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數值積分范文第1篇

關鍵詞 數值分析 數值積分 算法 Matlab實現 問題教學法

中圖法分類：G643 文獻標識碼：A

Teaching Research of Matlab Realization of Numerical Integration in

"Numerical Analysis" Curriculum for Postgraduate Students

GE Cishui

(Department of Mathematics & physics, Anhui University of Architecture, Anhui, Hefei 230022)

AbstractBased on the practical characteristics of numerical analysis curriculum, matlab realizations of numerical integrations are introduced in the teaching procedure. Combined with question-based teaching method, it aims to enhance students' understanding and application capability of numerical integration methods, helpful to train their innovation abilities.

Key wordsnumerical analysis; numerical integration; algorithm; matlab realization; question-based teaching method

0 引言

數值分析也稱為數值計算方法，是研究用計算機求數學問題近似解的方法、過程及其理論的一個數學分支。數值分析可以說是科學計算的基礎和依托，正如我國著名數學家馮康教授所說：數值分析的發展對于提高計算能力的貢獻是與新一代計算機的研制同等重要。在我國，幾乎所有工科院校碩士研究生都開設了《數值分析》課程。

Matlab是一個功能強大的科學計算平臺，它具有強大的數值計算、符號計算和可視化功能，它提供了大量的函數庫、工具箱幾乎涵蓋了所有的工程計算領域，目前Matlab已成為最為普遍的科學計算工具之一。近年來，人們已意識到在《數值分析》課程的課堂教學和實驗教學中引入Matlab科學計算軟件的重要性，Matlab軟件已替代C語言成為輔助數值分析課程教學的首選，事實上，Matlab軟件已成為諸多課程，如：自動控制理論、數字信號處理、動態系統仿真等課程的輔助教學工具，另外掌握Matlab軟件本身也對我們開展科學研究和解決工程問題至關重要。

數值積分是《數值分析》課程的重要內容之一，但各種研究生用《數值分析》教材講解數值積分理論與方法時，對數值積分的軟件實現則不加介紹或介紹較少，且融入不夠，特別對多元函數的數值積分，僅僅以矩形區域上二重積分為例作簡單介紹，這遠遠不能滿足工科研究生的學習和應用需要。

本文根據《數值分析》課程的實踐性特點，在數值積分的教學中融入Matlab實現問題的教學，結合問題教學法，以提高學生對數值積分方法的理解和應用能力，有利于工科研究生創新能力的培養。

1 數值積分Matlab實現的問題教學法

數值積分計算的問題很多，如振蕩積分問題、無界區域上函數積分問題、無界函數積分問題、高維積分問題等等，但從Matlab實現上來說，到目前Matlab系統還沒有直接提供一般區域上的三元及三元以上函數的數值積分指令等。

利用問題教學法來討論和解決數值積分問題的Matlab實現，可以激發學生學習的興趣，從所求解問題的性質上找原因、從算法上找原因，積極思維，努力給出解決實際問題的方案，提高綜合應用來解決實際問題的能力。

下面列舉三個數值積分的Matlab實現問題，來說明問題教學法在課堂教學或實驗教學中的應用。

1.1 定積分exsin(1000x)dx的計算問題

下面三種方法以及獲得的結果

（1）quad(@(x)exp(x).*sin(1000*x),0,pi)

運行該指令后顯示：Warning: Maximum function count exceeded; singularity likely.

顯示結果： -3.917208719625272

（2）quadl(@(x)exp(x).*sin(1000*x),0,pi)

運行該指令后顯示：Warning: Maximum function count exceeded; singularity likely.顯示結果：1.722039000823277

（3）quadgk(@(x)exp(x).*sin(1000*x),0,pi)

顯示結果：-0.022140670492099

提出問題：為什么上面三種方法獲得的結果會不同呢？

問題分析：這是 = 1000的高頻振蕩積分問題，quad指令和quadl指令采用的算法不大適合求振蕩積分，所給結果不正確。由于本定積分的被積函數的原函數是初等函數，所以可用int指令來獲得正確結果：

syms x

vpa(int(exp(x)*sin(1000*x),0,pi),16)

顯示結果：0.02214067049210878

quadgk有一定的求振蕩積分的功能，上述（3）中所給結果精度較高。注意當振蕩頻率再高時，如計算exsin(1000x)dx，此時若用指令

quadgk(@(x)exp(x).*sin(10000*x),0,pi)，

計算結果也會出現錯誤，為獲得正確的結果，必須設置較高的“MaxIntervalCount”，如采用指令：quadgk(fun,0,pi,'MaxIntervalCount',10000)。由上可知，求高頻振蕩積分必須選用quadgk指令、設置較高的“MaxIntervalCount”選項值。

