4 結語

數值分析作為數學基礎課程的一部分，它與高等數學、線性代數等大部分數學課程又有很大的不同。數值分析既注重理論分析又注重實踐應用，它強調結合計算機解決實際工程計算問題，所以它對數學建模課程及競賽，數學軟件和計算機編程語言的學習與應用，乃至對學生將來的工作和科研都有著重要而又深遠的影響，因此，數值分析的課程建設和教學改革是一項值得長期關注和重視的項目。

參考文獻

數值分析范文第3篇

關鍵詞：空心墩；OpenSees；纖維梁柱單元；縱筋拔出變形；滯回曲線

中圖分類號：TV331文獻標示碼：A

Numerical seismic analysis model for hollow reinforced concrete bridge piers

YANG Chun-xi

Tianjincommunicationarchitecturedesigninstitute

Abstract: Hollow reinforced concrete bridge piers are extensively used in highway and railway bridges. Simulation of the seismic behavior of hollow bridge piers is important to ensure the seismic safety of bridges. Based on fiber beam-column element and zero length rotation spring element, three hollow reinforced concrete bridge piers are modeled by using OpenSees software, in which the flexural and bond-slip deformation of the piers are considered. The simulated hysteretic curves are compared with test results. The results show that the simulated results agreed well with test results.

Key Words: Hollow bridge pier; OpenSees; fiber beam-column element; bond-slip deformation; hysteretic curves

鋼筋混凝土空心墩被廣泛應用于我國鐵路、公路橋梁中，而國內外對空心墩抗震性能認識比較缺乏，開展鋼筋混凝土空心墩的抗震數值模擬工作具有重要的工程意義[1]。孫治國基于纖維梁柱單元建立了鋼筋混凝土空心墩滯回分析模型，詳細討論了縱筋配筋、壁厚、混凝土強度、剪跨比等因素對空心墩變形能力的影響。在此基礎上設計了2個矩形薄壁空心墩試件，分別進行定軸力和變軸力下的擬靜力試驗，并指出使用修正的壓力場理論(Modified Compression Field Theory, MCFT)計算的薄壁空心墩抗剪強度最為準確[2-3]。同時，同濟大學[4]、東南大學[5]、北京工業大學[6]、長安大學[7]等單位也針對空心墩抗震問題開展了試驗研究工作，對認識空心墩抗震能力提供了基礎。

注意到目前國內外對空心墩抗震開展的數值模擬工作較少，本文基于OpenSees數值分析平臺，考慮空心墩的彎曲變形與縱筋拔出變形，建立了3個空心墩數值分析模型，并將模擬結果與試驗結果進行了對比，驗證模型正確性。

1試驗介紹

選擇3個空心墩抗震擬靜力試驗結果，并以此為依據，建立了空心墩抗震數值分析模型，并通過與試驗結果的對比驗證模型準確性。

第1個試件選取Zahn等[8]完成的空心墩抗震擬靜力試驗中的Unit11試件，高度為1600mm，外徑為400mm，內徑為212mm，剪跨比為4.0，軸壓比為0.08，縱筋配筋率為3.56%。第2個試件選取孫治國等[3]完成的薄壁空心墩試驗中的定軸力試件，橋墩高度為4000mm，截面尺寸為1000×890mm，空心部分截面尺寸為860×750mm，軸壓比為0.2，縱筋配筋率為1%。第3個試件選取Pinto等[9]完成的大比例尺矩形空心墩中的矮墩試件，截面尺寸為2740 mm×1020 mm，空心部分截面尺寸為2320 mm×860mm，軸壓比為0.09，縱筋配筋率為0.4％。需要強調，所有橋墩試件最終均發生彎曲破壞，圖1為各試件截面及配筋形式。

