初中數學競賽
前言：想要寫出一篇令人眼前一亮的文章嗎？我們特意為您整理了5篇初中數學競賽范文，相信會為您的寫作帶來幫助，發現更多的寫作思路和靈感。
初中數學競賽范文第1篇
一、構造法解題的原則
學習數學不僅要求會解題，還要善于解題，而且在運用構造法解題時要遵循一定的原則。
1.相似性原則
相似性原則是指認真觀察數學問題的條件，進行聯想，然后判斷該問題是否和我們已解決過的，或者熟知的式子一致，通過構造出的數學模型對間接解決問題。
2.直觀性原則
指的是構造某種使條件和結論的數學關系清晰體現的數學形式。
3.等價性原則
指的是一種將所構造對象滿足的條件轉換為一種和它同等的新的表現形式，從而使所需要的構造在新條件下進行。
1.構造方程式
有些數學題可以通過構造一個方程得到簡便的解題方法。
例1已知兩數a、b，ab≠1且2a2+1234567890?a+3=0，3b2+1234567890?b+2=0，則a2-ab+b21a2+ab+b2的值為。
解析：所求代數式的分子、分母都由a2，b2，ab組成，且a、b都不為0，我們將所求的代數式的分子、分母同時除以ab就變成了a1b-1+b1a1a1b+1+b1a，只與b1a、a1b有關。因此可以根據條件直接求出b1a或a1b的值.
另外，兩個已知等式在形式上相似，只在二次項系數和常數項上互換了位置，且系數均為3、1234567890和2，所以在第二個方程式兩邊同時除以b2（b≠0），第二個等式也就成了211b2+1234567890?11b+3=0。那么這個式子在形式上就跟第一個式子相一致。由此可以聯想出利用根的定義構造出一個關于x的一元二次方程2x2+1234567890?x+3=0，a，11b是這個方程的兩個實根，且ab≠1，所以根據韋達定理可知a?11b=312，將這個值代入所求代數式的變形式即可求出答案。
2.構造代數式
某些與整數有關的整除數學競賽題例如代數式的化簡、求值等都很難從固定思維中找到解題方法，但構造多項式、有理化式、遞推式等方式推出熟悉常用的數學式就可以解決難題了。
例2整數a、b、c的和是6的倍數.那么，它們的立方和被6除，得到的余數是（）.
A.0B.2C.3D.不確定的
解析：根據a、b、c三數之和是6的倍數，而想要直接得出a3+b3+c3被6除的余數則難以下手，那么可以從兩者的差入手，構造
（a3+b3+c3）-（a+b+c）=（a3-a）+（b3-b）+（c3-c）=a（a-1）（a+1）+b（b-1）（b+1）+c（c-1）（c+1），從而將問題轉化。
因為a是整數，所以a-1，a，a+1是三個連續整數，所以a（a-1）（a+1）是2×3的倍數。
同理可得，b（b-1）（b+1）和c（c-1）（c+1）也是6的倍數，已知a+b+c是6的倍數，所以a3+b3+c3是6的倍數。因此答案為A。
3.構造幾何圖形
對于一些題目，我們可以通過構造所需要的圖形并借助幾何圖形的性質來解題。
例3已知a、b、x、y為正實數，且a2+b2=1，x2+y2=1。求證ax+by≤1。
解析：遇到這樣的題目，很多學生無從下手，這里只有等式，沒有其他條件，仔細觀察就能發現，題目的未知量相加的等式結果都為常數1，那么我們可以從它們之間的關聯入手，構造出相關圖形。
如圖，作以AB=1為直徑的O，在AB兩側任意作RtABC和RtADB使得AC=a，BC=b，BD=x，AD=y。
初中數學競賽范文第2篇
重慶市陶家中學（401328）楊軍
E-mail:snpl_yj@tom.com