1.2 二重積分的計算問題，其中D是由拋物線y = x2，直線x = 10以及x軸所圍成的區域

二重積分的計算問題首先要轉化為累次積分的計算問題，上述問題可轉化為計算，計算此累次積分方法很多，例如下面指令：

（1）dblquad(@(x,y)(x.^2+y).*sin(x+y.^2).*(y>=0 & y

1e-6, @quadl)

顯示結果：-70.483695211568843，運行時間：19.962813 秒

（2）quad2d(@(x,y)(x.^2+y).*sin(x+y), 0, 10, 0, @(x)x.^2, 'Abstol',1e-6)

顯示結果：-70.483662809994698，運行時間：0.485997 秒

（3）quad2dggen(@y,x)(x.^2+y).*sin(x+y),@(x), @(x)x.^2, 0, 10, 1e-6)

顯示結果：-70.483662809308356，運行時間：0.105659 秒

問題：為什么上面三種方法所需時間相差數十倍乃至上百倍？

分析：方法（1）是將一般的積分區域“延拓”為矩形區域，利用dblquad指令計算，這樣不可避免地進行了很多0乘運算，費時低效；方法（2）是利用Matlab系統quad2d指令，運行效率尚可，它將一般的積分區域映射到矩形區域，然后利用自適應Lobatton算法來計算，有時需要設置較高的“MaxFunEvals”選項值；方法（3）為NIT數值積分工具箱提供的方法，采用了Gauss算法，精度較高，用時最少。

運行時間的差異與指令所采用的算法有關，同時也與所要求的精度有關。若同一指令，要求的精度較高，可通過設置較小的“tol”值或“Abstol”選項值達到，而這時運行時間則會成倍增加。

1.3 三重積分的計算問題，其中由xoy坐標面與旋轉拋物面z = 16 - x2 - y2所圍成的立體區域

目前Matlab系統尚沒有直接提供一般區域上的三元及以上函數的數值積分指令，下面的方法（1）是將一般積分區域“延拓”為長方體區域，然后利用triplequad指令進行計算

（1）triplequad(@(x,y,z)(x.*z+y.^2).*log(1+x.^2+z).*(x.^2+y.^2

(z>=0 & z

運行結果：1.929759987691869e+003，運行時間：234.935393秒

問題：運行時間較長，怎樣高效解決一般立體區域上三重積分的計算問題？

分析：方法（1）是將一般積分區域積分“延拓”為長方體區域積分，這樣不可避免地引入了很多0乘運算，故費時低效。能否用解決二元函數數值積分問題的思路來解決此三重積分的計算問題呢？效果較方法（1）如何？

為此先將上面三重積分轉化為累次積分

然后利用一元函數和二元函數數值積分指令以及Matlab系統提供的函數arrayfun，進行組合來求一般立體區域上三元函數的數值積分，方法如下：

（2）quad2d(@(x,y) arrayfun(@(x,y)quadgk(@(z)(x.*z+y.^2).*log(1+x.^2+z), ...

0,16-x.^2-y.^2),x,y),-4,4,@(x)-sqrt(16-x.^2),@(x)sqrt(16-x.^2))

運行結果：1.930186638624715e+003，運行時間：4.925542秒

（3）quadgk(@(z) arrayfun(@(z)quad2d(@(x,y)(x.*z+y.^2).*log(1+x.^2+z), ... -sqrt(16-z),sqrt(16-z),@(x)-sqrt(16-z-x.^2),@(x)sqrt(16-z-x.^2)),z),0,16)

運行結果：1.930186640541383e+003，運行時間：0.468731秒

方法（2）是利用quadgk+quad2d組合方法，先二重后一重，方法（3）是利用quad2d+quadgk組合方法，先一重后二重，從結果上看這兩種方法不但所獲得的結果精度較高，而且用時顯著減少，其中方法（3）運行效率更高一些。

2 結語

將數值積分的Matlab實現融入《數值分析》課程的教學，通過問題教學法在課堂教學和實驗教學中的應用，有助于學生用數值分析的理論和方法分析計算方法所暴露出的問題，找出失敗的原因和解決問題的辦法，這樣既能加深學生對數值積分方法的理解和記憶，又能提高他們解決實際問題的能力，同時還可以節省時間。

工程上涉及數值積分的問題很多，例如：涉及振蕩積分、高維積分、無界函數的數值積分等實際工程問題，都可以作為大型作業，布置給學生課后思考解答，充分發揮學生學習的自主性，鍛煉學生查閱資料和使用軟件幫助文檔功能，有利于學生綜合解決實際問題的能力和自主創新能力的培養。

基金項目：安徽省高等學校省級教學質量與教學改革工程項目“《數值分析》課程教學內容優化與組合式教學方法的探索研究”[2008jyxm325 ]

參考文獻

[1]孫志忠等.數值分析(第2版)[M].南京:東南大學出版社,2006.

