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三角函數值范文第1篇

關鍵詞：直角三角形；邊角關系

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）04-244-01

直角三角形的邊角關系，在現實世界中應用非常廣泛。而銳角的三角函數在解決實際問題中有著重要的作用，如測量距離、角度、高度等問題，特殊角30度、45度、60度角的三角函數值也是經常用到的，但許多學生在應用這些特殊角的三角函數值解決問題時，卻總是出現記憶不牢靠或者張冠李戴的現象，如何讓學生牢固并熟練掌握這些特殊角的三角函數值呢？我覺得可以從以下幾個方面去加強。

一、引入圖形，讓學生建立清晰的第一印象

由于含30度、45度、60度的直角三角形三邊之間有著特殊比例關系，因此，教學時為了便于學生理解和記憶，可以根據含這些特殊角的三角形的邊角之間的關系，畫出相應的圖形，如30度角所對的直角邊，所臨的直角邊，斜邊之比為1∶√3∶2，含45度角的直角三角形三邊之比為1∶1∶√2，讓學生自己獨立完成這幾個特殊角的三角函數值的求值過程，學生根據定義，便可得到各角的三角函數值，學生經歷了特殊角的三角函數值的求值過程，由于圖形的直觀作用，必然會產生清晰的第一印象，方便了記憶。

二、利用三角函數的增減規律進行記憶

在直角三角形中，當銳角的度數一旦確定，它對應的正弦值、余弦值、正切值也隨之確定，當銳角的度數發生變化，它的正弦值、余弦值、正切值也隨之發生變化，為了幫助學生探索并理解隨著銳角度數的增大或減小，它對應的正弦值、余弦值、正切值變化的規律，可設計有公共銳角頂點且一直角邊有重疊，以及斜邊相等的一系列直角三角形，通過圖形，學生會直觀的感受到，當銳角的度數逐漸增大，它所對的直角邊也隨之增大，它所鄰的直角邊則隨之減小，所以會很自然地得出結論，正弦值隨銳角的增大而增大，余弦值隨銳角的增大而減小，正切值隨銳角的增大而增大，用銳角三角函數的增減性，學生記憶這幾個特殊角的三角函數值就會容易許多。

三、尋找數字規律巧妙記憶

在記憶30度、45度、60度角的三角函數值時，可引導學生通過比較，尋找數字規律，巧妙記憶，如30度、45度、60度角的正弦值分母都是2，而分子依次對應為：1即√1，√2，√3，而余弦值分子則分別是√3，√2，√1即1，分母也都是2。

四、利用互余兩角正弦和余弦之間的關系，及同角三角函數之間的關系，通過比較與聯系記憶。

三角函數值范文第2篇

一、 “給角求值”

一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看是很難的，但仔細觀察則非特殊角與特殊角總有一定的關系。解題時，要利用觀察得到的關系，結合三角關系轉化為特殊角，并且求出特殊角的三角函數而得解。

點評本題中“切化弦”是解題的關鍵，它為逆用

和角公式鋪平了道路，然后通過對角的合理變換，將其轉化為特殊角的三角函數值的求解問題。

二、 “給值求值”

給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數式的值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系。

點評化未知角為已知角的思考，抓住了問題的本質是函數值與自變量之間的最基本的對應關系，而不是“變角”技巧。同時，在求解三角函數值時，一方面要注意角的取值情況，切勿出現增根，另一方面要關注角與角之間的關系。通過應用整體法來處理各個角，以減少問題的運算量。

三、 “給值求角”

實質上也轉化為“給值求值”，關鍵也是變角，把所求角用含有已知角的式子表示，由所得的函數值結合該自變量的取值范圍求得角。

求“動點軌跡的方程”是解析幾何部分的重點和難點，我們要求學生在解答時要注意完備性與純粹性。完備性即軌跡上一個點也不能漏掉；純粹性即軌跡上一個點也不能增加。讓很多學生頭疼的是，最后求出來的曲線方程是否符合完備性和純粹性？方程后面有沒有附加條件？怎樣做可以避免這類問題的錯誤？我們就學生作業中出現的問題來談一談如何有效地去掉動點軌跡中多余的點。

下面是兩道學生作業題中出現的問題：求出一個軌跡方程便結束，以為完成了所有解答，卻不知還有多余的點要去除。

例1 蘇教版選修2-1第64頁第3題：

已知動拋物線的準線為y軸，且經過點A（1，0），求拋物線焦點的軌跡方程。

學生解

設焦點為F（x，y），

由拋物線定義得AF=d=1，

代入坐標得（x-1）2+y2=1。

分析 本題的題設描述的是拋物線的焦點、準線和拋物線上一點的關系，使用定義可以建立幾何等式，進一步得到代數等式，但是在使用拋物線定義時，要注意焦點不在準線上，所以本題還需要添加如下過程：