溶液競賽題的教學是初中化學教學的“一道坎”。一方面由于初中化學溶液競賽題的數量關系經常寓于具體的生活情境之中，比較復雜、隱蔽和抽象，學生大多感到解答困難；另一方面初中化學溶液競賽題教學能培養學生思維能力和解決實際問題的能力。心理學家認為：作為人智力結構核心的思維能力，與學習生活有關的是動作思維、形象思維、抽象思維，而抽象思維一般較為少見；動作是思維的起點；無論學什么科學，如果沒有形象思維的參與，那都是很難學好的。所以，在教學中學生解答初中化學溶液競賽題時，要充分活躍其動作思維和形象思維。實踐證明：讓學生在審題解題過程中，數形結合解初中化學溶液競賽題，能獲得事半功倍的效果。
第一步：了解題意，劃出重點
引導學生在審題的過程中，一字一句，邊讀邊勾劃出題中的已知條件、所求問題和關鍵詞語，并盡可能做出批注。這樣，學生“口、手、腦”三線合一，積極投入審題過程，初步感知題中數量關系，根據關鍵詞語還可初步感知本題與以前解過的初中化學溶液競賽題的異同。如教學2002年一道全國競賽題：由NaHS、MgSO4、NaHSO3組成的混合物中，已知S元素的質量分數ω(S)= a% ，則O元素的質量分數ω(O)為（ ）A、1.75a% ；B、1-1.75a ；C、1.25a% ；D、無法計算。本題的重點詞語有已知“NaHS、MgSO4、NaHSO3”、“S”、“質量分數”，有未知“O元素的質量分數”。勾劃過程中，感覺出三個化學式之間有一定的聯系：NaH、Mg、NaH的相對質量是一樣的——24，推出“NaH、Mg、NaH”與“S” 的比例也是相等的。從而找到解題的突破口。
又如教學“今有溶質的質量分數為20％的某溶液一瓶，倒出3/4體積后，再加水至原來的質量，又倒出2/3體積，求剩余溶液溶質的質量分數？”找出關鍵詞“20%，倒出，3/4體積，加水至原來和質量，求，剩余溶液溶質質量分數”，劃出重點，做出批注——剩余溶液中溶質只有原來的1/4，質量和原來的一樣。
這樣，學生在邊讀邊劃的過程中，題中的數量關系便已基本弄清。
第二步：理解題意，說出題設
理解題意，就是用自己的語言把出題者的意圖說出來。我國教育家陶行知先生早在幾十年前就提出：“要解放學生的嘴，讓他能說?！闭Z言是表達思維的重要形式，要會說首先就要去想，想清楚了才能說清楚。理解題意時盡量讓學生多說，這樣才能促進學生多想。在教學初中化學溶液競賽題過程中，不要急于告知學生數量關系，首先要求學生讀題，要求逐字逐句讀題，在讀題劃題后，能用自己的語言說出已知條件和所求問題，并能在教師的相關提示引導下，明確以下幾點：①根據題中已知條件可以求出哪些問題；②求題中的問題需要知道哪些已知條件；③所需已知條件是否是直接告訴，題中有沒有多余的已知條件。如教學“將15g鋅放入146g10％鹽酸中，求反應后氯化鋅在溶液中的質量分數？”題中有兩個已知條件：15g鋅，146g10％鹽酸。根據化學方程式，可以知道，每65份質量的鋅可以和73份質量的鹽酸（指純量）完全反應生成136份質量的氯化鋅和2份質量的氫氣。所以，本題中鋅過量，只能按照鹽酸的量來計算。
教學該題時，可以先設計一道題：“將一定質量鋅放入146g10％鹽酸中，恰好完全反應，求反應后氯化鋅在溶液中的質量分數？”，讓學生說出根據已知條件可求出的問題。問題中包含有“求鋅”、“求氯化鋅”、“求氫氣”、“求反應后的溶液的總質量”，學生在說的過程中明確：要求反應后溶液中的溶質質量分數，就必須清楚反應后的溶液的總質量和溶質質量。
說的形式也是多種多樣的，可以讓學生自言自語、交流討論或爭論，也可以讓學生公開發表自己的意見。在說的過程中，學生既理清了初中化學溶液競賽題中的數量關系，也發展了學生的語言表達能力。
第三步、圖解題意，畫出內容