[2]顏慶津.數值分析(第3版)[M].北京:北京航空航天大學出版社,2006.

[3]張志涌等.MATLAB R2010a教程[M].北京航空航天大學出版社,2010.

數值積分范文第2篇

關鍵詞：彈塑性斷裂 J積分 D-M模型 塑性區尺寸 數值模擬 ANSYS

中圖分類號：O344.3 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）05（c）-0091-03

一般脆性金屬材料，如鑄鐵等在裂紋擴展前，其端部都將出現一個塑性區。當此塑性區尺寸很小，即遠小于裂紋時，線彈性斷裂力學仍有足夠的精度。此類斷裂稱為小范圍屈服斷裂，可以采用對線彈性力學導出的應力強度因子進行修正的方法來處理。然而對于延性較好的金屬材料，如果在裂紋擴展前，塑性區尺寸已經接近甚至超過裂紋本身的尺寸，就屬于大范圍屈服斷裂問題。此時線彈性斷裂力學理論已不再適用，用應力強度因子衡量裂尖應力場強度將失去意義。這種塑性變形占較大比重的斷裂問題就要用彈塑性斷裂理論來解決，目前廣為應用的是COD原理.J積分理論等方法[1]。其中，J積分作為一個重要的斷裂參量，在彈塑性領域中能起到反映裂紋尖端應力.應變場奇異性強度的作用，因而是描述材料斷裂的一個重要判據。此外J積分具有與積分路徑無關的特性，它可以避開裂尖高應變區求得可靠的結果。由于在工程應用上，彈塑性斷裂的J積分數值計算十分困難，有限元法便成為求解J積分一個很重要的手段。

1 基本理論與方程

1.1 D-M模型與常見參量

對于含裂紋薄板結構，加載時發現裂紋尖端的塑性區成扁平狀[2]，如圖（1），這就是所謂的D-M模型，即Dugdale―Barenblatt帶狀屈服區模型。它是一個彈性模型，把裂紋長度由原來的2a擴展到2（a+d），裂紋尖端前緣的塑性變形只集中在裂紋的延長線方向一長度為d應力為的窄長材料中，而2（a+d）外材料仍處于彈性狀態。基于此模型可以較好地處理具有穿透型裂紋的板的彈塑性問題，有的學者還對D-M模型進行了研究與應用[3-4]。

J積分是Rice在討論裂紋問題時提出來的，它避開直接計算裂紋尖端附近的彈塑性應力應變場，并具有與路徑無關的特性，可作為表示裂紋尖端應變集征的平均參數。COD[5]，即張開位移，是指裂紋體受載后，裂紋尖端的裂紋表面張開的位移量。一定的COD值對應于裂紋端部的一定應力與應變場強度，即可以把COD的值用作間接度量，并用符號δ表示。J積分與COD在彈塑性斷裂力學中起很重要作用，在工程中常用來作為結構安全評定的參數。

1.2 J積分解析式的求解

下面以均勻受拉的中心穿透裂紋為例，求基于D-M模型的理想彈塑性材料下J積分的解析解。分為兩個步驟：（1）D-M模型下，J積分與COD的關系。（2）D-M模型下，裂紋尖端張開位移，即COD。

步驟1 J積分與COD的關系

在圖（1）所示裂紋尖端取回路ABC，即圍繞塑性區的一個回路求J積分。

J=

沿AB BC段dy=0 ds=dx及=

所以J= （1）

又由式（1）得J= （2）

步驟2 裂紋尖端張開位移COD

裂尖張開位移δ可以由圖（2）中的（a）與（b）的COD疊加而成。

圖（a）與（b）情況下的應力強度因子[6]分別為：

由彈塑性裂紋特性知，裂尖處，解得

（3）

在x=a處，圖（a）與（b）的裂紋張開位移分別為

裂尖的張開位移 （4）

綜上，結合式（2）（3），得 （5）

此即為D-M模型下彈塑性材料J積分解析解表達式。

2 彈塑性J積分的有限元模擬

2.1 彈塑性J積分算例

以均勻受拉的中心穿透裂紋板為計算模型，平面應力狀態，幾何模型如圖（3）所示。2a=50 mm，2b=200 mm，2h=400 mm.材料的屈服應力Mpa，E=205000Mpa，。由對稱性可取模型進行建模分析[7-8]，全模型網格劃分如圖（4）所示。