因為焦點F不在準線y軸上，所以x≠0，

所以焦點的軌跡方程為（x-1）2+y2=1，其中x≠0。

例2 蘇教版選修2-1第64頁第4題：

在求軌跡方程時，很多往往算出一個方程便結束，出現作業題“對而不全”的情況，求動點軌跡如何去掉多余的點，總結起來應注意以下幾種情況：

1. 有些題目中含有已知曲線，如橢圓、雙曲線、拋物線，它們的定義中都有附加條件，解題時要根據曲線的定義來考慮完備性和純粹性，如例1；

2. 利用三角形的三點不共線，去掉多余的點，如例2；

三角函數值范文第3篇

1.定義的差別

新教材“任意角三角函數”（人民教育出版社A版，必修4第一章），其三角函數采用如下的定義（姑且稱這個定義為“單位圓定義法”）：

“設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x,y），那么 ①y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=y；

②x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα=x；

③■叫做α的正切，記作tanα，即tanα=■（x≠0）

可以看出，當α=■+kπ（k∈Z）時，α的終邊在y軸上，這時點P的橫坐標x等于0，所以tanα=■無意義。除此之外，對于確定的角α，上述三個值都是唯一確定的。所以，正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數，我們將它們統稱為三角函數。

老教材對“任意角三角函數”的定義（姑且稱這個定義為“終邊定義法”）：“在角α的終邊上任取一點P（x,y），P到原點的距離為r，比值■，■，■分別定義為角α的正弦函數、余弦函數和正切函數。”

2．教學內容安排的差別

新教材利用單位圓上點的坐標定義任意角的正弦函數、余弦函數。這個定義表明了正弦函數、余弦函數中從自變量到函數值之間的對應關系，也表明了這兩個函數之間的關系，而坐標定義法只是作為例題的形式讓學生自己去證明。老教材由銳角三角函數推廣到任意角三角函數，體現特殊到一般，易于學生接受，然后再特殊化到單位圓定義法。兩者教學的順序剛好相反，教學內容的側重點也有所不同。

二、在實際教學中的教師處理方式

大多數教師在剛開始接觸新教材，教學“任意角三角函數”定義這節時，覺得老教材的處理方法（由初中的三角函數過渡到任意角三角函數）比較自然，上課時仍然采用“終邊定義法”，而對“單位圓定義法”則點到為止，未體會到新教材中單位圓定義法的作用與地位。這樣處理這節內容，雖然也完成了教學內容，但是筆者認為有悖于新教材的設計意圖,顯得有點本末倒置。因為新教材對“任意角三角函數”的定義采用“單位圓定義法”的目的旨在體現它在三角函數中的重要地位，而非僅僅是“終邊定義法”的一種特例。

三、對新教材“任意角三角函數”的定義的解讀

1．老教材的優缺點

優點：老教材在對任意角的三角函數下定義時，以學生的原有知識——銳角三角函數為生成點，以比值法為切入點，進一步到“終邊定義法”，將它很自然的納入到學生原來的知識結構中去，這種定義方法能夠表現出從銳角三級函數到任意角三角函數的推廣，有利于引導學生從自己已有的認知基礎出發學習三角函數，貼近學生的思維，易于學生接受新概念。為了使形式更簡單、實用，將“終邊定義法”特殊化為“單位圓定義法”，學生不會覺得突然。

缺點：它對準確把握三角函數的本質。從“角的集合到比值的集合”的對應關系與學生所熟悉的一般函數概念中的“數集到數集”的對應關系有沖突，而且“比值”通過運算才能得到，這與函數值是一個確定的實數不同，這些都會影響學生對三角函數概念的理解。同時對于解讀三角函數的圖像、性質、一系列三角公式等也不如利用單位圓來得方便，且便于學生理解。