應用型的溶液競賽題占很大比例，前蘇聯教育家蘇霍姆林斯基曾說過：“把應用題畫出來。”畫出來的圖可以是方框圖，也可以是示意圖，但一定要形象直觀。現在要求數形結合，在初中化學溶液競賽題教學中，采取數形結合的方法分析數量關系，有利于培養學生把形象思維和抽象思維相結合的學習習慣。所以，在教學初中化學溶液競賽題時，教師可引導學生把初中化學溶液競賽題畫出來，并逐步培養學生“畫”初中化學溶液競賽題的習慣，讓學生學會把題中的數量關系轉化為圖形關系，用圖形關系直觀地展示數量關系，把握問題的本質。在畫示意圖時，以“少的量”和“一倍數”為“單位”先在燒杯中表示出來，這樣能更快更規范地畫出示意圖。如教學選擇題“已知濃硫酸的密度比稀硫酸大，現將質量分數為90％和10％二種硫酸溶液等體積混合后溶質的質量分數為（ ）A．大于50％；B．等于50％；C．小于50％；D．不能確定?！睂W生初次接觸等體積混合的溶液競賽題，大多不知如何去尋找已知條件。教師要啟發引導學生先畫兩種硫酸質量示意圖（如右圖，等底），再分步混合：①等質量混合，可得知混合后的溶質分數為50%；②把剩余的濃硫酸又倒入到上一步的溶液中，可知，溶液濃度一定大于50%。
又如，“在某溫度下，溶質質量分數相同的兩份硝酸鉀溶液，質量都為200g，把其中一份溶液蒸發掉2.5g水后，恢復到原溫度，析出2g晶體；另一份蒸發掉5g水后，恢復到原溫度，析出析出4.5g晶體，則這兩份原200g溶液 （填“飽和”或“不飽和”）”。學生在畫示意圖的過程中，認為：①可以把這兩份溶液當成一份來做；②可以把第二次操作（蒸發5g水，析出4.5g晶體）分成兩步，第一步，蒸發2.5g水，析出2g晶體；第二步，蒸發2.5g水，析出（4.5g-2g=2.5g）晶體。同樣蒸發2.5g水，后一次析出的晶體比前次多，由此可知，原溶液是不飽和溶液。
初中數學競賽范文第3篇
關鍵詞：韋達定理 韋達定理的逆定理 初中數學競賽 一元二次方程
一元二次方程的根與系數關系定理是韋達定理的特殊情況，它的逆命題也是正確的。初中階段我們不妨稱之為韋達定理和逆定理。
韋達定理及逆定理是初中數學極為重要的基礎知識之一，在解決初中數學的許多問題中，它是有力的工具，在初中數學競賽中巧用韋達定理及逆定理來解的競賽題屢見不鮮。本文通過六個方面的應用探討如何利用韋達定理及逆定理解題目的方法和技巧。
一、求值，當所求代數式是某個一元二次方程兩根對稱時，可應用韋達定理使計算簡便。
說明：1.求代數式值的問題常規方法是先求出代數式中求知數的值，然后代入。此例如按上述方法解將陷入復雜的計算，沒有用韋達定理求解簡便。
2.這種解法必須能熟練地將要求的代數式化為用α+β和αβ表示的形式。
3.這種方法一般適用于求關于方程根的對稱式。
分析：要求7p+2q的值，應先求出p、q 的值，而此例中方程的兩根都是質數，由韋達定理知兩根之積為74，故必有一根為偶數，而2是唯一的偶質數，則方程兩根是2和37，再結合 p、q是自然數可求p、q的值。（解略）
二、構造一元二次方程，當問題中出現a+b=m、ab=n的形式時，可用韋達定理和逆定理把a、b看作t■-mt+n=0的兩
當m=-7或m=3時，拋物線與x軸兩個交點間距離是3。
說明：此類問題利用二次函數圖像與x軸交點橫坐標是函數值為零時自變量的值，即方程的根，再利用韋達定理把圖像與x軸交點的距離與函數解析式聯系起來。
四、研究一元二次方程的整數解，此法主要是應用韋達定理結合題意把問題轉化為不定方程組或不等式，再進一
步求不等式的整數解，以達到解決問題的目的。
六、證明不等式。
例7. 已知：a、b、c為實數，且a+b+c=0，a?b?c=1，求證：a、b、c中必有一個大于 。
分析：已知條件是三個數的和與積，把它轉化為兩個數的和與積的問題，然后利用韋達定理解決。
證明：由a+b+c=0a?b?c=1知a?b?c＞0，且a、b、c中有一個正數兩個負數，不妨設a＞0，b＜0，c＜0，
參考文獻：
［1］吳志翔.中學數學教學參考書證明不等式［M］.1982年02月第1版.