(a) Unit 11試件 (b) 定軸力試件

(c) 矮墩試件

圖1 空心墩截面及配筋形式

2 模型建立

2.1 混凝土本構及鋼筋材料模型

混凝土數值模型采用OpenSees中的Concrete01，該材料基于Kent-Scott-Park混凝土單軸受壓應力-應變關系，如圖2所示，k為約束效應系數，ε0為峰值應變，εu為極限應變，fc’為混凝土抗壓強度。鋼筋材料采用OpenSees中的Steel02鋼筋模型，其應力應變模型是基于Giuffre-Menegotto-Pinto模型，骨架曲線為雙折線形式。

圖2 混凝土應力-應變關系

縱筋在底座中的拔出采用Zhao Jian提出的Bond_SP01[10]材料模擬，骨架曲線如圖3所示，其中E為鋼筋彈性模量，fy為鋼筋屈服應力，Sy為屈服滑移量，fu 為極限應力，Su為極限滑移量，b為剛度折減系數。Sy計算公式如下：

(1)

式中，db為鋼筋直徑，α是局部粘結滑移參數，取0.4。fc’為混凝土強度。另根據經驗計算可得，Su=(30~40)Sy，b取(0.3~0.5)，R取(0.5~1.0)。

圖3 Bond_SP01鋼筋應力-滑移骨架曲線

2.2 數值分析模型

基于OpenSees中的纖維梁柱單元和零長度轉動彈簧單元建立數值分析模型，如圖4所示。纖維梁柱單元用于模擬橋墩的非線性彎曲變形，將Bond_SP01材料賦予零長度轉動彈簧單元，用于模擬底部縱筋拔出變形。纖維梁柱單元與零長度轉動彈簧單元基于相同的纖維劃分，唯一的區別是非線性梁柱單元截面內的鋼筋材料使用steel02，而零長度轉動彈簧單元截面內的鋼筋材料使用Bond_SP01。

圖4 數值分析模型

3 滯回曲線對比

數值模型考慮了彎曲變形和底部縱筋的拔出變形，圖5為模擬得到的Unit11試件、定軸力試件、矮墩試件墩頂滯回曲線以及與試驗結果的對比情況。

首先分析各試件承載力的對比情況，可以看出，模擬的空心墩極限荷載與試驗結果吻合很好。即數值模型在承載力角度對空心墩抗震試驗進行了很好的模擬。

然后分析模擬得到的滯回曲線初始剛度、卸載剛度及與試驗結果的對比情況。可發現所建模型也很好的模擬了各空心墩的加載和卸載段的剛度。

最后考慮各模型模擬得到的殘余位移及與試驗結果的對比，可發現Unit11試件、定軸力試件模擬的殘余位移與試驗結果基本吻合。矮墩試件模擬的滯回曲線殘余位移小于試驗結果，但總體在可接受范圍內。

綜上可以看出，本文所建數值模型準確，可對空心墩地震反應進行較為準確的模擬分析。

(a) Unit11試件

(b) 定軸力試件

(c) 矮墩試件

圖5 模擬與試驗滯回曲線的對比

4 結論

基于OpenSees平臺建立了3個考慮彎曲變形和縱筋拔出變形的空心橋墩抗震數值分析模型，并與試驗滯回曲線進行了對比。總體來看，模擬滯回曲線與試驗結果吻合較好，表明模型建立正確，并具有較高的模擬精度。

參考文獻:

[1] 孫治國,王東升,李宏男,等.鋼筋混凝土空心橋墩應用及抗震性能研究綜述[J].交通運輸工程學報,2013,13(3):22-32.

[2] 孫治國,郭迅,王東升,等.鋼筋混凝土空心墩延性變形能力分析[J].鐵道學報.2012,34(1):91-96.

[3] 孫治國,王東升,郭迅,等.地震作用下RC薄壁空心墩抗剪強度比較研究[J].土木工程學報.2013,46(12):81-89.

[4] 羅征,李建中.低周往復荷載下空心矩形墩抗震性能試驗研究[J].振動與沖擊,2013,32(8):183-188.

[5] 宗周紅,夏堅,徐綽然.橋梁高墩抗震研究現狀及展望[J].東南大學學報(自然科學版),2013,43(2):445-452.