2．對新教材的理解

（1）單位圓與三角函數的關系

對于任意角α，它的終邊與單位圓的交點P（x，y）是唯一確定的，所以采用“單位圓定義法”定義任意角的三角函數是符合函數的基本定義的。同時用這種方法表示任意角的三角函數形式上也非常簡單，正弦是縱坐標y余弦是橫坐標x（sinα=y，cosα=x），反之，x=sinα，y=cosα是單位圓的自然的動態描述。同時由于單位圓的半徑為1，在采用弧度制后，這樣角的大小就可以用弧長來表示，為以后的三角函數圖象的描點法打下了很好的基石。因為“單位圓定義法”充分利用了單位圓上點的橫坐標、縱坐標，并且圓是一個具有很好對稱性的圖形，由此我們想到正弦函數、余弦函數的基本性質就是圓的幾何性質（特別是對稱性）的解析表述，所以利用單位圓使三角函數反映的數形關系更具體，為后面誘導公式的推導以及三角函數圖象性質的研究奠定了很好的基礎。單位圓上的點的坐標隨著角α每隔2π（即一個圓周長）而重復出現，非常直觀且又很形象地顯示了三角函數的周期性，也使單位圓中的三角函數線與三角函數定義有了更直接的聯系，從而使我們更方便地采用數形結合的方法來解決三角函數的有關問題。反之，正弦、余弦又是圓的參數形式的代數靜態描述，為圓的參數方程作了鋪墊。

（2）“單位圓定義法”使三角函數性質變得更簡單

“單位圓定義法”以單位圓作為研究的平臺，使自變量α與坐標x、y的對應意義顯得非常直觀而具體，使三角函數的誘導公式及性質等顯得更自然、更富有活力、更豐滿，下面具體羅列之（主要討論正弦、余弦函數）。

設角α的終邊與單位圓交于P（x，y）

①定義域、值域：由于α的終邊與單位圓有交點，且只有唯一的一個，從而符合函數定義，使x=sinα，y=cosα變成了以α為自變量的函數，且定義域均為R；又因為｜x｜≤1，｜y｜≤1，所以x=sinα，y=cosα的值域均為［-1,1］。

②象限符號：由點的橫、縱坐標的象限符號，很容易得到sinα，cosα在各象限的符號（具體略）。

③同角三角函數的基本關系：

｜op｜＝1■｜op｜2＝1■x2+y2=1

sin2α+cos2α=1■tanα=■=■

④誘導公式及奇偶性：

圓關于x軸對稱，則有cos(-α)=cosα,sin(-α)=-sinα這也就說明了y=cosα是偶函數，y=sinα是奇函數。

圓關于y軸對稱則有：sin（π-α）=sinα，cos（π-α）=-cosα

圓關于原點對稱則有：sin（π＋α）=－sinα，cos（π＋α）=-cosα

圓關于直線y=x對稱則有：sin（■-α）=cosα，cos（■-α）=sinα

⑤三角函數圖象的對稱性：

圓關于x軸對稱，即P（a，b）的對稱點P/（a,-b）

y=cosx的圖象關于直線x=kπ（k∈Z）對稱。

y=sinx的圖象關于點（kπ，0）（k∈Z）對稱。

圓關于y軸對稱，即P（a，b）的對稱點P/（-a，b）

y=sinx的圖象關于直線x=kπ+■（k∈Z）對稱。

y=cosx的圖象關于點（kπ+■，0）（k∈Z）對稱。

⑥單調性：當α從-■增大至■時，y從-1增大至1，當α從■增大至■時，y從1減小至-1.

y=sinα在［-■+2kπ，■+2kπ］（k∈Z）上是增函數，在［■+2kπ，■+2kπ］（k∈Z）上是減函數，同理余弦也一樣。

（3）單位圓定義法在解三角題中的作用

利用單位圓或者“單位圓定義法”解三角題，充分挖掘單位圓與三角函數的內在聯系，很好地利用了圓的幾何特性和參數方程，把三角問題轉化為圓的問題，數形結合，方法新穎，有時能具有別具一格的效果，活躍學生的思維，創造性地利用了三角函數的定義，抓住了三角函數的核心根基，有利于激發學生的興趣和開拓學生的思維。

①三角函數化簡與求值

例1.記cos（-80°）=k，那么tan100°=（ ）

A．■ B．-■

C．■ D．-■

解析：記-80°的終邊與單位圓交于點P（k,y），則100°的終邊與單位圓交于（-k,-y）

k2+y2=1（y

②證明三角函數恒等式

例2.求證：

■=sinα+cosα

解析：1+sinα+cosα+2sinαcosα=1+y+x+2xy

（sinα+cosα）（1+sinα+cosα）=（y+x）（1+y+x）=y+y2+yx+x+xy+x2

③求三角函數的最值

例3.求f（x）=■（0≤x≤π）的最大值與最小值

解析：設P（cosx，sinx），x∈［0，π］,則P為單位圓（上半圓）上的點，由f（x）的幾何意義知，f（x）是P與定點A（2，1）的連線斜率，由右圖馬上可解。