［2］唐耀庭.一元二次方程的特殊解法［J］.中學生數理化初中版，2007年Z1期.
［3］楊茜，鄭建平.談韋達定理的應用［J］.成都教育學院學報，2002年01期.
初中數學競賽范文第4篇
【關鍵詞】 培養；初中生；數學學習興趣；策略
一、引 言
俗話說，興趣是最好的老師，只有培養初中生數學學習興趣，讓初中生自己愿意去傾注熱情進行學習，才能最大限度地發揮出他們自己的才能和潛力，全身心地投入到初中數學學習中來. 與此同時，培養初中生數學學習興趣有利于避免一些學生對于數學學習的恐慌情緒，還可以給學生帶來自信. 所以，總結一些切實有用的培養初中生數學學習興趣的策略有著非常重要的意義.
二、充分重視學生的主體地位，讓學生當“老師”
為了調動數學課堂教學的積極性，必須充分重視學生的主體地位，讓學生當“老師”，學生掌握著學習的主動權，讓學生可以擔任起教師的職責，在教學的過程中結合具體的情況有針對性地幫助別的同學答疑解惑. 通過這種方式，能夠關注所有學生的全面發展，有利于保證學生能夠積極主動地參與到教學活動的整個過程中來. 與此同時，學生在幫助別的同學答疑解惑的過程中，能夠再一次鞏固自己所掌握的知識，有利于學習效率的提高. 教師應該主動給學生提供當“老師”的機會，保證學生可以積極發揮出自己的潛能，主動說出他們的想法.
具體來說，在進行“多項式與多項式相乘”一節的教學過程中，學生經常會出錯，其中一個非常頻繁的錯誤就是：一些學生不能夠正確合并同類項，還存在著各種各樣的錯誤. 如果教師一一地進行講解是非常浪費時間的，一些學生也不會感興趣. 在這種情況下，教師應該充分重視學生的主體地位，讓學生當“老師”. 當“老師”的學生就會充滿自豪感和信心，能夠采取措施幫助其他同學盡量不犯錯誤. 他們在進行講授的過程中，也能夠對多項式與多項式相乘的學習有更深刻的領會，其他同學也能夠很快發現自己存在的問題. 在這種互相溝通的過程中，全班同學的學習效率得到大幅度的提高.
三、通過建立良好的學習情境來進行課堂導入
良好的課堂導入有利于激發學生的數學學習興趣，也可以引導學生進行思考，保證學生可以在最短的時間內回到課堂中來，進入數學學習的最佳狀態. 這就要求教師在開始講授新知識的時候，建立良好的學習情境來進行課堂的導入，從而有效地激發學生的學習興趣，促進學生學習效率的提高. 在日常的教學過程中，應該要求學生學會思考并嘗試解決新問題，讓他們能夠積極主動地去進行數學的學習. 建立良好的學習情境，一方面可以自然地過渡到下一個教學過程中，另一方面，也可以使學生的學習欲望達到有效地激發，讓學生迸發出智慧的火花，保證學生可以集中精力認真學習.
具體來說，在進行“三角形的內切圓”這一節課的講授之前，教師可以通過下面的方式來進行課堂導入：“大家好，老師通知大家一個好消息，哪名同學如果在這節課結束的時候，在最短的時間內可以在一塊三角形紙片上畫出一個面積最大的圓，那么，就能夠擔任本周的進步之星，還能獲得鋼筆等物質獎勵哦. ”
通過這種方式，學生對于這節課的學習非常感興趣，從而認真思考和聽講. “三角形的內切圓”這一節課就這樣開始了，學生的注意力一定會高度集中，對于學習數學也產生了極強的積極性. 教師在課堂的講授過程中再進行適當的啟發、點拔、誘導，起到主導作用，并讓學生真正發揮出主體性，防止出現沒有目標的學習情況. 由此可見，教師在創設教學情境之后，可以充分激發學生的求知欲.