2.2 分析與討論

2.2.1 J積分大小隨裂紋長度的變化情況

為了方便表示，用作為裂紋長度的表征參數。取不同的裂紋長度，ANSYS分析程序給出的J積分值，并與D-M模型的解析解 式（4）進行比較，列于表1。從表中可以看出，J積分隨著裂紋半長度a增大而幾乎成線性增大。從誤差在允許范圍內知，ANSYS等有限元軟件可較準確的求得J積分的值，從而為工程應用提供了方便與可行性。

2.2.2 J積分大小隨外荷載的變化情況

為了方便表示，用作為外荷載的表征參數。取不同的外荷載，ANSYS分析程序給出的J積分值，并與D-M模型的解析解 式（4）進行比較，列于表1-II。圖（5）示出了裂紋初始半長度a一定時，ANSYS給出的值與D-M模型解析解隨外荷載的變化關系，呈非線性增大。同時發現在小于0.7時，由有限元方法計算的J積分與D-M解析解誤差小于3%；當外荷載繼續增大時，由于塑性區尺寸開始變得較大，見圖（6），不能選擇合理的J積分的路徑，導致誤差變得較大，需經多次選擇才能找到誤差小的路徑。

2.2.3 塑性區尺寸隨外荷載的變化情況

由3式可求出彈塑性裂紋的塑性區尺寸d=c-a ，由該式可以看出裂紋塑性區尺寸與裂紋初始半長度a及外荷載有關[9]。圖（6）則給出了塑性區相對裂紋半長度的大小隨外載荷的變化圖，從圖中可看出，當裂紋初始半長度a恒定時，外荷載增大時，塑性區尺寸也隨之增加。并且接近1時，裂紋塑性區尺寸趨近于無窮大，也就是裂紋整個被塑化，此時整個板材已全面屈服，即屬于全面屈服斷裂問題。圖（7）給出了平面應力下，不同外荷載時，塑性區的Mises屈服準則下的等效塑性應變云圖。可以看出塑性區成蝶狀，并且其大小隨外荷載增大而增大。

3 結語

該文基于有限元軟件對彈塑性裂紋J積分與裂紋長度及外荷載的關系，塑性區尺寸與外荷載的關系進行了數值分析。最后強調一點，J積分雖具有明確的理論基礎和物理意義，可以作為表示裂紋尖端應力場奇異性強度的度量參數等優點。但嚴格地講[3]，（1）只能適用于彈性體和服從全量理論的塑性體；（2）只能應用于二維；（3）只能適用于小變形問題；（4）只能適用于裂紋表面無荷載作用的情況。

參考文獻

[1] Gross D.Bruchmechanik[M].Berlin Springer Verlag，1996.

[2] 洪啟超.工程斷裂力學基礎[M].上海：上海交通大學出版社，1987.

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[4] 劉元鏞，湯玄春.J積分的數值計算及Dugdale模型的彈塑性修正系數Φ的適用范圍[J].西北工業大學學報，1987（4）.

[5] 酈正能，何慶芝.工程斷裂力學[M].北京：航空航天大學出版社，1993.

[6] 中國航空院.應力強度因子手冊[M].北京：科學出版社，1993.

[7] 趙海濤，石朝霞，戰玉寶.基于ANSYS的J積分計算與分析[J]. 煤礦機械，2007（5）.

數值積分范文第3篇

關鍵詞：數學；美學；高職；微積分；課堂設計

中圖分類號：G712 文獻標識碼：A 文章編號：1672-5727（2013）06-0120-02

高職數學課程的性質和任務一般強調數學是一門重要的專業基礎課，為學生學好專業課打下必要的數學基礎，提高學生的數學應用能力，培養學生運用數學分析問題、解決問題的能力。對于數學這樣一門嚴肅、抽象、難懂的課程，大多數高職學生感到學得困難，缺乏興趣，使得數學教育目標的實現大打折扣。古羅馬詩人賀拉斯提出“寓教于樂”。有位學者曾說：“若要把感性的人變成理性的人，唯一的路徑是使他成為審美的人。”基于這種背景和思想，我們提出從數學美學的角度出發設計微積分課堂，在教學中充分利用微積分美的內容、形式，運用審美的教學手段，培養學生的數學審美能力，真正發揮數學美的作用，激發學生學習微積分的興趣。讓學生從欣賞美的角度學習微積分，體會它的體系之美、簡潔之美、符號之美、無限之美，在美的潛移默化中學習微積分的精髓。同時，培養學生運用數學的思想和方法思考問題、分析和解決問題的能力和學生理性思維習慣，培養學生追求真理、不畏艱辛、勇于自我批判的人文精神，提高學生的數學素養。

數學美的表現形式是多種多樣的——從數學的外在形象上觀賞，她有體系之美、概念之美、公式之美；從數學的思維方式上分析，她有簡約之美、無限之美、抽象之美、類比之美；從美學原理上探討，她有對稱之美、和諧之美、奇異之美等。同時，數學還有著完美的符號語言、特有的抽象藝術、嚴密的邏輯體系、永恒的創新動力等特點。本文以極限的概念講解為例，談談如何利用美學手段誘發學生的想象力學習數學，體驗數學美。