[6] 杜修力,陳明琦,韓強.鋼筋混凝土空心橋墩抗震性能試驗研究[J].振動與沖擊,2011,30(11):254-259.

[7] 崔海琴,賀拴海,宋一凡.空心矩形薄壁墩延性抗震性能試驗[J].公路交通科技,2010,27(6):58-63.

[8] ZAHN F A. Design of reinforced concrete bridge columns for strength and ductility [D]. Christchurch; University of Canterbury, 1985.

數值分析范文第4篇

【關鍵詞】巖土工程；連續介質力學；數值分析；本構理論；本構模型

1 引 言

本文首先介紹筆者對我國巖土工程數值分析現狀的調查結果，然后就巖土工程分析中的關鍵問題，如何發展巖土本構理論和數值分析在巖土工程分析中的地位這 3 個問題提出粗淺的看法。

2巖土工程分析中的關鍵問題

巖土工程分析中人們常常將用簡化的物理模型去描述復雜的工程問題，再將其轉化為數學問題并用數學方法求解。一個很典型的例子是，飽和軟黏土地基大面積堆載作用下的沉降問題被簡化為Terzaghi 一維固結物理模型，再轉化為 Terzaghi 固結方程求解。采用連續介質力學模型求解工程問題一般包括

下述方程：①運動微分方程式（包括動力和靜力分析兩大類）；②幾何方程（包括小應變分析和大應變分析兩大類）；③本構方程（即力學本構方程）。對一具體工程問題，根據具體的邊界條件和初始條件求解上述方程即可得到解答，對復雜的工程問題，一般需采用數值分析法求解。對不同的工程問題采用連續介質力學模型求解，所用的運動微分方程式和幾何方程是相同的，不同的是本構方程、邊界條件和初始條件。當材料為線性彈性體，本構方程為廣義虎克定律。將巖土材料視為多相體，采用連續介質力學模型分析巖土工程問題一般包括下述方程[2]：①運動微分方程式（包括動力和靜力分析兩大類）；②總應力= 有效應力+ 孔隙壓力（有效應力原理）；③連續方程（總體積變化為各相體積變化之和）；④幾何方程，包括小應變分析和大應變分析兩大類；⑤本構方程，即力學和滲流本構方程。

將多相體與單相體比較，基本方程多了 2 個，即有效應力原理和連續方程，且本構方程中多了滲流本構方程。對不同的巖土工程問題，基本方程中運動微分方程式、有效應力原理、連續方程和幾何方程的表達式是相同的，不同的是本構方程。對一具體巖土工程問題，根據具體的邊界條件和初始條件求解上述方程即可得到解答，一般需采用數值分析法求解。從上面分析可知，采用連續介質力學模型分析不同的巖土工程問題時，不同的是本構模型、邊界條件和初始條件。對一個具體的巖土工程問題，邊界條件和初始條件是容易確定的，而巖土的應力-應變關系十分復雜，采用的本構模型及參數對計算結果影響極大。

采用連續介質力學模型分析巖土工程問題一般需采用數值分析法求解，有限單元法對各種邊界條件和初始條件，采用的各類本構方程都有較大的適應性。土的應力-應變關系十分復雜，自 Roscoe 和他的學生建立劍橋模型至今已近半個世紀，理論上已提出數百個本構方程，但得到工程應用認可的極少，或者說還沒有。從這個角度講，采用連續介質力學模型求解巖土工程問題的關鍵問題是如何建立巖土材料的工程實用本構方程。