四、適當運用多媒體教學
在現在這樣一個知識爆炸的時代，互聯網在人們的工作、學習和生活中發揮著舉足輕重的作用，所以，在初中數學課堂教學的過程中，也可以適當運用多媒體教學，來激發學生的學習興趣. 在傳統的數學課堂中，教師不能僅使用黑板、投影儀、教具模型等來進行數學信息的展示，而應適當地運用多媒體教學，從而充分展示出圖像、動畫、文本、圖形、視頻和音頻等各種形式的教學信息，可以有機結合不同的教學材料，讓學生在短暫的時間內就可以同時運用多種感官，以更加飽滿的興趣投入到新知識的學習中來，并且可以深刻理解教學內容. 與此同時，適當運用多媒體教學，向學生展示教師精心設計的動畫、插圖和音頻等，能夠實現復雜概念和問題的簡單化，使教學內容一目了然，更加有利于學生對于知識的接受. 適當運用多媒體教學，能夠將各種各樣的和教學無關的干擾克服掉，充分吸引學生的注意力，讓學生全身心地投入到課堂學習中來，從而有利于學生學習成績的提高.
五、舉辦適當的數學競賽
為了培養初中生數學學習的興趣，激發他們的學習積極性，可以舉辦適當的數學競賽. 通常情況下，學生在數學競賽的推動下，可以更加有效地發揮出自己的潛能. 在數學競賽的過程中，學生都存在著非常強的好勝心，希望能夠一舉成功. 通過舉辦適當的數學競賽，可以大大激發學生的學習興趣，增強學生克服困難的毅力. 具體來說，在初中數學教學的過程中，能夠采用各種各樣的比賽形式，可以在整個年級或者整個班級進行比賽，也可以在班級中的數學小組之間開展比賽，切實保證所有學生的共同進步.
六、結束語
綜上所述，本文探討了培養初中生數學學習興趣的策略，以供教育界借鑒，希望有利于初中數學教學效果的提高.
【參考文獻】
［1］朱雪興． 培養初中生數學學習興趣的思考和建議［J］． 數學學習與研究， 2011（16）.
［2］成利芳． 用心寓教 讓學生在數學學習中全面提高［A］． 中國民辦教育家優秀論文集［C］，2006.
［3］陳亞燕． 數學有效性課堂的幾點嘗試與探討［A］． 中國商品學會第十四屆學術論壇暨中韓商品科學交流會議論文集［C］， 2011.
初中數學競賽范文第5篇
一、構造三角形
例1 (2011年北京市初二數學競賽)已知AD是ABC的中線，∠ABC=30°，∠ADC=45°，則∠ACB=°．
解 ：如圖1，作CEAB交于E，連結DE．在RtBCE中，易得DE=1 2BC =CE =DC，從而可知ABC是等邊三角形，所以∠EDA=∠EDC-∠ADC=15°，又∠DAE=∠ADC-∠ABC=15°，故EA=ED=EC，從而∠BAC=45°，進而得∠ACB =105°．
方法點撥 ：當題目中有“中點”及“30°的特殊角”時，一般構造出含30°的直角三角形，因此自然想到添加“垂線CE”，進而利用等腰直角三角形及斜邊上的中線等知識使問題得以解決．
例2(2011年上海市初中數學競賽)在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，P是ABC內一點，且PA=11，PB=7，PC=6，則AC邊長為 ．
解 ：如圖2，將CPB繞點C順時針旋轉90°至CP′A，連結PP′．易得CPP′為等腰直角三角形，從而PP′=62，因此AP2=AP′2+PP′2，故∠AP′P=90°，進而得∠AP′C=135°，所以由余弦定理，可得AC=
62+y2-2×6×7cos135°
=85+422
．
方法點撥 ：一般地，當題目出現等邊三角形、等腰直角三角形（或正方形）條件時，可將圖形作旋轉60°或90°的全等變換，可將不規則圖形變為規則圖形，或將分散的條件集中在一起，以便挖掘隱含條件，使問題得以解決. 可見，通過旋轉,可把已知條件相對集中到新的直角三角形中,這為應用勾股定理（逆定理）創造了條件.本題由于利用圖形的旋轉變換，把題設中的“11、7”及“6”派生出來的“ ”得到新直角三角形，求得“角度”、求解線段，使問題出現生機.