創設課堂情景美

哈代說：“數學家跟畫家或詩人一樣，也是造型家，概念也像色彩或語言一樣必須和諧一致。”在數學課堂上利用詩歌、繪畫營造出優美和諧的環境，讓詩歌和繪畫誘發出學生的想象力，讓學生在美的潛移默化中學習抽象的數學概念。實踐證明，這是一種行之有效的教學模式。現代科學研究證明，接受信息者如果同時使用聽覺和視覺，接受的效果更好，并且音像信號愈強，接受效果愈好。為此，在教學過程中，教師對學生就應努力強化這些信號。工整的板書、優美的圖片、設計美觀的多媒體都可以在課堂上創造令人賞心悅目的環境，不但可以提高學生的學習情趣，還可以大量減少語言的使用，使學生對數學有更直觀的了解。

例如，“孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流”——一句優美的詩配以滾滾長江的水墨畫引入新一章的學習內容——極限。“孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流”是李白在《送孟浩然之廣陵》中的名句。學生齊頌李白《送孟浩然之廣陵》拉開極限學習的序幕，而學生也在詩與畫中沉浸在一種和諧的氛圍里。這首詩讓學生在腦海中勾勒出一幅“一葉孤舟隨著江流遠去，帆影在逐漸縮小，最終消失在水天一色之中”的圖景，這時無窮小的數學概念也就融合在這美的詩意中去了。

再如，講解無窮大的概念時，學生不能理解無窮大的那個預設的邊界“M”時，我們引用“抽刀斷水水更流”來解釋“抽刀斷水”與“M”的神似之處。講解完無窮大，我們用陳子昂的《登高》配以一副意味濃濃的攝影作品對其作小結。“前不見古人，后不見來者，念天地之悠悠，獨愴然而涕下”——從數學上看來，這是一首闡發時間和空間感知的佳句。前兩句表示時間可以看成是一條直線（一維空間）。作者以自己為原點，“前不見古人”指時間可以延伸到負無窮大，“后不見來者”則意味著未來的時間是正無窮大。后兩句則描寫三維的現實空間：天是平面，地是平面，悠悠地張成三維的立體幾何環境。全詩將時間和空間放在一起思考，感到自然之偉大，產生了敬畏之心，以至愴然涕下。這樣的意境，讓學生對無窮有了更深刻的理解。

課堂氣氛和諧美

教師的教態和儀表向學生傳遞著課堂氣氛的信息。親切自然的教態、凝練樸素的語言、抑揚頓挫的語調，讓學生感受到最直接的美學教育，讓學生身心輕松地投入學習。風趣幽默的問題，在一問一答中建立起和諧的師生關系。數學課是思維的演練場，教師的任務之一就是要引導學生不斷地思考，而提問是引導學生主動思維的有效手段。有人說，數學問題都是抽象和嚴肅的，怎么能讓學生積極愉快地思考？這就關系到提問的技巧。首先，問題的表述要簡單明了，語氣要幽默，問題還要典型。例如，剛剛介紹完極限的概念后，提出一個問題：判斷下列式子是否成立？

1=0.■

我們可以這樣問：如果上式成立，1與0.■之間相差的那個數到哪里去了？由此引入極限史上的一個故事：“消逝的鬼魂”與無窮小量的產生。

故事的講解不但讓學生體會到極限是一個無窮變化的從量變到質變的過程，也體會到科學發展的曲折和艱辛，科學家永無止境的探索精神及對真理不懈追求的勇氣。

數學思想深刻美

極限概念的引入是從單位圓面積的計算開始的。問題這樣提出：讓我們回到劉徽所處的魏晉時代，我們怎樣計算單位圓的面積？學生在笑聲中想象自己是劉徽，怎樣來計算圓面積。

這個問題解決后，我們概括了三點內容。（1）逼近問題是一個與“變化”有關的問題。如果希望逼近一個不能直接計算的量，可以采用近似計算的技巧，而計算的精確度往往依賴于計算的次數。微積分（極限）可以解答精確度與計算次數之間的關系問題。如果增加計算次數，近似會無限接近某個數值，這正是逼近（或變化）的結果。（2）某些“量”的計算需要從變化的角度來處理，并通過“極限”過程來進行，這正是微積分的基本思想。（3）“以直代曲，逐步求精”的手段，是微積分中常用的方法。