3 如何發展巖土本構理論的思考

Janbu 認為，反映作用與效應之間的關系稱為本構關系，力學中的虎克定律、電學中的歐姆定律、滲流學中的達西定律等反映的都是最簡單的本構關系。巖土是自然、歷史的產物，具有下述特性：土體性質區域性強，即使同一場地同一層土，沿深度和水平方向變化也很復雜；巖土體中的初始應力場復雜且難以測定；土是多相體，一般由固相、液相和氣相三相組成，土體中的三相有時很難區分，而且處不同狀態時，土的三相之間可以相互轉化。土中水的狀態又十分復雜；土體具有結構性，與土的礦物成分、形成歷史、應力歷史和環境條件等因素有關，十分復雜；土的強度、變形和滲透特性測定困難。巖土的應力-應變關系與應力路徑、加荷速率、應力水平、成分、結構、狀態等有關，土還具有剪脹性、各向異性等，因此，巖土體的本構關系十分復雜。至今人們建立的土體的本構模型類別有彈性模型、剛塑性模型、非線性彈性模型、彈塑性模型、黏彈性模型、黏彈塑性模型、邊界面模型、內時模型、多重屈服面模型、損傷模型、結構性模型等等。已建立的本構模型多達數百個，但得到工程師認可的極少，或者說還沒有。怎么走出困境？這是我們必須面對的難題。筆者認為，對土體本構模型研究應分為兩大類，科學型模型的研究和工程實用性模型的研究。科學型模型重在揭示、反映某些特殊規律，如土的剪脹性、主應力軸旋轉的影響等。該類模型也不能求全面，一個模型能反映一個或幾個特殊規律即為好模型。從事科學型模型研究是少數人，是科學家。工程實用性模型更不能求全面、通用，工程實用性模型應簡單、實用，參數少且易測定，能反映主要規律，能抓住主要矛盾，參數少且易測定即為好模型。工程實用性模型重在能夠應用于具體工程分析，多數人應從事工程實用性模型研究。研究中應重視工程類別（基坑工程、路堤工程、建筑工程等）、土類（黏性土、砂土和黃土等）和區域性（上海黏土、杭州黏土和湛江黏土等）的特性的影響，如建立適用于基坑工程分析的杭州黏土本構模型，適用于道路工程沉降分析的西黃土本構模型和適用建筑工程沉降分析的上海黏土本構模型等。工程實用性模型研究還要重視地區經驗的積累。采用考慮工程類別、土類和區域性特性影響的工程實用本構模型，應用連續介質力學理論，并結合地區經驗進行巖土工程數值分析可能是發展方向。

4數值分析在巖土工程分析中的地位

下面從巖土材料特性、巖土工程與結構工程有限元分析誤差來源分析比較和巖土工程分析方法三方面來分析數值分析在巖土工程分析中的地位。前面已經提到巖土材料是自然、歷史的產物，工程特性區域性強，巖土體中的初始應力場復雜且難以測定，土是多相體，土體中的三相有時很難區分，土中水的狀態又十分復雜。巖土的應力-應變關系與應力路徑、加荷速率、應力水平、成份、結構、狀態等有關，巖土體的本構關系十分復雜。至今尚無工程師普遍認可的工程實用的本構模型，而采用連續介質力學模型求解巖土工程問題的關鍵問題是

如何建立工程實用的巖土本構方程，這是應面對的現狀，也是考慮數值分析在巖土工程分析中的地位時必須重視的現實情況。

5結 論

通過對我國巖土工程數值分析現狀的調查研究和上述分析，筆者對巖土工程數值和解析分析的思考意見如下：

（1）基于對巖土工程分析對象――巖土材料特性的分析，并考慮巖土工程初始條件和邊界條件的復雜性，巖土工程分析很少能得到解析解，而目前巖土工程數值分析只能用于定性分析。所以，巖土工程設計要重視概念設計，重視巖土工程師的綜合判斷。巖土工程數值分析結果是巖土工程師在巖土工程分析過程中進行綜合判斷的重要依據之一。

（2）自 Roscoe 和他的學生建立劍橋模型至今已近半個世紀，各國學者已提出數百個本構方程，但得到工程應用認可的極少，或者說還沒有。從這個角度講采用連續介質力學模型求解巖土工程問題的關鍵問題是如何建立巖土的工程實用本構方程。

3）巖土工程師在充分掌握分析工程地質資料、了解土的工程性質基礎上，采用合理的物理數學模型，通過多種方法進行計算分析，然后結合工程經驗進行綜合判斷，提出設計依據。在巖土工程計算分析中應堅持因地制宜、抓主要矛盾、宜粗不宜細、宜簡不宜繁的原則。