例3 (2008年天津市初中數學競賽)如圖3，在ABC中，已知AC=BC，∠C=20°，D、E分別為邊BC、AC上的點．若∠CAD =20°，∠CBE=30°，求∠ADE的大?。?/p>
解 ：如圖3，在ABC內部作∠BAF＝20°，AF與CB交于F.因為CA＝CB，∠C＝20°，所以∠CAB＝∠CBA＝80°，可得∠AFB＝80°，進而得AB＝AF.又可知∠EAF＝60°，∠EBA＝50°，所以∠BEA＝50°，則∠EBA＝∠BEA，所以AB＝AE，所以AE＝AF，所以AEF是等邊三角形，進而知∠AFE＝60°，從而得∠DFE＝40°.又∠DAF＝60°－20°＝40°，∠AFD＝100°，所以∠ADF＝40°，所以∠ADF＝∠DAF，所以AF＝DF，進而得DF＝EF，所以∠EDF＝∠DEF＝70°，所以∠ADE＝70°－40°＝30°.
方法點撥 ：由于本題所給等腰三角形的頂角與底角是4倍關系，且隱含著另一個等腰ABE，所以在ABC內部作∠BAF＝20°，可得AF＝AB＝AE，這樣構造出更特殊的“等邊AEF”，為破解問題開啟了思維的閘門.又如，2012年全國初中數學競賽試題第3題可向外作“等邊三角形”獲得求解.當然，本題也可作點E關于BC的對稱點E′，易知BEE′為等邊三角形（如圖4），其解題過程留給讀者思考.事實上，構造“等邊三角形”進行角度求解有很多情形，這里不再贅述．
例4(2008年全國希望杯邀請賽初二1試)如圖5，I是ABC的內心，且CA+AI=BC，若∠BAC=80°，則∠ABC= ，∠AIB= ．
解 ：如圖5，作IDAC于D，IEBC于E，IFAB于F.因為I是三角形內心，所以AD=AF，CD=CE，BE=BF.因為 AC+AI=AD+CD+AI=AF+CE+AI=BC=CE+BE，所以AF+AI=BE.
在線段BF上取點O，使FO=AF，則OFI≌AFI，所以∠IOF =∠IAF =
1 2∠ABC=40°，進而知AI=IO，所以結合前面證得的結論，可得AF +IO = FO + IO =BF =FO + BO，所以IO=BO，進而得∠EBI=∠OIB=∠IBF=
1 2∠EBA，而∠IOF =40°，所以∠EBI=∠OIB=∠IBF=20°，所以∠ABC=40°，∠AIB=120°．故答案為：40°；120°．
方法點撥 ：當題中有“內心”這個條件時，自然想到角平分線這個性質.此題正是基于題設中的“角平分線”通過“反射變換”構造“全等三角形”，同時變“線段和”為“線段相等”得到等腰三角形，進而求解．同樣，如2012年湖北省武漢市第22題也可用類似方法解決.
例5 (2011年《數學周報》杯全國初中數學競賽)如圖6，ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．點P在ABC內，且PA=3，PB=5，PC=2，求ABC的面積．
解 ：在ABC中，由∠BAC=60°及AB=2AC，可得∠ACB=90°.如圖6，作ABQ，使AQB∽APC．由AB=2AC，得其相似比為2.于是QA=23，QB=4，∠QAP=∠BAC=60°，由∠QAP=60°及AQ=2AP，可得∠APQ=90°，于是PQ=3AP=3，故BP2=25=BQ2+PQ2，從而∠BQP=90°，進而∠APC=∠AQB =120°，則AC2=PA2+PC2-2PA•PC•cos120°=7+23，故SABC=
1 2AB•AC•sin60°=3 2AC2=6+73 2．
方法點撥 ：本題解題思路與例2有相似之處，都是向外作三角形，也就是說，當題設中有“丫字型線段組”時，以尋求“角度求解”為切入點，通過“位似旋轉變換”構造“相似三角形”進而解決問題．本題正是借助這種方法，層層深入，逐漸轉化，使問題出現“曙光”.因此，構造“相似三角形”也有比較廣泛的應用，如證明托勒密不等式等．
二、構造四邊形
例6 (2009年上海市初中數學競賽)如圖7，四邊形ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°．設AD、BC延長線交于E，則∠AEB= ．