隨后，我們將這三點內容進行了拓展講解，指出“化整為零，積零為整”就是在工作中拿到復雜的工作或任務時學會分解任務、分解難點、各個擊破、再進行整合的方法。“以直代曲，逐步求精”就是在解決復雜問題時先用簡單的模型代替實際問題，再逐步深入，逐步求精的方法。而這些方法可以用在我們工作的各個領域，是一種普適的解決問題的方法，從中也讓學生體會到數學思想的深刻性和普適性。

數學思想是數學教學中的精華，是最能體現數學本質的東西。微積分中包含著豐富的數學思想。上面談到的“極限思想”，“在微小局部‘以勻代非勻’，‘以直代曲’”的思想都是數學思想中的精髓。在講授數學思想的課程中，筆者主要采用具體——抽象——具體的方法，通過典型實例引出問題，通過科學的抽象體現思想，再通過利用思想發現問題、解決問題的實例讓學生領會思想。數學思想教育在培養學生創造力和獨立思考問題的能力方面有著獨到的價值。

數學哲學情操美

德育教育中有一種教育法叫無痕教育。無痕教育是指在教育過程中教育者通過創設有教育意義的情境和活動，既達到教育目的，又不留下讓學生感到教育者在教育他們的一種方法。這種方法沒有明顯說理教育，而是把理寓于情境和活動之中，使學生在一種自然、輕松、愉快、美好的環境中心靈受到感化，自覺自愿地形成良好的思想品德。心理學研究表明：人們總有一種不太愿意整天被人教育的天性。前蘇聯著名教育家蘇霍姆林斯基說過：“造成教育青少年困難的最重要的原因，在于教育目的在學生面前以裸的形式進行。”把教育目的隱藏起來，然后通過各種活動形式對學生進行“潤物細無聲”的無痕教育，會使學生在不知不覺中提高認識、凈化心靈、規范行為。

微積分中飽含的深刻的人生哲學，對學生就是一種“潤物細無聲”的教育。例如，微積分討論的連續函數絕大多數都是蜿蜒曲折的，有時上升有時下降，有極大值，有極小值。千姿百態的函數曲線像極了蕓蕓眾生的命運，有時順利有時曲折，有高峰時也有低谷時，這是人生的常態。所以，當我們處于人生佳境時不要驕傲，隨時保持一顆謙恭之心；處于人生低谷時也不要氣餒，只要我們繼續努力，我們的人生曲線還能逐步上揚。

計算直線的長度比計算一條曲線的長度要容易得多。為了求得一條曲線的長度，把這條曲線無限細分，細分成若干條細小的直線，再把這些直線的長度加起來，就求得了曲線的長度。這就是學習極限時學過的“以直代曲”的思想，這也是微積分的基本思想。

我們可以將微積分的這種基本精神映射到人的一生。人的一生是在分分秒秒中度過，而這分分秒秒就是微分。人的一生不管有多長，都是這微小的分分秒秒的時間之和，這就是人生的積分。積分曲線的形態取決于微分函數。人生的積分曲線則取決于我們如何利用我們的分分秒秒——人生的微分函數。要想獲得充實而有意義的人生，我們就必須抱有積極向上的人生態度，讓我們在分分秒秒的努力中不斷積累，收獲我們豐盈的人生。

參考文獻：

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[3]周天良.無痕教育——有效的德育方法[J].素質教育大參考，2006（3）.

數值積分范文第4篇

關鍵詞 高壓直流輸電線路 繼電保護技術

中圖分類號：TM773 文獻標識碼：A

1高壓直流輸電線路繼電保護的影響因素

1.1電容電流

高壓直流輸電線路電容大、波阻抗小以及自然功率小的特征，這就給差動保護整定帶來較大的影響，為了保障高壓直流輸電線路運行的安全性與穩定性，必須要對電容電流采取科學合理的補償措施。此外，在分布電容因素的影響下，一旦高壓直流輸電線路運行出現故障，故障距離與繼電器測量阻抗之間的線性關系就會發生改變，成為雙曲正切函數，此時，就不能使用傳統繼電保護措施。

1.2過電壓

高壓直流輸電線路在出現故障之后，電弧熄滅時間會延長，情況嚴重時甚至會發生不消弧的情況，在電路電容因素的影響下，兩端開關不會在同一時間斷開，此時，行波來回折反射就會嚴重影響整個系統的運行。

1.3電磁暫態過程

高壓直流輸電線路長，在操作與發生故障時高頻分量幅值較大，這就給高頻分量的濾除工作帶來較大的困難，這不僅會導致電氣測量結果發生偏差，此時，半波算法在高頻分量的影響下準確性難以保障，此時，電流互感器也會發生飽和現象。

2 高壓直流輸電線路繼電保護設計原則與注意事項分析

2.1 輸電線路的主保護

影響輸電線路主保護的因素是多種多樣的，必須要根據高壓直流電路的實際情況進行選擇，在設計時，需要使用兩臺不同原理的裝置，第一套保護裝置可以使用分相電流差動縱聯保護裝置；第二套保護裝置可以使用相電壓補償縱向保護裝置，兩套裝置分別來使用不同的通道。