作者簡介：

數值分析范文第5篇

關鍵詞地基承載力，塑性力學上限，最優化方法。

1前 言

地基承載力、土壓力和邊坡穩定是土力學的3個重要領域。這 3個問題都基于共同的極限平衡分析原理 ,可以采用相同的分析方法。但是 ,在長期的實踐中 ,這 3個領域各形成了自己的體系。在地基承載力領域 ,目前常用的計算方法仍然是基于 Prandtl解的各種經驗修正公式。應用塑性力學上下限原理 ,在建立地基承載力、土壓力和邊坡穩定分析統一的理論和方法方面作了大量的工作 ,但其有關的研究一直是在變分原理基礎上進行的 ,因此 ,難以擴展到具有復雜邊界和分層土體的實際工程問題中。曾提出一個基于滑楔破壞模式的分析方法 ,其普遍適用性還有待進一步論證。顯然 ,只有開發數值分析的方法 ,方可使大部分實際問題方便地獲得解答。

近期 ,筆者在二維領域應用塑性力學上限定理進行邊坡穩定的理論研究[4 ,5]。該方法從變形協調出發 ,對于一個設定的滑裂面和斜分條模式 ,建立協調的速度場 ,根據外力功和內能耗散相平衡的原理確定相應的安全系數或加載系數 ,然后應用最優化方法 ,確定對應于最小安全系數的那個臨界滑裂面和斜分條模式 (以下簡稱能量法 )。這一方法在精確地確定邊坡穩定安全系數方面獲得了成功。由于地基實際上是一個坡度為零的邊坡 ,將該成果推廣到地基承載力 ,是一個十分具有理論和實用價值的課題。

2極限分析法的理論基礎和計算步驟

2.1上限定理的基本命題

在邊坡穩定和地基承載力分析領域 ,對上限定理的描述可以用下面的命題表達(圖 1):

在塑性區 Ω*,給出一個機動可能的應變場εij* ,并在滑裂面 Γ* 上給出一個相應的速度場 V*,那么,按照下式計算獲得的外荷載T* 將比一個包含有真實的塑性區 Ω和真實的滑裂面 Γ的臨界荷載 T大或與其相等。

∫Ωσi*jεi*j dΩ +∫vdDs* = WV* + T* V*(1)

上式左邊的第一、第二項分別為塑性區內和滑裂面的內能耗散；W為塑性區土體重。因此 ,在諸多協調的位移場中給出最小的 T* 的那個一定最接近真實的臨界荷載 T。

在地基承載力問題中 ,通常定義加載系數 η* 為

η* = (T * - T0)/ T0 (2)

其中T0為地基的實際承受的外荷載 ,那么上限圖定理的命題具體化為尋找一個使 η* 獲得最小值 η的應變場和速度場。

2．2計算內能耗散

如果材料遵守莫爾-庫侖破壞準則和相關聯的流動法則，則可確認沿滑面的速度V與滑面夾角為摩擦角φ，單位面積內能耗散為（圖2）：

d D = (c cosφ u sinφ)v(3)

其中c為凝聚力；u為孔隙壓力；V為滑塊沿滑面的在單位荷載增量下產生的相對位移 ,通常稱變形速率。

2.3計算多塊體破壞模式協調的速度場

對某一邊坡的塑性區 ,將其用一系列傾斜的線分成若干楔塊 ,每一楔塊都視為剛體 ,其變形速率為 V。圖 3示出 3個塊體的系統。 V與滑面夾角為 φ,與右邊相鄰塊體的相對速度為 Vj ,V j與該兩塊體交界面的夾角為 φj。內能耗散發生于該楔塊的底面和楔塊間的界面 ,在剛體內為零。

根據位移協調要求 ,可以得到

1 (4)

1 (5)