三角函數值范文第4篇

（一）中職院校缺乏完整的課程評價體系

中職院校學生基礎差，學習習慣不好，學習積極性較弱，學校以培養專業學生為首要任務，忽視基礎數學教育的培養，降低教學內容難度，考試不以考察學生掌握知識狀況為目的，而是單純保證學生通過考試，這樣寬松的課程評價體系，促使教師抱有“保量不保質”的心理，學校和教師為學生營造的懶散的學習環境，學生根本沒有學習到有用的知識。

（二）教師教學方法落后

中職院校教師沿用傳統教學方式，教師主導課堂，采用“填鴨式”教學，強行“灌輸”給學生所學內容，在加上教師對學生的認知停留在成績層面，沒有深入分析學生的學習狀況、學習方法和掌握情況，這樣教師與學生的關系緊張，會造成學生厭學情緒。

（三）學生缺乏學習數學的信心

長期接受傳統教育的學生，普遍缺乏自主學習的能力。由于數學內容繁多，復雜且較為綜合，學生在學習數學時普遍認為數學太難，學生極易產生自己不能掌握運用知識的心理，絕大部分的學生認為數學枯燥難懂。厭倦和恐懼的心理，使學生沒有學習的動力，缺乏學習數學的自信心。

此外，中職院校的學生基礎較差，在學習三角函數時，極易混淆正切、余切、正弦、余弦、正割、余割等函數定義。此外，極易將特殊角度的正切值、余切值正弦、余弦、正割、余割混淆。例如：

學生死記硬背，不理解如何得出特殊角度正切、余切、正弦、余弦值，不能夠靈活通過三角函數的周期性和奇偶性，結合圖像，得出特殊角度的三角函數值。此外，學生不能夠靈活運用三角函數奇偶性和周期性，快速計算出其他角度的函數值，例如，sin（-5π/2）=sin（-2π-π/2）=sin（-π/2）=-sinπ/2=-1，此例中利用sin圖像的周期性，即2Kπ（其中K≠0，K為正整數）此外，還利用到sin圖像的奇偶性，由于sin圖像是關于原點對應的圖像即滿足函數f（-x）=-f（x），如果學生掌握sinx函數為奇函數，則在最短的時間換算，因此學生在掌握三角函數的概念和特點的基礎上，能夠舉一反三，快速解答三角函數相關題目。

三角函數值范文第5篇

關鍵詞：三角函數 復習策略

從近幾年的江蘇省對口單招數學試題來看，三角函數這一章是考試的重點，2007年占27分、2008年占19分、2009年占19分、2010年占22分，題型都是若干個小題目（選擇題+填空題）和解答題構成。

考查的主要內容：任意角的三角函數的定義、同角三角函數的基本關系、正弦、余弦、正切函數的誘導公式、三角函數的圖像和性質、兩角和與差、倍角公式、解三角形，下面結合試題談談各個知識板塊的復習策略：

一、抓牢三角函數的概念

這里包括三角函數的定義（主要是正弦、余弦、正切），同角三角函數的基本關系（主要是sin2α+cos2α=1，=tanα）。通過多年的高三復習，我認為不需要讓學生掌握八個公式，在復習時對這兩個關系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運用（正用、反用、變形用），利用這兩個公式可以解決的一些題型讓學生熟記于心，我在復習這一知識板塊時，主要設計了以下幾個模塊：

（1）已知sinα（或cosα）求其余三角函數。在求值中，確定角的終邊位置是關鍵和必要的。有時，由于角的終邊位置的不確定，因此解的情況不止一種。解題時產生遺漏的主要原因是：①沒有確定好或不去確定角的終邊位置；②利用平方關系開平方時，漏掉了負的平方根。

（2）在sinα+cosα，sinα-cosα，sinα，cosα三個式子中知道一個求其余。

（3）已知tanα（cotα）求其他三角函數、對于分式都是關于正弦、余弦的一次（或二次）的齊次式的計算與化簡。

誘導公式的記憶和靈活運用，對絕大多數學生都是會而不對，易錯題讓學生除了要深刻理解“縱變橫不變，符號看象限”這一“口訣”，還要建立“負化正，大化小，化到銳角為終了”的思想，對于幾個易錯易混淆的幾個公式，特別強化，如cos（-α）=cosα，sin（+α）=cosα與cos（+α）=sinα。另外還要重視在三角形中應用誘導公式。

這部分內容考試時填空、選擇較多，學生若要不失分，關鍵還在公式應用的準確、熟練上下功夫，不必強化過多的技巧。

如：3.已知sinα=，α是第二象限的角，則cos（π-α）=（）（2008年單招）

A． B.