2.2輸電線路的后備保護

輸電線路后背保護是主保護的重要補充，在進行設計時，需要控制好線路兩端切除故障差，配置好完整的接地距離保護與相間距離設備，距離保護特征不應該局限在四邊形、圓形與橢圓形幾種，可以將微機保護充分的利用起來，從根本上提升系統運行的安全性。

2.3并聯電抗器保護

高壓直流輸電線路中并聯電抗器出現故障后，線路會發出相應的命令，啟動自動保護裝置，此時，并聯電抗器就可以充分的發揮出其作用，若故障超過了高壓直流輸電線路允許的標準，則需要及時將兩側斷路器斷開。

2.4自動重合閘

高壓直流輸電線路常用的自動重合閘有三相重合閘、單相重合閘與快速重合閘集中模式，具體選擇哪一種模式，還需要根據具體的過電壓水平進行分析，為了防止過電壓操作情況的發生，在非全相情況下過電壓倍數在允許標準范圍時，可以使用單相重合閘，若超過標準范圍，就需要使用三相重合閘。在進行設置時，需要充分考慮到線路兩端的時間間隔與重合順序，將其控制在標準范圍內。

3高壓直流輸電線路常用的繼電保護技術

3.1行波暫態量保護

如果高壓直流輸電線路出現故障，會出現反行波，要保障系統運行的穩定性，就需要做好行波保護工作，這也是高壓直流輸電線路的主保護措施。

就現階段來看，常用的行波保護措施由SIEMENS方案與ABB方案。其中，SIEMENS是基于電壓積分原理的一種保護措施，其保護啟動時間為16～20 s，與ABB方案相比，該種的保護速度相對較慢，但是，抗干擾能力則優于ABB保護方案；ABB行波保護的檢測原理是極波與地模波，能夠檢測到圖變量為10 ms之內的反行波突變量，在必要的情況下，也可以使用用電壓、微分啟動與電流圖變量幾種方式來識別。

以上兩種行波保護能力都較為有限，耐過渡電阻能力不理想，此外，還存在著缺乏整定依據、理論體系不嚴密等缺陷。為了提升行波保護的效果，學界也提出了形態學梯度技術與數學形態學濾波技術，但是，無論是暫態量保護還是行波保護，都存在一些弊端，還需要進行深入的分析。

3.2 微分欠壓保護

微分欠壓保護是一種基于電壓幅值水平與電壓微分數值的保護措施，兼具主保護與后備保護的功能，在現階段下，SIEMENS方案與ABB方案檢測的對象都是輸電線路的電壓水平與電壓微分。其中，后者上升延時為20 ms，在電壓變化率上升沿寬度未達到標準的情況下，就能夠起到后備保護作用，但是其耐過渡電阻能力并不理想。

微分電壓保護動作的可靠性與靈敏度要優于行波保護，但是動作速度則不如行波保護，兩者都存在著靈敏度不理想、整定依據不足、耐過渡電阻能力較差的問題。

3.3低電壓保護

低電壓保護是高壓直流輸電線路的常用后備繼電保護，主要依靠對電壓幅值的檢測來實現保護工作，根據保護對象的不同，低電壓保護包括極控低電壓保護措施與線路低電壓保護措施，其中，前者保護定值低于后者，前者在線路發生故障時會閉鎖故障極，后者在開展保護動作時會啟動線路重啟程序。

低電壓保護的設計簡單，但是缺乏科學、系統的整定依據，難以幫助技術人員判斷故障的具體類型，動作速度較慢。

3.4縱聯電流差動保護

縱聯電流差動保護模式使用雙端電氣量，選擇性較好，但是該種保護模式在故障發生較長的時間后才能夠做出保護措施，因此，只能夠用于高阻故障的診斷與切除中。由于各類因素的影響，現階段使用的差動保護也未聯系到電壓變化過程與電容電流問題，很容易出現誤動，雖然電流差動保護裝置有著動作速度快以及靈敏度高的優勢，但是這種優勢卻未在高壓直流輸電線路中充分的發揮出來，性能還有待提升。

參考文獻

數值積分范文第5篇

關鍵詞：課程設計 實踐教學 課程考核

《數值分析》是信息與計算科學專業的一門必修的專業基礎課。這門課主要解決各類數學問題的數值計算，是研究適合于計算機使用的數值計算方法。這門課內容豐富、研究方法深刻、有自身理論體系，既有純數學的抽象性與嚴密科學性的特點，又有應用的廣泛性與實際生產生活高度結合的特點，是一門與計算機使用密切結合的課程。