其中Vl 和 Vr 分別為左側和右側條塊的速度 ;θj =π/2-δ+ φj, θl=π+αl-φl,θr =π+αr -φr;α為底面與 x軸正向夾角 ;δ為側面與 y軸正向夾角 ;θ為速度與正 x軸的夾角。如果將條塊的寬度取為無限小 (圖 4),還可通過積分獲得滑面上坐標為 x的條塊的絕對速度和相對速度。

V0為左端點（x=x0）的速度。在滑裂面上第k個α或φ 發生突變。上標l和代表該不連續點左和右的物理量。計算從第一個界面開始，到第 n-1個界面終止。這樣，對滑面上橫坐標為x的任意一點，其條塊絕對速度V和條塊側面的相對速度Vj 都可表達為滑面左端點x=x0處的速度V0的函數。將獲得各條塊的絕對速度和相對速度代入式 (3)再代入式 (1),其中式 (1)左側第一項可通過將Vj替代式（3）中 V獲得。消去左右側 V0 ,就可求解加載系數 η*如下。

定義

其中d W =土條重量 ;T0x, T0y分別為 T0在 x和 y軸的分量 ;L為土條側面長度 ;η′為水平地震力系數。式 (10)最后一項計及滑面上 (n -1)個 α或φ的不連續點相應的界面上的內能耗散。由式 (2)定義的加載系數可通過下式計算 :

η* = G/Gb(12)

2.4求解臨界滑動模式

陳祖煜和邵長明曾詳細介紹了對傳統的極限平衡法計算最小安全系數和臨界滑裂面的數值分析方法。最優化方法為使用計算機搜索臨界滑動模式創造了條件 ,這些研究成果可以方便地推廣到本文介紹的極限分析方法中。所不同的是 ,滑動模式和垂直條分法相比 ,增加了一個土條界面傾角 δ。每一條塊的 δ也將成為自由度。最優化方法將最終找到相應最小加載系數的滑裂面和斜分條模式。具體計算步驟通過下節 [例 2 ]介紹。

3驗證

為了驗證上述推導的正確性 ,下面通過兩個例題進行分析探討。

[例 1 ]對具有垂直表面荷載的例題 (圖 5),索科洛夫斯基 ( Sokolovski , 1954)給出的臨界垂直荷載 q的計算公式如下 :

的 q=c ctgφexp-2x)tgφ-1

其中 χ為邊坡斜面相對水平線的夾角。相應的臨界滑裂面由三段組成 ,AB , CD為直線 ,分別與邊坡線和坡頂線夾角為 μ。

μ=

BC為一對數螺旋線 ,其左右邊界線 BO和 CO分別與邊坡線和 y軸線夾角為 μ。

當邊坡處于極限狀態時 ,加載系數 η=0。對 AB ,BC和 CD段分別進行積分 ,按式 (13)確

定的 q將使按式 (10)確定的 G為零。

這一實例說明 ,本文提出的上限定理的命題可通過解析解獲得印證。

[例 2 ]某一坡角為 35°的均質邊坡 ,其水平頂面上作用一均布荷載 ,荷載方向相對鉛直

線夾角為 δ′(圖 6)。根據索科洛夫斯基 (1954)提出的滑移線方法 ,此題的理論破壞面由直線 AB , CD和對數螺旋線 BC組成 , CD和 CO分別相對鉛直線夾角 μ+ρ和 -(μ+ρ)。其中 μ = 45°-φ/ 2 ;ρ為大主應力相對鉛直線的夾角。

主要參數 :c = 720kPa ,φ = 37°,χ = 35°,δ′= 24°,理論解提供的解答是 q =6 . 228 MPa , ρ= 28. 4°。理論的滑裂面和土條側面示于圖 6線 4。滑裂面通過聯結 4個點的樣條函數形成。對設定的初始滑裂面 1和相應的斜分條模式使用式 (12)求得 η3 =0127。從這個滑裂面開始 ,進行最優化方法計算最終得臨界滑裂面和條間界面 (滑裂面 3 ,虛線 ),相應 η=01019。滑裂面 2是優化計算過程中通過隨機搜索獲得的滑裂面。如果用 5個點來模擬該滑裂面 ,則可得到 η=010028。與理論解相比 ,無論是最小加載系數 ,還是臨界滑裂面和臨界條間界面均十分接近。