C.- D.-

3.已知P（-3，m）是角α終邊上一點，若sinα=-，則m=（）（2009年單招）

A.-4 B.-3

C.3 D.4

從題型來看，誘導公式與三角函數的概念、同角三角函數的基本關系相結合是選擇題的考點。

二、認真把握正弦、余弦、正切函數與正弦型函數的圖像與性質（主要是單調性、奇偶性、周期性、對稱性、最值）

從這幾年考試題型來看這部分考試的難度也不大，復習時重視正弦型函數的圖像的性質。如：

1．已知函數y=3sin（ωx-）（ω＞0）的周期為，則ω=（）（2008年單招）

A． B.2

C.4 D.

2.已知函數f（x）=sinωx（ω＞0））的最小正周期為π，則該函數的一個單調減區間

（）（2009年對口單招）

A.［-，］ B.［-，-］

C.［-，］ D.［，］

3.函數y=2sin6x是（）（2010年對口單招）

A.周期為的奇函數 B.周期為的偶函數

C.周期為π的奇函數

D.周期為π的偶函數

在復習這一模塊時，對于2001年出現的三角函數的圖像變換和2004年出現限定區間上求最大值最小值問題也可能會卷土重來，作為教者仍然要重視，對于最大值與最小值問題在復習時我設計了這樣一組例題讓學生理解、區別：（1）y=sinx，（2）y=sinx x∈［，］，（3）y=sin2x+sinx，（4）y=sin2x+sinxcosx.

通過（1）（2）的對比，讓學生懂得結合圖像來求最大值和最小值。

通過（3）（4）的對比，讓學生明確三角函數求最值的兩種不同類型。

①可化為求二次函數的函數的值域；

②可化為y=Asin（ωx+φ）型函數值域；

而這兩者最大的區別就是看各項的次數是否統一。

三、熟練掌握三角函數的基本變換方法（主要是兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和倍角公式）

基本公式記準、用熟特別重要、另外對于幾個公式的重要變形也要做到心中有數，tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ），tanα-tanβ=tan（α-β）（1+tanαtanβ），sin2α=，cos2α=

這一部分內容屬于三角部分較難的部分，學生對公式的正用、逆用要有一個循序漸進的過程，要在“實”字上下功夫，例題的設計要有層次，思維的跨度不能太大，如利用二倍角公式化簡求值我設計了以下一組例題：

例1.求值

（1）2sin15°cos15°

（2）sin15°cos15°

（3）sin15°cos75°

（4）8sin20°cos20°cos40°cos80°

（5）cos20°cos40°cos80°

對于課本例題及變形也要深刻理解，這幾年許多題目都是課本例題和習題的變形，如課本例題，csc10°-csc10°的計算實際上就是解題時及時發現asinα+bcosα的形式，利用輔助角公式進行化簡，讓學生樹立化同名、化同角、求同次的化歸思想。

15.若sin2θ=，則tanθ+tanθ= .（2008年對口單招）

19.已知向量a=（sinα，3），b=（cosα，1）且，求下列各式的值：（2009年對口單招）

（1）tan（+α）

（2）4sin2α-sin2α

20.已知α為銳角，且點（cosα，sinα）在曲線6x3+y2=5上.（2010年對口單招）

（1）求cos2α的值

（2）求tan（2α-）的值

四、解三角形（正弦定理、余弦定理、面積公式）與三角公式的綜合應用是近幾年的熱點問題

正弦定理、余弦定理與三角公式、三角形的基本性質相溝通，在判定三角形形狀時，一般考慮兩個方向進行變形，一個方向是邊，走代數變形之路，通常是正、余弦定理結合使用；另一個方向是角，走三角變形之路，通常是運用正弦定理，要求學生要注重邊角轉化的橋梁――正、余弦定理；其中在將已知條件中角的關系轉化為邊的關系時，運用了正弦定理的變形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，這一轉化技巧，要求學生熟練掌握。

20．在ABC中，已知∠A=60°，AC=1，SABC=，求邊AB與BC的長.（2008年對口單招）

14.已知在ABC中，A=60°，=，則sinC=.（2009年對口單招）

7.在ABC中，若a=4，b=4，則∠A=60°等于（）（2010年對口單招）

A.120°

B.120°或30°

C.60 °

D.60°或120°

五、重視三角知識與其他章節的綜合，如三角與向量、解幾、數列等之間的聯系

三角函數這一章節內容多而雜，在復習時我們要以大綱為依據，立足課本，重視基礎，幫助學生化模模糊糊一大片為清清楚楚幾根線，達到理想的復習效果。