解 ：如圖7，作BF∥CD，且BF=CD，連結FD、FA.則易得四邊形BCDF為菱形，∠ABF=60°，進而知ABF為等邊三角形，ADF為等腰三角形.由∠AFB=60°，∠BFD=162°，得∠AFD=138°，從而在等腰ADF中，∠ADF=21°，由FD∥BC，得∠AEB =∠ADF=21°．
方法點撥 ：從相等線段“AB=BC=CD”入手，通過平移變換構造“平行四邊形”，使線段傳遞到所需位置，進而獲得等邊ABF、等腰AFD解決問題．特別地，通過平移變換構造得到的“平行四邊形”進一步可能為矩形、菱形或正方形．
例7 (2007年北京市初二數學競賽)如圖8，在ABC中，∠ABC=46°，D是邊BC上的一點，DC =AB，∠DAB = 21°．試確定∠CAD的度數．
解 ：如圖8，作AE∥BD，且AE=BD，連結ED、EC．則四邊形ABDE為平行四邊形，同時∠EDC=46°，所以可得ED=AB=DC，進而在等腰CDE中，求得∠ECD=67°，又∠ADC=∠ABD+∠BAD=46°+21°=67°，由∠ECD=∠ADC及AE∥CD，得四邊形ADCE為等腰梯形，故AC=DE=DC，在等腰ADC中，∠CAD=∠ADC=67°．
方法點撥 ：通過“平移變換”獲得“平行四邊形”、“等腰梯形”后通過“等腰三角形”求解．當然，構造的方法眾多（如圖9，把ABD沿AD翻折，先證ABD≌CDE，再證ACE≌CAD，具體的解題過程留給讀者思考.），也可利用“反射變換”構造“等腰梯形”以及“全等三角形”求解，這里不再贅述．
三、構造輔助圓
例8 (2010年湖南省初中數學競賽)如圖10，O是四邊形ABCD內一點，且OA=OB=OC，∠ABC=∠ADC=70°，則∠DAO+∠DCO的大小為 ．
解 ：如圖10，作輔助圓O，顯然點A、B、C在O上，則易得∠AOC=2∠ABC=140°，進而在四邊形ADCO中，易求得∠DAO+∠DCO=360°-140°-70°=150°．
方法點撥 ：由于例題呈現的條件中，都有相同公共端點的三條相等線段，即OA＝OB＝OC，這樣自然聯想到圓的定義，所以以O為圓心， OA長為半徑構造輔助圓，然后借助圓的知識，建立起已知量與未知量之間的關系，再結合題中條件，問題得以簡捷解決.如2012年湖北省鄂州市的第6題也屬此類題型.
例9 (2009年“我愛數學”初中生夏令營競賽)如圖11，已知E是圓內接四邊形ABCD的邊CD的延長線上一點，I是ABC的內心．若∠ABC=70°，∠ACB= 60°，DE=DA，則∠DEI的度數是 ．
解 ：如圖11，連結IA、IC，易得∠AIC=90°+
1 2∠ABC=125°.因為四邊形ABCD是圓內接四邊形，所以∠ADE=∠ABC=70°.又DE=DA，所以在等腰ADE中，可得∠AED=55°.由于∠AIC+∠AEC=125°+55°=180°，所以A、I、C、E四點共圓，則∠DEI=∠CAI=
1 2∠BAC=25°．
方法點撥 ：本題通過題中四邊形ABCD是圓內接四邊形的暗示，挖掘題設得到“A、I、C、E四點共圓”，通過“構造輔助圓”將未知角轉化為已知角獲得結論．實際上，對于眾多數學問題，四點共圓”既是常見問題，又是常用策略，樹立“構圓意識”，運用“對稱”、“和諧”的思考方法，大處著眼，小處入手，往往可以另辟蹊徑，柳暗花明，迅速釋放題目內涵，打開解題思路.
例10 如圖12，凸四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點E，已知∠ABD=35°，∠ADB=20°，∠ACB=40°，∠ACD=70°，則∠AEB= ．
解 ：經觀察，由于∠ADB=1 2∠ACB=20°，且∠ABD=
1 2∠ACD=35°，所以作ABD的外接圓交AC的延長線于點F（如圖12），連結FB、FD．則易得∠AFB=∠ADB=20°，又∠ACB=40°，所以∠FBC =20°=∠AFB，進而得CB=CF.同理，可得 CD=CF，所以CB=CD.因此在等腰BCD中，易求得∠CBD=35°，所以∠AEB=∠ACB+∠CBD=75°．