通過 [例 2 ]說明 ,應用最優化方法可以自動找到相應最小加載系數 η的臨界滑裂面和相應的斜分條模式。

4能量法在地基極限承載力計算中的推廣

4．1傳統的承載力計算方法

地基極限承載力的計算包括兩個方面，一方面是允許位移的校核 ,另一方面是極限承載力的計算。對于后者， Prandtl于 1920年根據塑性力學理論導出了剛性基礎壓入無重量土中滑裂面的形狀及其相應的極限承載力計算公式。由于數學上的嚴格解答在大部分的實際問題中是不可能得到的 , Terzaghi ,Meyerhof ,Vesic等眾多學者在 Prandtl解的基礎上對承載力理論進行了研究和發展 ,最終形成地基極限承載力的近似解答。這一近似解答的一般表達式為

Nγ為一半經驗數據 ,可從地基規范承載力表中查取或用半經驗公式 (表 1)計算 ;B為基礎寬度 ;D為基礎埋深 ;γ為土容量 ; qu為地基的極限承載力 ,即 T在單位寬度上的強度。

4.2能量法在地基極限承載力計算中的應用

選取寬度 B = 17m的條形基礎進行計算分析 ,相應參數為 :c = 144. 5kPa ,γ=0. 0kN/ m3。這個例子針對土的不同內摩擦角 φ值進行計算。對于具有理論解的實例 ,使用式 (13)獲得的 qu應保證使用式 (12)獲得的 η的最小值為零。圖 7示出 φ =0°和φ = 20°兩種情況。使用同樣的初始破壞模式如圖 7 (a),應用最優化方法獲得的臨界破壞模式分別如圖 7 ( b)和 7 (c)所示 ,η分別為 01004和 01008。計算機在搜索最小 η值時 ,準確地將中部的土條側面收斂于地基的左側點 ,由此將滑裂面分為 3個區域 :荷載作用下面的三角形區域 ,對應于理論上的主動 Rankine區 ;條間界面一端收斂于一點所對應的放射形區域 ,對應于理論上的 Prandtl區;放射形區域另一端的另一個三角形區域對應理論上的被動 Rankine區。 φ=0°時 ,滑裂面形狀接近于圓弧 ;φ≠0°時 ,滑裂面形狀為兩段直線接一段對數螺旋線。這就說明 ,采用建立在塑性力學上限 解基礎上的地基極限承載力數值分析方法直接獲得了理論上嚴格的地基極限承載力解答。

表 2將一系列φ值的計算成果與理論解對比，可見成果的準確性相當穩定。所得的η值與理論值的誤差均在1%左右，而且自動搜索得到的臨界滑裂面形狀也與理論解一致。

表2 上限數值解和理論解成果對比

注：qn和 qp分別為根據數值解和理論解獲得的極限承載力 ;η= ( qn/ qp -1);q的單位為 kN/ m。

表 3比較了容重不為零情況下表 1所列的各種經驗方法的準確性 ,并示于圖 8。可見 W1F Chen的公式計算結果與采用 Prandtl的經驗公式求得的結果最為接近 ,但是在 φ值超過 25°后 ,η值為負 ,意味著高估了地基的承載力。而 Mayerhof以及 Terzaghi的方法則偏于保守。

表 3對 γ≠0情況各種不同的經驗公式和數值解成果對比

注 :下標 n,v, m,t,c分別代表數值解、采用VesicMeyerhofTerzaghi 和 W. F. Chen方法的計算成果，q的單位為 kN/ m。，

在有容重且有埋深的條件下 ,式 (15)的經驗公式將基礎兩側埋置深度以內的土重以連續均勻分布的荷載考慮 ,未能計及這部分土體的抗剪作用 ,因此不可避免地存在著一定的誤差。