《數值分析》課程設計教學時間往往只有一周，在這一周的時間內要求學生掌握大量的解決各類數學問題的算法程序，會做到實際應用，有相當的難度，所以嘗試尋找改善教學的方法。

1教學中存在的問題

1.1時間短，涉及的算法多，學生接受較差

《數值分析》的內容包括方程（組）、函數逼近、計算積分、常微分方程的數值解等部分。涉及到微積分、線性代數、微分方程等多個高等數學的分支。對于每個知識點都有其相應的數值解法，對于學生來說，這些知識以前學過但印象不深，要學習其數值算法必須熟練相關的數學知識。時間短，內容多，學生接受的很差。

1.2缺乏合適的教材

數值分析是一門與計算機使用密切結合的實用性很強的課程。現在使用的教材雖說在編寫的時候已考慮到這個特點，不要求學生在理論上花費過多地時間，并提供了算法相應的框圖，希望學生自己通過編程實現。但這些算法形式單一，內容與實際應用脫離，以至于學生無法全面理解和運用算法。

1.3考核中的問題

在考試中，傳統的筆試方法同樣不能真正反映出這門課的特點。如果在機房考試，會減少一天學習時間，不能完成教學任務，如果在試卷上考試，雖然允許使用計算器，但計算器的計算與數值分析算法在計算機上的實現是兩碼事。無法調動學生的學習積極性。其實通過本課程的學習，學生只需要掌握相應的算法就行。而考試則對計算過程、計算結果更感興趣。

2《數值分析》課程設計教學實踐與探索

為了幫助學生更好的學習《數值分析》課程設計，筆者針對存在的問題，對該內容進行了一些改革，改革的主旨是：以學生為主體，構建全新的試踐教學內容和環境。

2.1實踐教學觀點的引入

實踐教學以計算機系統為實驗工具，以數學理論為實驗原理，以數學素材為實驗對象，以簡單的對話方式或復雜的程序方式為實驗形式，以機房為載體。它將數學知識、數學建模與計算機應用三者融為一體，通過實踐教學使學生深入理解數學基本要領和基本知識，能通過實驗達到發現問題、解決問題的目的，對數學有一個更新的認識，為數學發展開拓空間。既可以讓學生熟悉常用的數學軟件，培養學生較熟練地運用所學的知識，又可以鍛煉學生建立數學模型，用計算機技術解決生活過程中的各種問題的技能。在實踐教學中學生接觸到的不再是簡單的例題，而是實際的問題，學生通過建立數學模型，親自動手設計程序，解決問題，達到學以致用的目的。

2.2優化教學內容，引入數學工具軟件

《數值分析》這門課程與實際生活密切聯系，那么在實踐教學中就應該把它與解決實際問題和計算機的應用結合起來。傳統的教學中，教學內容多以各種數值計算方法的算法實踐練習為主，學生照著書上編寫好的算法框架練習，既沒有提高程序設計能力也沒有體會到《數值分析》這門課程的真諦。筆者在實踐教學中按照教學進度安排，在每節課都選擇有實際背景的問題作為本節課的任務，這些問題能吸引學生的興趣，解決他們會讓學生感覺到本課程很實用，會提高學生的學習積極性。考慮到《數值分析》對計算能力、繪圖能力有很高的要求，建議使用專業的數學軟件。目前有很多數學軟件包都能完成數學里各種各樣的運算。例如使用Matlab、Mathematic等數學軟件。問題的解決不僅可以深化學生對所學數值算法的掌握，還能提高學生的程序編寫能力，提高學生學習其他課程的積極性和教學效果。

2.3考核方法的改革

課程設計考核與理論課的考試不一樣，考試著重考核學生對理論知識的理解和掌握以及考試前的復習，而實踐課的考核主要是對學生學習活動（過程）的評價，包括對學習目標、學習任務、學習態度、交互程度、資源利用和學習效果等方面。我們采用每人一題的教學和考核方法，對學生的學習過程進行監控、分析，根據每節課學生問題的解決情況和對學習過程的監控，綜合給出學生考核成績，這種考核方式能夠對學生學習活動給出全面、客觀的評價。公正的考核分數能夠調動學生的學習積極性和興趣，提高教學效果。

3結束語

經過兩個學期的實踐教學改革，學生對《數值分析》課程設計教學改革的反映良好，對所學的內容和數值算法的掌握較熟練，基本能做到解決實際問題，該課程的學習興趣延伸到了其他學科中，為日后學生用所學知識解決實際問題奠定基礎。當然，對《數值分析》課程設計的教學改革還處在嘗試階段，沒有現成的經驗。一切都在摸索中。至于實際效果如何，還有待更多的檢驗。

參考文獻：

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